数列相关概念与方法总结
-
数列相关概念与方法总结
一、等差数列与等比数列的相关概念、性质
概念、性质
等差数列
1.
递推关系
（定义）
2.
通项公式
3.
通项公式推广
等比数列
a
n
a
n
<
/p>
1
d
（
d
为常数）
a
n
a
1
(
n
1
)
d
< br>a
n
a
m
(
n
m
)
d
a
,
A
,
b
构成等差数列，
则
A
为
a
,
b
的等
a
n
q
（
q
为常数，且<
/p>
q
0
）
a
n
1
a
n
a
1
q
n
1
a
n
a
m
q<
/p>
n
m
a
,
G
,
b
构成等比数列，则
G
为
a
,
b
的等<
/p>
比中项，即
G
2
ab
，则
G
ab
若
m
n
k
l
(
m
,
n
,
l
,
l
< br>N
*
)
，
则
4.
中项
差中项，即
A
a
< br>
b
2
若
m
n
p
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
*
)
，则
5.
性质
1
a
m
a
n
< br>
a
p
a
q
.
6.
性质
2
a
m
a
n<
/p>
a
k
a
l
.
a
1
a
n
a
2
< br>a
n
1
a
3
a
n
2
,
b
n
均为等比数列，
则
a
n
b
n
、
若
a
n
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3<
/p>
a
n
2
,
b
n
均
为
等
差
数
列
，
则
若
a
n
7.
性质
3
a
n
b<
/p>
n
、
a
n
为等差数列
序号成
等差
数列的项仍构成
等差
数列
已知
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，
则
a
n
、
< br>
a
n
为等比数列
< br>b
n
序号成
< br>等差
数列的项仍构成
等比
数列<
/p>
已知
S
n
为等比数列
a
n
的前
n
项和
，
则
8.
性质
4
9.
性质
5
S
k
,
S
2
k
S
k<
/p>
,
S
3
k
S
2
k
构成等差数列
.
即
2<
/p>
(
S
2
k
S
k
)
S
k
(
S
3
k
S
2
k
)
.
S
k
,
S
2
k
S
k
,
S
3
k
S
2
k
构成等比数列
.
即
(
S
2
k
S
k
)
S
k
< br>
(
S
3
k
S
2
k
)
.
当
q<
/p>
1
时，
S
n
na
1
.
2
10.
求和公
式
n
(
a<
/p>
1
a
n
)
n
(
n
1
)
d
na
1
< br>
2
2
d
d
n
2
(
a
1
)
n
2
2
S
n
a
1
(
1
< br>
q
n
)
a
1
a
n
q
当
q
1
时，
S
n
1
q
1
q
第
1
页
共
6
页
二、
数列通项的求法
（一）若已知数列为等差数列或等比数列，则直接利用等差数列或等比数列公式求解。
< br>
（二）常用递推关系求通项
1.
累加法
：形如
a
< br>n
1
a
n
f
(
n
)
（注意：如果
f
(
n
)
是常数，就直接用等差数列通项公式了，不用累加）
例：
a
1
2
,
a
n
1
a
n
< br>
ln(
1
< br>),
求
a
n
.
2.
累乘法
：形如
1
n
a
n
1
f
(<
/p>
n
)
（注意：如果
f
(
n
)
是
常数，就直接用等比数列通项公式了，不用累乘）
a
n
n
例：
a
1
2
,
a
n
1
2
a
n
,
求
a
n
.<
/p>
3.
构造法
：
p
1
)
（
1
）形如
a
n
1
pa
n
q
(
n
N
,
p
,
q
为常数，且
解题思路：构造公比为
p
的等比数列
a
< br>n
。
设
a
n
1
p
(
a
n
)
，则
a
n
1
pa
n
< br>
(
p
1
)
，利用待定系数法，得
(
p
1
)
q
,
即
*
q
.
则数列
p
1
q
q
，公比为
p
的等比数列，再求通项。
a
n
是首项为
a
1
p
1
p
1
例：
a
1
< br>1
,
a
n
1
2
a
n
3
,
求
a
n
.
p
1
,
f
(
n
)
为任意函数
)
（
2
）形如
a
n
1
pa
n
f
(
n
)(
n
N
< br>,
p
为常数，且
由
a
n
1
< br>
pa
n
f
(
n
)
，得
解题通法：
a
n
< br>
1
pa
n
f
(
n
)
a
n
1
a<
/p>
n
f
(
n
)
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，
即
，
则<
/p>
，
p
n
1
p
n
1
p
n
1
p
n
1
p
n
p
n
1
p
n<
/p>
1
p
n
p
n
1
*
从而转化成前面用“累加法”所求解的模型。
特殊地，当
f
(
n
)
为一次函数模型或指数函数模型时，还有其他解法如下：
第
2
页
共
6
页
*
①形如
a
n
1
pa
n
kn
d
(
n
N
,
k
,
d
为常数
)
（
f
(
< br>n
)
为一次函数模型）
解题思路：构造公比为
p
的等比数列
a
n
An
B
。
设
a
n
1
A
(
n
1<
/p>
)
B
p
(
a
n
An
B
)
，则
a
n
1
pa
< br>n
(
p
1
)
An
(
p
1<
/p>
)
B
A
，利用待定系数法，得
(
< br>p
1
)
A
k
，解出
A
、
B
，则数列
a
n
An
B
是
首项为
a
1
A
B
，公比为
p
的等比数列，再求通
(
p
1
)
B
A
< br>
d
项。
例：
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
n
3
,
求
a
n
.
n
*
p
1
)
（
f
(
n
)
为指数函数模型）<
/p>
②形如
a
n<
/p>
1
pa
n
q
(
n
N
,
p
,
q
为常数，且
（
i
）若
p
q
，则只能用通法求解。
a
n
1
a
n
1
a
n
1
a
n
1
a
n
1
pa
n
q
n
解题思路：
由
a
n
1
pa
n
< br>q
，得
n
1
n
1
n
1<
/p>
，即
n
1
n
，则
n
1
n
，从而转
p
p
p
p
p
p
p
p
p
< br>n
a
n
化为等差数列
n
求
a
n
.
p
（
ii
）若
p
q
，则可以用通法或构造等比数列方法，但利用构造等比数
列
a
n
Aq
的方法求解更方便。
n
解题思路：
设
a
n
1
Aq
解得
A
4.<
/p>
倒数法
：形如
a
n
1
n<
/p>
1
n
p
(
a
n
Aq
n
)
，
得
a
n
< br>
1
pa
n
A
(
p
q
)
q<
/p>
，
利用待定系数法，
得
< br>A
(
p
q
)
1
，
1
n
.
则数列
a
n
Aq<
/p>
是首项为
a
1
Aq
，公比为
p
的等比数列，再求通项。
p
q
pa
n
(
p
,
q
,
d
为常数
)
qa
n
d
pa
n
pa
n
qa
p
q
1
1
1
1
q
,
所以
n
,
所以
<
/p>
,
从而可
qa
n
d
qa<
/p>
n
p
a
n
1
pa
n
p
a
n
a
n
1
< br>a
n
p
（
i
）若
p
d
，则
a
n
1
第
3
页
共
6
页