数列培优专题
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数列培优专题
一．通项的求法
（
< br>1
）利用等差等比的通项公式
(2)
累加法：
a
n
< br>
1
a
n
f
(
n
)
例
1
．已知数列
a
1
n
满足
a<
/p>
1
2
，
a
1
n
1
a
n
n
2
n
，求
a
n
。
（
3
）构造等差或等比
a
n
1
pa
n
q
或
a
n
1
pa
n
f
(
n
)
例
2
．已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
)
.
求数列
a
n
的通
项公式；
例
3
．已知数列
a
n
中，
a
1<
/p>
1
,
a
1
n
1
2
a
(
1
n
2
)
n
1
，求
a
n
.
.
练习
:
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
2
a
n
1
2
n
（
1
n
2
）
，且
< br>a
4
81
。
（
1
）求
a
1
，
a
2
，
a
3
；
（
2
）求数列
{
a
n
}
的通项公式。
1
（
4
）
利用
a
n
S
S
1
(
n
1)
n
S
n
< br>
1
(
n
2)
例
4.
设数列
a
n
的前
n
项的和
S
4
1
2
n
3<
/p>
a
n
3
2
n
1
3
，
n
1,2,3,
（Ⅰ）求首项<
/p>
a
1
与通项
a<
/p>
n
；
2
n
n
（Ⅱ）设
T
3
n
S
，
n
1,2,3,<
/p>
，证明：
T
i
n
i
1
2
（
5
）累积法
a
n
1
f
(
n
)
a
n
转化为
a
n
1
a
< br>
f
(
n
)
，逐商相乘
.
n
例
5
.
已知数列
{
a
n
}
< br>，满足
a
1
=1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a<
/p>
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥2)
，
则
{
a
n
}
的通项
a
1
n
1<
/p>
n
___
n
2
（
6
）倒数
变形：
a
a
n
n
1
pa
,
两边取倒数后换元转化为
a
n
1
pa
n
q
。
n
q
例
6
：已知数列｛
a
a
n
｝满足：
a
n
1
n
3
a
,
a
1
1
，求数列｛
a
n
｝的通项公式。
n
1
1
2
练习
：已知数列｛
a
n
｝满足：
a
1
＝
< br>求数列｛
a
n
｝的通项公式；<
/p>
（
7
）递推公式为
a
n
2
<
/p>
pa
n
1
qa
n
（其中<
/p>
p
，
q
均为常数
）
。
解法一
(
待定系数法
)
：先把原递推公式转化
为
a
n
2<
/p>
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
其中
s
，
< br>t
满足
3na
n
－
1
3
，且
a
n
＝
（
n
2
，
n
N
）
2a
n
－
1
＋
n
－
1
2
s
t
p
st
q
2
解
法二
(
特征根法
)
：对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa
n
，
a
1
< br>
,
a
2
给出的数列
< br>
a
n
，方程
x
px
q
0
，叫做数列
a
n
的特征方程。若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个
根，当
x
1
x
2
时，数列
a
n
的
通
项为
a
n
A
x
1
n
1<
/p>
n
1
n
1
n
1
n
1
Bx
2
，其中
A
，
B
由
< br>a
1
,
a
2
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
Ax
1
Bx
2
，得到关于
A
、
B
的方程组）
；当
x
1
<
/p>
x
2
时，数列
a
n
的通项
为
a
n
(<
/p>
A
Bn
)
x
1
，
n
1
其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和<
/p>
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1
，得到关于
A
、
B
的方程组）
。
例
7.
已知
数列
a
n
中，
a
1
<
/p>
1
,
a
2
2
,
a
n
2
3
2<
/p>
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
（
< br>8
）
a
2
n
1
A
a
n
Ba
n
C
形式递推：
例
8
.
已知数列
a
1
n
各项都是正数，且满足：
a
0
1
,
a
n
1
2
a
< br>n
(
4
a
n
)
，
(
n
N
)
求数列
a
n
的通项公式
(
9)
分
式线性递推数列
a
a
a
n
b
n
1
c
a
（
a<
/p>
,
b
,
c
,
d
R
,
c
0
）
n
d
其特征方程为
x
ax
b
cx
d
，即
cx
2
(
d
< br>
a
)
x
b
0
，
1
、若方程有两相异根
s
a
< br>n
s
1
1
、
s
2
，则
a
<
/p>
成等比数列，其公比为
a
cs
1
n
s
2
a
cs
；
2
2
、若方程有两等根
s
1
s
2
，则
1
< br>
成等差数列，其公差为
c
<
/p>
a
n
s
1
a
cs
.
1
例
9
.
若
f
x
2
x
3
0
< br>x
0
则称
x
0
为
f
(
x
)
的不动点，函数
f
(
x
)
x
（
I
）求
f
(
x
)
的不动点
（
II
）数列
a
n
满足
a
n
1
f<
/p>
(
a
n
)
，
a
1
5
，求数列
a
n
的通项公式
4