2011-2015全国卷数列汇编(理科)
-
2011-2015
科
)
全国卷数列汇编
(
理
第六章
数列
第一节
等差数列与等比数列
题型
73
等差、等比数列的通项及基
本量的求解
1.
（
2011
全国理
17-1
）等比数列
{
a
}
的各项均为
n<
/p>
正数，且
2
a
3
a
1
2
1
，
a
2
3
9
a
2
a
6
< br>．
（
1
）求数列
{
a
}
的通项公式；
n
2.
（
2013
全国Ⅱ理<
/p>
3
）
等比数列
a
的前<
/p>
n
项和为
n
S<
/p>
n
，已知
S
3<
/p>
a
2
10
a
1
，
a
5
9
，则
a
（
）
.
1
A.
1
B.
3
1
9
1
3
C.
D.
1
9
n
1
3.<
/p>
（
2015
全国Ⅱ理
4
）
等比数列
< br>
a
满足
a
a
1
a
3
a
5<
/p>
21
3
，
，则
a
3
a
5
a
7
（
）
．
A.
21
B.
42
C.
63
D.
84
题型
74
等差、等比数列的求和
题型
75
等差、等比数列的性质应用
a
4
（
2012
全国理
5
）
已知
a<
/p>
为等比数列，
n
4
a
7
2
，
a
5
a
6
8
，则
a
a
（
）
1
10
A.
7
B.
5
C.
5
D.
7
<
/p>
5
．
(2013
课标全国Ⅰ，理
7)
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
m
－
1
＝－
2
，
S
m
＝
0
，
S
m
＋
1
＝
3
，
则
m
＝
(
)
．
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
6.
(2014
全国Ⅰ理
17)
已知数列<
/p>
{
a
}
的前
n
项和为
n
S
n
，
a
=1
，
a
1
n
0
，
a
a
n
n
1
S
n
1
，其中
为常数
.
(
Ⅰ
)
证明：
a
明理由
.
n
2
a
n
；
n<
/p>
（Ⅱ）是否存在
，使得
{
a
}
为等差数列？并说
………
12
分
题型
76
判断或证明数列是等差、等
比数列
<
/p>
7.
（
2014
全国Ⅱ理
17-1
）已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
< br>1
3
a
n
1
．
1
（Ⅰ）证明
{
a
n
}
是
等比数列，并求
a
n
的通项公式；
2
1
1
1
2
3
7.
（Ⅰ）证明：∵
a
n
1
3
a
n
1
，∴
a
n
1
< br>
3(
a
n
)
，即：
1
2
2
(
a
n
)
2<
/p>
a
n
1
又
a
1
1
3
1
3
，∴
{
< br>a
n
}
是以
为首项，
3
为公比的等比数列．
2
2
2
2
1
3
n
1
3
n
1
∴
a
< br>n
3
，即
a
n
2
2
2
题型
77
等差数列与等比数列的综合
应用
第二节
数列的通项公式与求和
题型
78
数列通项公式的求解
a
a
8.
（
2012
全国理
5
）
已知
a
为等比数列，
n
4
7
2
，
5
a
5
a
6
< br>8
，则
a
a
（
）
1
10
A.
7
B.
C.
5
D.
7
<
/p>
9
．
(2013
课标全国Ⅰ，理
14)
若数列
{
a
n
}
的前
n
1
a
，
则
{
a
< br>n
}
的
通
项
公
式
是
a
n
＝
项
和
S
2
3
3
n
n
_______
___.
S
为数列
a
的前
n
< br>项和，
10.
（
2015
全国Ⅰ理
17-1
）
n
n
.
已知
，
（
1
）求
a
的通项公式；
a
n
0
2
a
n<
/p>
2
a
n
4
S
n
3
n
题型
79
数列的求和
11.
（
2011
全国理
17-2
）等比数列
{
a
}
的各项均为
n
正数，且
2
a
<
/p>
3
a
1
2
1
，
a
2
3
9
a
2
a
6
．
（
1
）求数列
{
a
}
的通项公式；
n
（
2
）
设
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
1
…
<
/p>
log
a
，
求数
列
的前
n
项
b
3
n
n
和．
12.
（
2012
全国理
1
6
）
数列
a
满足
a<
/p>
n
n
1
(
1)
n
a
n
2
n
1
< br>，
则
a
的前
60
项和为
< br>
.
n
13.
（
2014
全国Ⅱ理
17-2
）
已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
1
3
a
n
1<
/p>
．
1
（Ⅰ）证
明
{
a
n
<
/p>
}
是等比数列，并求
< br>a
n
的通项公式；
2
（Ⅱ）证明
1
1
1
3
．
a
1
a
2
a
n
2
14.
（
2015
全
国
Ⅰ
理
< br>17-2
）
S
n
为
数
列
a
n
的
前
n
项
和
，<
/p>
已
知
a
n
0
，
2
a
n
2
a
n
4
S
n
3
.
（
1
）求
a
n
的通
项公式；
（
2
）设
b
n
1
，求数列
b
n
的前
n
项和．
a
n
a
n
1
n<
/p>
15.
（
2015
全国Ⅱ理
16
）设
S
是数列
a
的前
n
项
n
< br>和，且
a
,
则
< br>S
第三节
数列的综合
1
1,
a
n
1
S<
/p>
n
S
n
1
n
______
______________
．
题型
80
数列与不等式的综合
第六章
试题详解
1.
【解析】
（
1
）设数列
a
的公比为
q
.
由
a
n
2
2
a
< br>3
9
a
4
2
3
9
a
2
a
6
得
，所以
q
2
1
9
．
1
2
2
a
3
a
< br>由条件可知
q
0
，故
q
1
．由
3
1
< br>得
2
a
3
a
q
1
，
1
1
所以
a
1
1
3
．故数列
a
的通项公式为
a
n
n
1<
/p>
3
n
．
2.
分析
先设出公比
q
，然后根据已知条件列出
方
程组，求出
a
.
< br>1
解析：设公比为
q
，因为
S
a
1
a
2
a
3
a
< br>2
10
a
1
,
1
4
a
q
<
/p>
9,
1
3
a
2
10
a
1
,
a
5
9
，所以
所以
1
2
a
q
< br>9
a
1
,
1
4
a
q
9,<
/p>
解得
a
1
故选
C.
9
3.
解析
由题意可设等比数列的公比为
q
，则由
a
1
a
3
a
5
21
得，
.
又因为
a
1
a
1
a
1
q
2
< br>
a
1
q
4
21
3
，
所以
q
5
7
1
4
q
2
6
0
2
3
5
.
解得
q
2
2
或
q
2
3
（舍去）
，所以
a
< br>
a
a
a
a
a
q
3
21
2
42
.
故选
B.
评注
等差数列与等比数列的基本概念和性质
是考查的重点
.
本题考查了等比数列的通项公式
及一元二次方程的解法，注意最后一步要能将
“
a<
/p>
3
2
a
5
a
7
”
写成
“
a
q
1
2
< br>a
3
q
2
a
5
q
2
”
的形式，再提出
“
< br>q
”.
4.
解析
方法一：利用等比数列的通项公式求解
.
由题意得
或
1
3
q<
/p>
2
a
1
8
3
6
a
4
a
7
a
1
q
<
/p>
a
1
q
2
4
5
2
9
a
5
a
6
a
1
q
a
1
q
<
/p>
a
1
q
8
，所以
q
3
2
a
1
1
，
，
D.
a
1
a
10
a
1
1
q
9
7
.
故选