七年级数学不等式与不等式组讲义
-
不等式与不等式组
知识点一（不等式和不等式组的概念和解法）
【知识梳理】
1.
不等式的概念
< br>用不等号（“＜”、“＞”、“≠”＝）表示不等关系的式子，叫做不等式。
常见的不等号有“＜”、“＞”、“≠”、“≤”、“≥”。
掌握表示不等关系的记号
2.
不等式的解
2
2
x
50
成立。像
x
取
70
时不等式
x
50
不成立。与方程
3
3
2
类似，我们把使不
等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如
90
是
x
50
的解，而
70
不是不等式
3
2
x
50
的解
。
3
像
x
取某些值（如
90,120<
/p>
）时，不等式
3.
不等式的解集
当
x>7
5
时
2
2
x<
/p>
50
总成立，当
x<75
时
x
50
不成立，这就是说任何一个大于
75
< br>的数都是不等式
3
3
2
2
x
50
的解，这样的解有无数个。因此，
x>75
表示了
能使
x
50
成立的
x
的取值范围，叫做不等式
3<
/p>
3
2
x
50
的解的集合，简称解集，这个解集可以用数轴来表示。
3
说明：
不等式的解与
一元一次方程的解是有区别的，
不等式的解是不确定的，
是一个
范围，
而一元一次方程
的解则是一个具体的数值．
用数轴表示解集
:
第一步
:
画数轴
第二步
:
定界点
第三步
;
定方向
“＞”
“＜”是空心；
“≥”
“≤”是实心
“＞”
“≥”向右画；
“＜”
“≤”
向左画
1
4.
不等式的性质
不等式的基本性质
性质
1
：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方
< br>一般形式
若
a
b
，则
a
< br>
c
b
c
向不变。
性质
2
：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方
向
不变。
性质
3
：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方
向改变。
5.
一元一次不等式
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的
次数是
1
的不等式，叫做一元一次不等式。例如
若
a
b
，
c
0
则
ac
bc
（或
a
b
）
c
c
若
a
b
，
c
0
则
ac
＜
bc
（或
a
b
）
c
c
2
x
50
是一元一次不等式。
3
6
解不等式
1
、解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。
2
、
解一元一次不等
式的步骤
：
(1)
去分母
不等式的性质
2
注意：用分母的最小
公倍数乘遍不等式的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利
用分数的性质
，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号
.
(2)
去括号
去括号法则、乘法分配律
注意：严格
执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，
减号后去括号，
括号内
各项的符号一定要变号
.
(3)
移项
不等式的性质
1
注意：越过“不等
号”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号；
,
移项时
把含未知数的项
移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项
改变符号写在后面。
(4)
合并同类项
合并同类项法则
注意在合并时，仅将
系数加到了一起，而字母及其指数均不改变
.
(5)
系数化为
1
不等式的性质
2
或
3
两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠
倒，同时
注意不等号的方向变化。
2
(6)
检验
说明：
解一元一次不等式和解一元一次方程类似．
不同的是：
一元一次不等式两边同乘以
(
或除以
)
同一个负
数时，
不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
【例题精讲】
题型一：不等式的基本概念
例
1.
下列式子①
3
x
5
；②
a<
/p>
2
；③
3
m
1
4
；④
5
x
6
y
；⑤
a
2
< br>a
2
；⑥
1
2
中，不等式
有
(
)
个
A
､
2
B
､
3
C
､
4
D
､
5
例
2.
在数轴上与原点距离小于
3
的点对应的
x
满足（<
/p>
）
A
､
3
x
3
B
､
x
3
C
､
x
3
D
､
x
3
或
< br>x
3
例
3.
如果关于
x
< br>的不等式
(
a
1)
x
a
< br>
1
的解集为
x
1
，那么
a
的取值范围是
( )
A
､
a
0<
/p>
题型二：不等式的基本性质
1
、下列说法中：①若
a
b
，则
a
b
0
；②若
a
b
，则
ac
bc
；③若
ac
bc
，则
< br>a
b
；④若
< br>2
2
B
､
a
0
C
､
a
1
D
､
a
1
< br>
ac
2
bc
2
，则
a
b
.
