一元一次不等式知识点及典型例题综合大全
-
不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向
相反。
一元一次不等式
7
、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一
不等式的概念：
考点一、不等式的概念
（
3
分）
<
/p>
1
、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
都叫做这个不等式的解。
个不等式的解集。
4
、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5
、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
（
3~5
分）
1
、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等
号的方向不变。
2
、不等式两边都乘
以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3
、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
2
、
不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，
任何一个适合这个不等式的未知数的值，
知识点与典型基础例题
3
、
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这
例
判断下列各式是否是一元一次不等式？
-x
≥
5
2x-y
＜
0
2
x
3
4
5
x
x
2
2
x
5
3
二
不等式的解
：
三
不等式的解集：
例
判断下列说法是否正确，为什么？
X=2
是不等式
x+3
＜
2
的解。
X=2
是不等式
3x
＜
7
的解。
不等式
3x
＜
7
的解
是
x
＜
2
。<
/p>
X=3
是
不等式
3x
≥
9
的解
4
、说明：①在一元一次不等
式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改
四
一元一次不等式：
变。②如果不等式
乘以
0
，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，
那么
例
判断下列各式是否是一元一次不等式
就要看看题中是否出现一元一次不等式，
如果出现了，
那么不等
式乘以的数就不等为
0
，
否则不等式不
成立；
考点三、一元一次不等式
（
6--
8
分）
不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2
、解一元一次不等式的一般步骤：
（
1
）去分母（
2
）去括号（
3
）移项（
4
）合并同类项（
5
）
将<
/p>
x
项的系数化为
1
考点四、一元一次不等式组
（
8
分）
1
、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起
，就组成了一个一元一次不
等式组。
2
、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集
。
3
、求不等式组的解集的过程，叫
做解不等式组。
4
、当任何数
x
都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集
。
5
、一元一次不等式组的解法
（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（
2
）利用
数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6
、不等式与不等式组
不等式：①用符号〉
，
=
，
〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一
个
整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向
２
－ｘ＜５
２ｘ－ｙ＜０
例
五．不等式的基本性质问题
2
x
3
x
2
2
x
5
≥３ｘ
1
、一元一次不等式的
概念
：
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是<
/p>
1
，且
例
1
指出下列各题中不等式的变形依据
1
）由
3a>2
得
a>
2
3
2)
由
3+7>0
得
a>-7
3
）由
-5a
<1
得
a>-
1
4)
由
4a>
3a+1
得
a>1
5
例
2
用
>”或
<
”填空，并说明理由
如果
2 <
br>的非负整数解。
a
则
1
）
a-2( )b-2 2
）
-
a
2
<
/p>
-
b
2
3)-3a-5( )-3b-5
例
3
把下列不等式变成
x>a
x
的形式。
X+4>7
5x<1+4x -
4
5
x>-1
2x+5<4x-2
例
4
已知实
数
a/b/c/
在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（
）
A cb>ab B ac>ab C cb
例５
当０＜ｘ＜１时ｘ
，ｘ，
1
x
，之间的大小关
系是
。
例
将下列不等式的解集在数轴上表示出来。
X
≥
2 x
＜
1
2
3
x
＜
3
的非负整数解
-1
1
3
x
2
1
2
六
在数轴上表示不等式的解集：
例
解下列不等式并把解集在数轴上表示出来
2x+3
＜
3x+2
-3x+2
≤
5 -
1
x
≠
x
5
2
1
3
x
3
2
3
8-2(x+2)
＜
4x-2
3-
x
1
x
1
)
x
4
2
3
(
8
５－ｘ＋
3
＜１－
2
x
3
x
1<
/p>
2
3
题型一：求不等式的特殊解
例１）
求
x
+3
＜
6
的所有正整数解
２）求
10-4
（
x-3
）≥
2
（
x-1
）
的非负整数解，并在数轴上表示出来。
３）求不等式
3
x
2
1
0
４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数
题型二：不等式与方程的综和题
例
关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
x
9
5
x
1
不等式组
{
x
m
1
