一元一次不等式知识点及典型例题
-
..
宿州市第二初级中学
陆连荣
一元一次不等式
考点一、不等式的概念
（
3
分）
<
/p>
1
、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2
、
不等式的解集
：
对于一个含有未知数的不等式，
任何一个适合这个不等式的未
知数的值，
都叫做这个不等式的解。
个不等式的解集。
4
、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5
、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
（
3~5
分）
1
、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等
号的方向不变。
2
、不等式两边都乘
以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3
、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
变。②如果不等式乘以
0
，那么不等号改为等
号所以在题目中，要求出乘以的数，那么
否则不等式不成立；
考点三、一元一次不等式
（
6--
8
分）
1
、一元一次不等式的概念
：
一般地，不等式中只含有一个未知数
，未知数的次数是
1
，且
不等式的两边
都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
将
x
项的系数化为
1
考点四、一元一次不等式组
（
8
分）
1
、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起
，就组成了一个一元一次不
等式组。
3
、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4
、当任何数
x
都不能使
不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5
、一元一次不等式组的解法
（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（
2
）利用
数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6
、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉
，
=
，
〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一
;
..
个整式，
不等号的方向不变。
③
不等式的两边都乘以或者除以一个正数，
不等号方向不变。
④不
等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
7
、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一
不等式的概念：
例
判断下列各式是否是一元一次不等式？
-x
≥
5
2x-y
＜
0
2
x
3
3
、对于一个含有未知
数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这
知识点与典型基础例
题
4
x<
/p>
5
x
2
2
x
5
3
二
不等式的解
：
三
不等式的解集：
例
判断下列说法是否正确，为什么？
4
、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改
X=2
是不等式
x+3
＜
2
的解。
X=2
是不等式
3x
＜
7
的解。
不等式
3x
＜
7<
/p>
的解是
x
＜
2<
/p>
。
X=3
是不等式
3x
≥
9
的解
例
判断下列各式是否是一元一次不等式
－ｘ＜５
２ｘ－ｙ＜０
例
五．不等式的基本性质问题
2
x
3
就要看看题中是否出现一元一次不等式，
如果出现了，
那么不等式乘以的数就不等为
0
，
四
一元一次不等式：
x
2
2
x
5
≥３ｘ
2
、解一元一次不等式的一般步骤：
（
1
）去分母（
2
）去括号（
< br>3
）移项（
4
）合并同类项（<
/p>
5
）
例
1
指出下列各题中不等式的变形依据
1
）由
3a>2
得
a>
2
3
2)
由
3+7>0
得
a>-7
3
）由
-5a
<1
得
a>-
1
5
4)
由
4a>3a+1
得
a>1
2
、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式
组的解集。
例
2
用>”或
<
”填空，并说明理由
如果
a/b/c/ <
br>1
<
br>2 <
br>的非负整数解。
a
则
1
）
a-2( )b-2 2
）
-
a
2
<
/p>
-
b
2
3)-3a-5( )-3b-5
例
3
把下列不等式变成
x>a
x
的形式。
4
X+4>7 5x<1+4x
-
5
x>-1 2x+5<4x-2
例
4
已知实数
在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（
）
A cb>ab
B ac>ab C cb
例５
当０＜ｘ＜１时ｘ
２
，ｘ，
1
x
，之间的大小关系是
。
例
将下列不等式的解集在数轴上表示出来。
X
≥
2 x
＜
1
2
3
x
＜
3
的非负整
数解
-1
1
3
x
2
2
六
在数轴上表示不等式的解集：
例
解下列不等式并把解集在数轴上表示出来
2x+3
＜
3x+2
-3x+2
≤
5 -
1
x
5
3
x
2
3
≠
2
x
1
3
8-2(x+2)
＜
4x-2
3-
x
1
3
x
1
4
2
3
(
x
1
)
x
8
５－ｘ＋
3
＜１－
2
x
2
3
题型一：求不等式的特殊解
例１）
求
x
+3
＜
6
的所有正整数解
２）求
10-4
（
x-3
）≥
2
（
x-1
）
的非负整数解，并在数轴上表示出来。
３）求不等式
3
x
2
1
0
４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数
题型二：不等式与方程的综和题
例
关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
x
9
5
x
1
不等式组
{
x
m
1
的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？
5
x
3
y
31
若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组
{
x
y
p
0
的解是正整数，求整数Ｐ的值。
;..
