人教版数学思维之阿拉伯数字和数的十进制
-
阿拉伯数字和数的十进制
<
/p>
现在各国通用的阿拉伯数字本来源于印度，
但由于世界上其他国家
和地区大
都从阿拉伯地区学习到这些数字，大家都把它们叫做阿拉伯数字了。
阿拉伯数字只有
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
这十个，然而用这十个数字
可以记出无限多的数，
随同阿拉伯数字一起的还有它的记数法，
即用几个数字排
列成一个数时，每个数字所在的位置（也就是数位）不同，它就有不
同的计数单
位，
我们在这里只讨论十进制记数法，
当把数字排成一个数时，
最右边一个数字
所在的位置
叫做个位，
从右到左，
依次是个位、
十
位、
百位、
千位„„，
例如
352
这个数，
2
在个位
，表示
2
个“一”
；
< br>5
在十位，表示
5
个“十”
，
3
在百位，表示
3
个百，并且每
10
个“一”是
1
个“十”
，
10<
/p>
个“十”是
1
个“百”
< br>，
10
个“百”是
1
个“千”
，„„。
由数的十进制可以引出许多有用的和有趣的问题。
例
1
：
530658
这个数有哪些计数单位，
怎样把它表示成不同的计数单位的和？
解：
530658
这个数十万位上是
5
，表示
5
个“十万”
，万位上是<
/p>
3
，表示
3
个“
万”
，
千位上是
0
，表示一个“千”也没有，百位上是
6
，表示
6
个“百”
，十位上是
5<
/p>
，
表示
5
个“十
”
，个位上是
8
，表示
8
个“一”
。
530658=5
×
100000
< br>＋
3
×
10000
＋
6
×
100
＋
5
×
10
＋
8
×
1
答：略。
< br>例
2
：一个自然数各位上的数字之和是
< br>16
，而且各位数字都不相同，符合条
件的最小的数是几
？最大的数是几？
解：确定一个数的大小，首先决定于数位的
多少，当数位相同时，从高位到低位
依次比较每位上的数字的大小。
要找出符合条件的最小的数，
要使数位尽量少，
各位上的数字之和是
16
至少有两
位数，两个不同的一位数的和为
16
，只有
9
＋
7=16
，最小为
79
。
要找
出符合条件的最大的数，
要使数位尽量多，
16
分成不同的一位数的和，
是
16=1
< br>＋
2
＋
3
＋
4
＋
6
，
除了这
5
个数字外，
< br>还可以用
0
来占一个位，
所以符
合条件的最大
的数是
643210
。<
/p>
答：最小的数是
79
< br>，最大的数是
643210
。
例
3
：
一个自然数各位上的数字的和是
8
，
而且各位上的数互不相同，
符合条
件的
自然数有多少个？
解：可以分一位数、两位数、三位数、四位数考虑。
一位数：就只能是数字
8
一个。
二位数：不同的两个数字和是
8
的有：
8
、
0
，
7
、
1
，
2
、
6
、<
/p>
3
、
5
四组，共
可组成
7
个二位数。
三位数：不同的三个数字和是
8
的有
< br>7
、
1
、
0
，
6
、
2
、
0
，
5
、
3
、
0
，
1
、
2
、
5
，
1
< br>、
3
、
4
共五组，前三组各可以组成
4
个三位数，后二组各可以组成<
/p>
6
个三位数，共可
组成
< br>3
×
4
＋
2
×
6=24
个三位数。
四位数：不同的四个数字和是
8
的有
1
、
2
< br>、
5
、
0
和
1
、
3
、
4
、
0
共二组
，各可以组
成
18
个四位数，共可组成
36
个四位数。
各位数字不同数字和是
8
的不可能组成五位以上的数，所以
符合条件的自然数共
有
1
＋
7
＋
24
＋
36=68
（个）
。
答：符合条件的自然数有
68
个。
例
4
：在一个两位数的两个数字之间插入一个数字，这个两位数字就变成了
三位数。
有些两位数，
在它的两个数字中间插入某个数字后变成
的三位数，
恰好
是原来的两位数的
9<
/p>
倍，求出所有这样的三位数。
解：
在两位数的两个数字中间插入一个数字使它变成三位数后，
三位数的
个位数
与原来两位数的个位数字相同，就是原来两位数的个位上的数乘
< br>9
，积的个位上
的数不变，原来的数个位上只能是
0
或
5
，但如果两位
数个位上是
0
，十位上的数
乘
9
，就算得到了一个三位数，百位上的数都不会等于原十位数上的数，因
此，
原来个位上只能是
5
。
个位是
5
的两位数有<
/p>
15
、
25
、<
/p>
35
、
45
、<
/p>
55
、
65
、<
/p>
75
、
85
、<
/p>
95
这九个，其中只有
15
、
25
、
35
、
45
这四个数乘
9
分别得
135
、
22
5
、
315
、
405
符合题意，这四个数就是符
合要求的三位数。
答：符合要求的三位数有
135
、
225
、
315
、
405
四个数。
例
5
：一个三位数，把这个三位数的个位数字去掉，再把所得的两位数与原
来的三位数相加，
和是
755
，求原来的三位数。
解：
原来的三位数等于前两位数的
10
倍加上个位数字，
与这个三位数去掉个位数
字所得的两位数相加，和是前两位数的
11
倍加上个位数字，因
此，把和除以
11
，
所得的商是原来三
位数的前两位数，余数是原来三位数的个位数字。
755
÷
11=68
„„
7
所以原来的三位数是
68
×
10
＋
7=687
。
答：原来的三位数是
687
。
*
例
6
：用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
七个数组成三个两位数
和一个一位数，并且
使这四个数的和等于
100
，
我们要求三个两位数中的最大的一个尽可能小，
那么
，
这个最大的两位数是多少？
解：用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
这七个数组成三个两位数和一个一位数，使这四个
数的和等于
100
，如果用尝试的方法拼数，可以有多种拼法，
要找出符合题意的
一个两位数，要进行大量的尝试和筛选。
<
/p>
也可以用另一个方式来想，
即三个两个数和一个一位数求和时，<
/p>
个位上有四个数，
十位上有三个数相加，
百位上的
1
是十位上的数相加进上去的，
在四个数相加时，
个位上和必须是
10
或
20
，十位上必须是
10
，个位上四个数的和是
10
只能是
1
＋
2
＋
< br>3
＋
4
，但其余三个数
5
、
6
、
7
的和超过
10
，四个数的
和超过
100
，因此，个位上
四个数的
和只能是
20
，也就是说，个位上可以是
2
、
5
、
6
、
7
或
3
、
4
、
6
、
7
的和，
当个位上是
2
、
5
、
6
、
7
、时，十位
上是
1
、
3
、
4
的和，当个位上是
3
、
4
、
6
、
7
时，
十位上是
1
、
2
、
5
的和，这两种拼法，组成的四个数的和都是
100
，为了使三个两
位数中的最大的一个尽可能小，
应选用前一种拼法，
这样最大的两位数最小是
42
。