的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？
5
x
3
y
31
若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组
{
x
y
p
0
的解是正整数，求整数Ｐ的值。
x
a
b
已
知关于ｘ的不等式组
{
2
x
a
2
b
1
的解集为３≤ｘ＜５，
求
a
b
的值。
题型三
确定方程或不等式中的字母取值范围
例
ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数
已知关于
x
的方程
3k
－
5x
＝－
9
的解是非负数，求
k
的取值范围
已知
在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
4
x
3
y
k
若方程组
{
2
x
3
y
5
的解中
x>y
，求
K
的范围。
<
/p>
如果关于
x
的方程
x+2m-3=3x+7
的解为不大于
2
的非负数，求
m
的范围。
若
|2a+3|
＞
2a+3,
求
a
的范围。
若（
a+1
）
x
＞
a+1
的解是
x
＜
1,
求
a
的范围。
x
8
4
x
1
若
{
x
a
的解集为＞３，求ａ
的取值范围。
已知关于
x
的方程ｘ－
2
x
m
x
3
2
3
的解是非负数，ｍ
是正整数，求ｍ的值。
9
x
a
0
如果
{
8
x
b
0
的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型五
求最小值问题
例
x
取什么值时，代数式
5
x
< br>
4
1
x
6
的值不小于
< br>7
8
3
的值，并求出
X
的最小值。
题型六
不等式解法的变式应用
例
根据下列数量关系，列不等式并求解
。
X
的
1
3
与
x
的
2
倍的和是非负数。
C
与
4
的和的
30
< br>﹪不大于
-2
。
X
除以
2
的商加上
2
，至多为
5
。
< br> A
与
b
两数和的平方不
可能大于
3
。
例
ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？
例
ｘ取哪
些非负整数时，
3
x
2
5
的值不小于
2
x
3
与１的差。
题型七
解不定方程
例
求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。
x
2
a
已知
{
x
3
a
2
无解，求ａ的取值范围。
题型八
比较两个代数式值的大小
例
已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ
－ａ＋５，Ｃ＝ａ
＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大
小关系
题型九
不等式组解的分类讨论
２
２
答案：
C
不等式
Ａ．
的解集是（
）
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：
C
ax
4
.
.
8
3<
/p>
ax
例
解关于
ｘ的不等式组
{
(
a
< br>
2
)
x
2
.
.
2
(
1
a
)
x
4
8
、常见题型
一、选择题
在平面直角坐标系中，若
点
P
(
m
－<
/p>
3
，
m
＋
1)
在第二象限，则
m
的取值范围为
( )
A
．－<
/p>
1
＜
m
＜
3
B
．
m
＞
3
C
．
m
＜－１
D
．
m
＞－１
答案：
A
已知关于
的一元二次方程
B
．
有两个不相等的实数根，则实数
C
．
D
．
答案：
D
的取值
若不等式组
有实数解，则实数
的取值范围是（
）
A
．
若
A
．
B
．
，则
C
．
D
．
答案：
A
的大小关系为（
）
C
．
D
．不能确定
答案：
A
B
．
不等式
—
x
—
5
≤<
/p>
0
的解集在数轴上表示正确的是
（
）
范围是（
）
< br>A
．
关系是（
D
）
四个小朋友玩跷跷板，他们的体重
分别为
P
、
Q
、
R
、
S
，如
图
3
所示，
则他们的体重大小
答案：
B
不等式
＜
的正整数解有
( )
（
A
）<
/p>
1
个
（
B
）
2
< br>个
（
C
）
3
个
（
D
）
4
个
答案：
C
把某不等式组中两个不等式
的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
A
、
B
、
C
、
D
、
答案：
B
把不等式组
的解集表示在数轴上正确的是（
）
不
等式组
A
．
不等式组
B
．
，的解集是（
）
C
．
D
．无解
答案：
C
A
．
B
．
C
．
D
．
答案：
B
用
表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示
，那么
的解集在数轴上可表示为（
）
A
B C D
答案：
D
实数
在数轴上对应的点如图所示，则
，
，
的大小关系正确的是（
）
这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（
）
A
．
答案：
D
如图，
a
、
b
、
c
分别表示苹果、梨、桃子的质量．
同类水果质量相等，则下列关系正确的是
（
）
答案：
A
不等式组
A
．
a
＞
c
＞<
/p>
b
B
．
b
＞
a
＞
c
C
．
a
＞
b
＞
c
D
．
c
＞
a
< br>＞
的解集在数轴上可表示为（
）
B
．
C
．
D
．
b
答案：
C
不等式组
< br>的解集在数轴上表示正确的是（
）
答案：
A
答案：
C
把不等式组
的解集表示在数轴上，正确的为图
3
中的（
）
在数轴上表示不等式组
的解集，正确的是（
）
则关于
的不等式
的解集为
< br>
．
答案：
A
二、填空题
已知
3x+4
≤
6+2(x-2),
则
如图，已知函数
解集为
．
和
的最小值等于
________.
答案：
1
的图象交点为
，则不等式
的
答案：
<-1
的解集为－
1
＜
x
＜
2
，则
(m
＋
n)
2008
＝
__________
．答案：
1
13.
已知不
等式组
三、简答题
解不等式组
解：解不等式（
1
）
，得
答案：
原不等式组的解是
．
解不等式（
2
）
，得<
/p>
．
．
不等式组
的解集为
．
答案：
解不等式组
并写出该不等式组的最大整数解
.