正确的有
< br>( )
A
､
1
个
2
、若
B
､
2
个
C
､
3
个
D
< br>､
4
个
a
a
，
则
a
一定满足
( )
3
2
B
､
a
0
C
､
a
0
< br>
D
､
a
0
A
､
a
0
x
2
x
2005
0
，求代数式（
x
1
）
2
的值是
________
3
、已知正整数
x
满足
3
3
题型三：一元一次不等式
例
1.
若<
/p>
(
m
2)
x
2
m
1
1
5
是关于
x
的一元一次不等
式，则该不等式的解集为
__________________
例
2.
若
(
m
1)
x
±
1
m
2
0
是关于
x
的一元
一次不等式，则
m
（
）
B
．
1
C
．
-1
D
．
0
题型四：解一元一次不等式
例
1.
解
下列不等式
1
1
2
1
1
(
3
y
1
)
y
y
1
.
（
2
）
<
/p>
x
[
x
(
x
1
)]
(
x
1
).
5
2
2
3
（
1
）
2
<
/p>
0
.
4
x
0
.
9
0
.
03
0
.
02
x
x
5
0
.
5
0
.
03
2
（
3
）
x
例
2.
已
知
a
,
b
,
c
,
d
为实数，现规定一种新的运算
ad
bc
，则不等式
2
c
d
2
a
b
x
1
3
1
的解
1
为
．
例
3.
若
a
1
，
M
a
,
N
a
2
2
a
1
,
P
,
则
M
、
N
、
P
的大小的关系是（
）
3
3
A
P
N
M
B.
M
< br>
N
P
C
．
N
P
M
D.
M
P
N
4
例
4.
已
知
A
2
x
3
x
2
，
B
2
x
< br>4
x
5
，试比较
A
与
B
的大小．
题型五：解一元一次不等式组
2
2
2
x
3
x
< br>
4
8
2
x
例
1
.
不等式组
的最小整数解为（
）
A.-1 B.0 C.1 D.4
1
例
2.
满足不等式
2
x
1
<
/p>
2
3
的非负整数解的个数是（
）
A.5
B.4 C.3 D.
无数个
【课堂练习】
1.
已知
x
2
的最小值是
a
，
x
6
的最大值是
b
，求
a
b
________
2.
如果
m
n
0
，下列结论中错误的是
( )
A
､
m
9
n
< br>
9
B
､
m
n
C<
/p>
､
1
1
n
m
D
､
m
1
n
3.
若<
/p>
a
b
a
，
a
b
b
，则有
( )
A
､
ab
0
B
､
a
0
b
C
､
a
b
0
D
､
a
b
0
5
4.
下列不等式变形正确的是
( )
A
､
由
a
b
，得
ac
bc
<
/p>
B
､
由
x
y
，且
m
0
，得
x
y
m
m
2
2
2
2
C
､
由
x
y<
/p>
<
br>､ yz y <
br>（
2
x
，得
xz
yz
D
由
xz
，得
x
5.
已知
a
b
0
，比较下列各数的大小
a
b
和
a
b
（
1
）
（
2
）
a
a
3
和
4
2
2
3
）
a
b
4
和
4
2
2
6.
比较下列各组中算式结果的大小：
（
1
）
4
+3<
/p>
_____2
×
4
×
3
；
（
2
）（
-2
）
+1
_____2
×（
-2
）×
1
；
（
3
）
+2
_____2
×
2
×
2
．
通过观察，归纳比较
2006
+2007
_____2
×
2006
×
2007
，并写出能反映这种规律的
一般结论。
7.
若
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
1
2
m
1
x
8
5
是一元一次不等式，则
m
值为（
）
2
B
．
1
C
．
2
D
．
3
A
．
0
y
8.
3
x
1
7
x
3
2
(
x
< br>2
)
3
y
8
2
(
1
0
y
)
<
/p>
2
1
.
3
7
3
5
15
9.
求不等式
2
(
4
x
3
)
5
(
5
x
12
)
的所有负整数解．
3
6
6