..
x
a
b
已知关于ｘ的不等式组
{
2
x
a
2
b
1
的解集为３≤ｘ＜５，求
a<
/p>
b
的值。
题型三
确定方程或不等式中的字母取值范围
例
ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数
已知关于
x
的方程
3k
－
5x
＝－
9
的解是非负数，求
k
的取值范围
已知
在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
4
x
3
y
k
若方程组
{
2
x
3
y
5
的解中
x>y
，求
K
的范围。
<
/p>
如果关于
x
的方程
x+2m-3=3x+7
的解为不大于
2
的非负数，求
m
的范围。
若
|2a+3|
＞
2a+3,
求
a
的范围。
若（
a+1
）
x
＞
a+1
的解是
x
＜
1,
求
a
的范围。
x
8
4
x
1
若
{
x
a
的解集为＞３，求ａ
的取值范围。
已知关于
x
的方程ｘ－
2
x
m
3
2
x
3
的解是非负数，ｍ
是正整数，求ｍ的值。
9
x
a
0
如果
{
8
x
b
0
的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型五
求最小值问题
例
x
取什么值时，代数式
5
x
< br>
4
1
6
的值不小于
7
8
< br>
x
3
的值，并求出
X
的最小值。
题型六
不等式解法的变式应用
例
根据下列数量关系，列不等式并求解
。
..
X
的
1
3
与
x
的
2
倍的和是非负数。
C
与
4
的和的
30
< br>﹪不大于
-2
。
X
除以
2
的商加上
2
，至多为
5
。
< br> A
与
b
两数和的平方不
可能大于
3
。
例
ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？
例
ｘ取哪些非负整数时，
题型七
解不定方程
例
求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。
3
x
2
5
A
、
B
、
C
、
D
、
的值不小于
2
x
3
与１的差。
把不等式组
的解集表示在
数轴上正确的是（
）
x
2
a
已知
{
x
3
a
< br>
2
无解，求ａ的取值范围。
题型八
比较两个代数式值的大小
例
已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ
－ａ＋５，Ｃ＝ａ
＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大
小关系
题型九
不等式组解的分类讨论
２
２
答案：
C
不等式
Ａ．
的解集是（
）
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：
C
ax
4
.
.
8
3<
/p>
ax
例
解关于
ｘ的不等式组
{
(
a
< br>
2
)
x
2
.
.
2
(
1
a
)
x
4
8
、常见题型
一、选择题
在平面直角坐标系中，若
点
P
(
m
－<
/p>
3
，
m
＋
1)
在第二象限，则
m
的取值范围为
( )
A
．－<
/p>
1
＜
m
＜
3
B
．
m
＞
3
C
．
m
＜－１
D
．
m
＞－１
答案：
A
已知关于
的一元二次方程
B
．
有两个不相等的实数根，则实数
C
．
D
．
答案：
D
的取值
若不等式组
有实数解，则实数
的取值范围是（
）
A
．
若
A
．
B
．
，则
C
．
D
．
答案：
A
的大小关系为（
）
C
．
D
．不能确定
答案：
A
B
．
不等式
—
x
—
5
≤<
/p>
0
的解集在数轴上表示正确的是
（
）
范围是（
）
< br>A
．
关系是（
D
）
;..
四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为
P
、
< br>Q
、
R
、
S
，如图
3
所示，
< br>
则他们的体重大小
答案：
B
不等式
＜
的正整数解有
( )
..
（
A
）
1
个
（
B
）
2
个
（
< br>C
）
3
个
（
D
）
4
个
答案：
C
答案：
C
不等式组
A
．
B
．
C
．
D
．
的解集在数轴上表示正确的是（
）
把某不等式组中两个不等式的解
集表示在数轴上，
如图所示，
则这个不等式组可能是
（
）
答案：
C
答案：
B
把不等式组
不等式组
，的解集是（
）
的解集表示在数轴上，正
确的为图
3
中的（
）
A
．
不等式组
B
．
C
．
D
．无解
答案：
C
的解集在数轴上可表示为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
答案：
B
A
B C D
用
表示
三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么
答案：
< br>D
实数
在数轴上对应的点如图所示，则
，
，
的大小关系正确的是（
）
这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（
）
A
．
答案：
D
如图，
a
、
b
、
c
分别表示苹果、梨、桃子的质量．
同类水果质量相等，则下列关系正确的是
（
）
答案：
A
A
．
a
＞
c<
/p>
＞
b
B
．
b
＞
a
＞
c
C
．
a
＞
b
＞
c
D
．
c
＞
< br>a
＞
不等式组
的解集在数轴上可
表示为（
）
B
．
C
．
D
．
b
;..
..
不等式组
的整数解的个数为
．
答案：
4
6
.
已知关于
答案：
A
在数轴上表示不等式组
的解集，正确的是（
）
答案：
9
.
不等式组
的不等式组
的整数解共有<
/p>
3
个，则
的取值范围是
< br>
．
的解集是
．
答案：
10
．直线
于
的不等式
与直线
在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关
的解集为
．
答案：
A
二、填空题
已知
3x+4
≤
6+2(x-2),
则
如图，已知函数
解集为
．
和
的最小值等于
________.
答案：
1
的图象交点为
，则不等式
答案：
<-1
的解集为－
1
＜
x
＜
2
，则
(m
＋
n)
2008
＝
__________
．答案：
1
的
13.
已知不等式组
三、简答题
解不等式组
答案：
解：解不等式（
1
）
，得
原不等式组的解是
．
解不等式（
2
）
，得
．
< br>
．
不等式组
;..
的解集为
．
答案：
..
易知
解不等式组
并写出该不等式组的最大整数解
.