不等式组
的整数解的个数为
．
答案：
4
解：解不等式
x+1
＞
0,
得
x
＞
-1
解不等式
x
≤
，得
x
≤
2
∴不等式得解集为
-1
＜
x
≤
2
∴该不等式组的最大整数解是
2
6
.
已知关于
的不等式组
的整数解共有<
/p>
3
个，则
若不等式组
的取值范围是
．
a
的值。
答
案：
9.
不等式组
的解集是
．
答案：
解：解不等式得
解方程
，则整数解
x=-2
代入方程得
a=4
。
。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上
与
1
和－
2
的
的整数解是关于
x
的方程
的根，
求
距离之和为
5
的点对应的
x
的值。在数轴上，
1
和－
2
的距离为
3
，满足方程的
x
对应点在
1
的右边或－
2
的左边，若
x
对应点在
1
的右边，由图（
17
）可以看出
x
＝
2
；同理，若
x
10
．直线
与直线
在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
对应点在－
2
的左边，可得
x
＝－
3
，故原方程的解是
x=2
或
x=
－
3
参考阅读材料，解答下列问题：
（<
/p>
1
）方程
的解为
（
2
）解不等式
≥
9
；
（
3
）若
≤
a<
/p>
对任意的
x
都成立，求
< br>a
的取值范围
解：
（
1
）
1
或
．
（
2
）
和
的距离为
7
，
因此，满足不等式
的解对应的点
3
与
的两侧．
当
在
3
的右边时，如图（
2
）
，
易知
．
当
在
的左边时，如图（
2
）
，
易知
．
原不等式的解为
或
（
3
）原问题转化为：
大于或等于
最大值．
当
时，
，
<
/p>
当
，
随
的增大而
减小，
当
时，
，
即
的最大值为
7
．
故
．
解不等式组
并把解集表示在下面的数轴上
.
解：
的解集是：
的解集是：
所以原不等式的解集是：
„„„„„„„„„„„„„„„（
3
分）
解集表示如
图„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（
5
分）
解不等式组
解：
由不等式（
1
）得：
<5 <
/p>
由不等式（
2
）得：
≥
3
所以：
5
< br>＞
x
≥
3
解不等式组：
并判断
是否满足该不等式组．
解：原不等式组的解集是：
，
满足该不等式组．
解不等式
3x-
2<7,
将解集在数轴上表示出来
,
并
写出它的正整数解．
解：
3x-2<7
3x<7+2
3x<9
x<3
解不等式组
，并写出它的所有整数解
.
解：
2
、若
(
a
1
)
x
a
1
的解集是
x
1
，则
a
必须满足
_______
解不等式组
并求出所有整数解的和．
x
4
,
3
、若不等式组
的解集是
4
x
a
，则
a
的取值范围是
________
．<
/p>
x
a
1
、
a
之间的大小关系是
________
．
a
5
、如果一元一次方
程
2
x
5<
/p>
k
x
4
的解是正数，那么
k
的取值范围是
________
．
4
、若
0
<
/p>
a
1
，则
a
2
、
解：解不等
式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集是
< br>则原不等式组的整数解是
所有整数解的和是：
不等式复习
1
一：知识点回顾
．
，
6
、如图，直线
．
．
y
kx
b
经过点
A
(
1
，
2)
和点
B
(
2
，
0)
，直线
y
2
x
过点
A
，则不等
B
．
2
式
2
x
< br>
kx
b
0
的解集为（
）
A
．
x
2
D
．
1
< br>x
0
y
x
<
/p>
1
C
．
2
x
0
B
A
O
x
1
、一元一次不等式（组）的定义：
2
、一元一次不等式（组）的解集、解法：
7
、不等式组
3
、求不等式组的解集的方法
：
若
a
＜
b
，
的解集为
x
＜
2
，试求
k
的取值范围
______
8
、由
x
＞
y
得
ax≤ay
的条件是（
）
A.a
＞
0
B.a
＜
0
C.a≥0
D.a≤0
9
、由
a
＞
b
得
am
2<
/p>
＞
bm
2
的条件是（
）
A.m
＞
0
B.m
＜
0
C.m≠0
D.m
是任意有理数
三：例题讲解
1
、已知关于
x
的不等式
2x+m>
-5
的解集如图所示，则
m
的值为（<
/p>
）
A, 1
B,
0
C,
-1
D, 3
当
时，
x
＞
b
；（
同大取大
）<
/p>
当
时，
x
＜
a
；（
同小取小
）
当
解
）
<
/p>
时，
a
＜
x
＜
b
；（
大小小大
取中间
）
当
时无解，（
大大小小无
2<
/p>
、不等式
2x+1
有
3
个正整数解，则
a
的取值范
围是？
二：小试牛刀
1
、不等式
8-3x
≥
0
的最大整数解是
___________
____. -