常微分方程练习试卷及答案
-
常微分方程练习试卷
一、填空题。
d
< br>2
x
1
0
是
阶
（线性、非线性）微分方程
.
1.
方程
x
2
dt
3
2.
方程
x
dy
f
(
xy
)
经变换
_
_
_
_
_<
/p>
_
_
，可以化为变量分离方程
.
y
dx
d
3
y
3.
微分方程
3
y<
/p>
2
x
0
满足条件
y
(0)
1,
y
<
/p>
(0)
2
的解
有
个
.
dx
*
2
x
x
x
4.
设
常
系
数
方
程
y
< br>
y
y
e
x
的
一
个
特
解
y
(
x
)
e
e
xe
，
则
此
方
程
的
系
数
，
，
.
5.
朗斯基行列式
W
(
t
)
0
是函数组
x
1
(
t
),
x
2
(
t
),
< br>
条件
.
6.
方程
xydx
< br>
(2
x
2
3
y
2
20)
dy
0
的只与
y
有关的积分因子为
.
7.
已知
X
< br>A
(
t
)
X
的基解矩阵为
(
t
)
的，则
A
(
t
)
.
,
x
n
(
t
)
在
a
x
b
上线性相关的
2
0
8.
方程组
x
'
x
的基解矩阵为
．
0
5<
/p>
9.
可用变
换
将伯努利方程
10
.
11.
方程
化为线性方程
.
是满足方程
y
2
y
5
y
y
1
和初始条件
的唯一解
.
的待定特解可取
的形式
:
12.
三阶常系数齐线性方程
y
2
y
y
0
的特征根是
二、计算题
1.
求平面上过原点的曲线方程
, <
/p>
该曲线上任一点处的切线与切点和点
(1,0)
< br>的连线相互垂直
.
dy
x<
/p>
y
1
2
．求解方程
.
dx
x
y<
/p>
3
d
2
x
dx
2
3.
求解方程
x
2
<
/p>
(
)
0
。
d
t
dt
4
．用比较系数法解方程
.
.
5
．求方程
y
y
<
/p>
sin
x
的通解
.
2
2
6
．验证微分方程
(cos
x
sin
x
xy
)
dx
y
(1
x
)
dy
0
是恰当方程，并求出它的通解
.
1
3
1
dX
dX
7
．
设
A
，
，
试求方程组
的一个基解基解矩阵
，
求
A
X
A
X
< br>(
t
)
1
dt
dt
2
4
满足初始条件
x
(
0
)
<
/p>
的解
.
8.
求方程
dy
2
x
1
3
y<
/p>
2
通过点
(1,0)
的第二次近似解
.
dx
dy
3
dy
9.
求
(
)
4
xy
8
y
2
0
的通解
dx
dx
2
1
1
A
x
Ax
10.
若
试求方程组
的解
(0)
(
t
),
,
并求
expAt
1
4
2
三、证明题
1.
若
(
t
),
(<
/p>
t
)
是
X
A
(
t
)
X
的基解矩阵，
求证：
存在一个非奇异的常数矩阵
C
，
使得
(
t
)
(
t
)
C
< br>.
2.
设
(
x
)
(
x
0
,
x
)<
/p>
是积分方程
y
(
x
)
y<
/p>
0
[
2
y
(
)
]
d
,
x
0
x
x
0
,
x
[<
/p>
,
]
的皮卡逐步逼近函数序列
{
n
(
x
)}
在
[
,
]
上一致收敛所得的解，
而
(
x
)
是这积分方程在
[
<
/p>
,
]
上的
连续解，试用逐步逼近法证明：在
[
,
]
上
(
x
)
(
x
< br>)
.
3.
设
都是区间
上的连续函数
,
且
是二阶线性方程
的一个基本解组
.
试证明
:
(i)
(ii)
(iii)
和
和
和
都只能有简单零点
(
即函数值与导函数值不能在一点同时为零
);
没有共同的零点
;
没有共同的零点
.
dX
AX
满足初始条件
(
t
0
)
的解，那么
(
t
)
ex
p
A
(
t
t
0
)
dt
.
4.
试证：如果
(
t
)
是
答案
一
.
填空题。
1.
二，非线性
2.
u
xy
，
1
1
du
dx
3.
无穷多
4.
3,
2,
1
u
(
f
(
u
)
1)
x
5
.
必要
6.
y
3
2
t
< br>e
0
At
< br>
1
7.
(
t
)
(
t
)
8.
e
9.
5
t
0
e
10.
11.
12. 1,
二、计算题
1.
求平面上过原点的曲线方程
,
该曲线上任一点处的切线与切点和点
(1,0)
的连线相互垂直
.
解
:
设曲线方程为
可得如下初值问题
:
,
切点为
(
x
,
y
),
切点到点
(1
,0)
的连线的斜率为
,
则由题意
.
分离变量
,
积分并整理后可得
代入初始条件可得
,
因此得所求曲线为
.
.
d
y
x
y
<
/p>
1
2.
求解方
程
.
dx
x
y
3
x
y
1
0,
解
：由
求得
x
x
y
3
0
则有
< br>
1,
y
2
令
< br>
x
1,
y
2,
d
<
/p>
(1
z
)
dz
d
1
.
令
z
，解得
arctan
z
ln(1
z<
/p>
2
)
ln
|
|
C
,
,
积分得
2
1
z
d
2
故原方程的解为
arctan
y
2
ln
(
x
1)
2
(
y
2)
2
C
.
x
1
d
2
x
dx
2
3.
求解方程
x
2
(
)
< br>0
dt
dt
解
令
，直接计算可得
< br>，于是原方程化为
，故
有<
/p>
或
，
积分后得
，
即
，
所以
就
是原方程的通解，这里
4.
用比较系数法解方程
.
解：
特征方程为
对应齐方程的通解为
设原方程的特解有形如
代如原方程可得
利用对应系数相等可得
原方程的通解可以表示为
(
为任意常数。
.
,
特征根为
.
.
,
故
.
是任意常数
)
.
5.
求方程
y
y
<
/p>
sin
x
的通解
.
解：
先解
y
y
得通解为
< br>y
ce
x
,
令
y
<
/p>
c
(
x
)
e
x
为原方程的解，
代入得
c
(
x
)
e
x
c
(
x
)
e
x
c
(
x
)
< br>e
x
sin
< br>x
,
即有
c
(
x
)
e
x
sin
x
,
1
1
积分得
c
(
x
)
e
x
(sin
x
cos
x
)
c
,
所以
y
ce
x
(sin
x
cos
x
)
为原方程的通解
.
2
2
2
2
6
．验证微分方程
(cos
x
sin
x
xy
)
dx
y
(1
< br>x
)
dy
0
是恰当方程，并求出它的通解
.
解
：
由于
M
(
x
,
y
)<
/p>
cos
x
si
n
x
xy
2
,
N
(
x
,
y
)
y
(1
x
2
)
，
因为
M
N
< br>
2
xy
所以原方程为恰当方程
.
y
x
把原方
程分项组合得
cos
x
sin
xdx
(
xy
2
dx
yx
2
dy
)
ydy
0
,
1
1
1
或写成
d
(
sin
2
x
)
d
(
x
2
y
2
)
d
(
y
2
)
0
,
故原方程的通解为
sin
2
x
x
2
y
2
y
2
< br>C
.
2
2
2
1
3
1
dX
dX
A
X
A
X
< br>7
．
设
A
，
，
试求方程组
的一个基解基解矩阵
，
求
(
t
)
< br>
dt
dt
< br>
2
4
1
满足初始条件
x
(
0
)
的解
.