．
原不等式的解为
大于或等于
，
，
时，
．
，
即<
/p>
随
的增大而减小，
的最大值为
7
．
或
最大值．
（
3
）原问题转化为：
当
时，
解：解不等式
x+1
＞
0,
得
x
＞
-1
解不等式
x
≤
，得
x
≤
2
当
当
故
∴不等式得解集为
-1
＜
x
≤
2
∴该不等式组的最大整数解是
2
若不等式组
根，求
a
的值。
解：解不等式得
解方程
，则整数解
x=-2
代入方程得
a=4
。
<
/p>
。
由绝对值的几何意义知，
该方程表示求
在数轴上与
1
和－
2
< br>
的整数解是关于
x
的方程
的
解不等式组
并把解集表示在下面的数轴上
.
<
/p>
的距离之和为
5
的点对应的
x
的值。在数轴上，
1
和－
2
的距离为
3
，满足方程的
x
对
应点在
1
的右边或－
2
的左边，若
x
对应点在
1
的右边，由图（
17
）可以看出
x
＝
2
；同
理，若<
/p>
x
对应点在－
2
的左边，可得
x
＝－
3
，故原方程的解是
x=2
或
x
=
－
3
解：
的解集是：
的解集是：
参考阅读材料，解答下列问题：
（<
/p>
1
）方程
（
2<
/p>
）解不等式
（
3
）若
解：
（
1
）
1
或
当
的解
为
所以原不等式的解集是：
………………………………………（<
/p>
3
分）
解集表
示如图…………………………………………………………………（
5
分）
≥
9
；
解不等式组
≤
a
对
任意的
x
都成立，求
a
的取值范围
．
（
2
）
和
的距离为
7
，
的两侧．
．
由不等式（
1
）得：
< br>由不等式（
2
）得：
所以：
5
＞
x
≥
3
当
;..
在
的左边时，如图（
2
）
，
<5
≥
3
解：
因此，满足不等式的解对应的点<
/p>
3
与
在
3
的右边时，如图（
2
）
，
易知
..
解不等式组：
并判断
是否满足该不等式组．
解：原不等式组的解集是：
，
满足该不等式组．
解不等式
3x-2<7,
将解集在数轴上表示出来
,
并写出它的正整数解．
解：
3x-2<7
3x<7+2
3x<9
x<3
解不等式组
，并写出它的所有整数解
.
解：
解不等式组
并求出所有整数解的和．
原不等式组的解集是
则原不等式组的整数解是
所有整数解的和是：
;..
．
．
解：解不等式①，得
解不等式②，得
．
，
..
不等式复习
1
一：知识点回顾
1
、一元一次不等式（组）的定义：
2
、一元一次不等式（组）的解集、解法：
3
、求不等式组的解集的方法
：
若
a
＜
b
，
7
、不等式组
的解集为
x
＜
2
，试求
k
的取值范围
______
5
、如果一元一次方程
2
< br>x
5
k
6
、如图，直线
x
4
的解是正数，那么
k
的取值范围是
________
．
y
kx
b
经过点
A
(
1
，
2)
和点
B
(
2
，
0)
，直线
y
< br>2
x
过点
A
，则不等
B
< br>．
2
式
2
x
k
x
b
0<
/p>
的解集为（
）
A
．
x
2
D
．
1
x
< br>
1
C
．
2
x
0
x
0
y
B
A
O
x
8
、由
x
＞
y
得
ax≤ay
的条件是（
）
当
时，<
/p>
x
＞
b
；（
同大取大
）
当
时，
x
＜
a
；（
同小取小
）
A.a
＞
0
B.a
＜
0
C.a≥0
D.a≤0
9
、由
a
＞
b
得
am
2<
/p>
＞
bm
2
的条件是（
）
A.m
＞
0
B.m
＜
0
C.m≠0
D.m
是任意有理数
三：例题讲解
当
解
）
二：小试牛刀
1
、不等式
8-3x
≥
0
的最大整数解是
_______________.
2
、若
(
a
1
)
x
a
1
的解集
是
x
1
，则
a
必须满足
_______
时，
a
＜
x
＜
b
；
（
大小小大取中间
）
当
时无解，（
大大小小无
1
、已知关于
x
的不等式
2
x+m>-5
的解集如图所示，则
m
的
值为（
）
A, 1
B,
0
C,
-1
D, 3
2
、不等式
<
br>3 <
br>、若不等式组
2x+1
有
个正整数解，则
a
的取值范围
是？
3
、关于
x
的不等式组
3
x
4
,
的解集是
4
x
a
，则
a
的取值范围是
________
．
x
a
2
x
a<
/p>
0
的整数解共有
3
个，则
a
的取值范围是多少？
1
x
0
1
4
、若
0
a
1
，则
< br>a
、
、
a
之间的大小关系是
________
．
a
;..
4
、若方程组
3
x
y
2
k
,
的解满足
< br>x
1
,
且
y
1
，
求整数
k
的取值范围。
y
x
< br>
3