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2021年2月27日发(作者：食评)

初中数学一题多解题

例题一

、两个连续奇数的积是

323

，求出这两个数

方法一、

设较小的奇数为

x,

另外一个就是

x+2

x(x+2)=323

解方程得：

x1=17,x2=-19

所以，这两个奇数分别是：

17

、

19

，或者

-1 7

，

-19

方法二、

设较大的奇数

x,

则较小的奇数为

323/x

则有：

x-323/x=2

解方程得：

x1=19,x2=-17

同样可以得出这两个奇数分别是：

1 7

、

19

，或者

-17

，

-19

方法三、

设

x

为任意整数，则这两个连续奇数分别为：

2x-1,2x+1

(2x-1)(2x+1)=323

即

4x^2-1=323

x^2=81

x1=9,x2=-9

2x1-1=17,2x1+1=19

2x2-1=-19,2x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17

、

19

，或者

-1 7

，

-19

方法四、

设两个连续奇数为

x-1,x+1

则有

x^2-1=323

x^2=324=4*81

x1=18,x2=-18

x1-1=17,x1+1=19

x2-1=-19,x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17

、

19

，或者

-1 7

，

-19

例题二、

某人买

13

个鸡蛋、

5

个鸭蛋、

9

个鹌鹑蛋，共用去

9.25

元；如果买

2

个鸡蛋 ，

4

个鸭蛋，

3

个鹌鹑蛋，

则共用去

3.20

元，< /p>

试问只买鸡蛋、

鸭蛋、

鹌鹑蛋各一个，< /p>

共需多少钱？

解：设 鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为

x

、

y

、

z

元，则根据题意，得

< p>





13< /p>

x



5

y



9

z



< p>
9

.

25

.



2

x



< br>4

y



3

z



320



1





2



分析： 此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出

x

< p>
、

y

、

z

的值是不可能的，但注意到所求的是

x



y



z

的代数和，因此，我 们可通过变形变换

得到多种解法。

1.

凑整法



1







2



，得

5

x



3

y



< p>
4

z



415

< p>
.

3



2







3



，得

7

(

< p>
x



y



z

)



7

.

35



x



y



z



105

.

解

1

：



3



答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需

1.05

元（下面解法后的答均省略）

解

2

：原方程组可变形为





13

(

x



y



< p>
z

)



4

(

2

y



z

)



9

.

25

.



2

(

x



y



z

)



(

2

y



z

)



< br>320

解之得：

x



y



z

< /p>

105

.

2.

主元法

解

3

：视

x

、

y

为主元，视

z

为常数，解

<1>

、

<2>

得

x



05

.



05

.

z

.



05

< p>
.

z

，

y



055



x



y



z



055

.



05

.



z

< p>


z



105

< p>
.

解

4

：视

y

、

z

为主元，视

x

为常数，解

<1>

、

<2>

得

y



0

.

05



x

，

< p>
z



1



2

x



x



y



z



105

.



x



2

x



x



< br>105

.

解

5

：视

z

、

x

为主元，视

y

为常 数，解

<1>

、

<2>

.



2

y

< br>

得

x



y



0

.

05

，

z



< p>
11



x



y



z



y



0

.

05



y



11

.



2

< br>y



105

.

< br>

3.

“消元”法

解

6

：令

x



0

，则原方程组可化为



5

y



9

z



9< /p>

.

25



y



0

.

05







4

y



3

z



32

.

< p>
z



1







x



y



z



105

.

解

7

：令

y



0

，则原方程组可化为



13

x



9

z



9

.

25



x

< /p>



0

.

05







2

x



3

z



320

.

z



11

.

< p>






x



y



z



105

.

解

8

：令

z



0

，则原方程组可化为

.



13

x



5

y



9

.

25

< /p>

x



05







2

x



4

y



320

.

y



055

.







x



y



z



105

.

4.

参数法

解

9

：设

x



y



z



k

< p>
，则



13

< p>
x



5

y



9

z



9

.

25





2

x



4

y



3

z



320

.



x



y



z



k



< br>

1





2





3



< /p>

1







2





3

< p>
，得

x



y





0

.

< br>05



4





3





3





2



，得

x



< p>
y



3

k



32

.



由

<4>

、

<5>

得

3

k



32

.





005

.



k



105

.

即

x



y



z



105

.

5.

待定系数法

解

10.

设



5



x



y



z



a

(

13

x



5

y



9

z

)



b

(

2

x



4

y< /p>



3

z

)



(

13

a



2

b

)

x



(

5

< br>a



4

b

)

y



(

9

a



3

b

)

z



1



则比较两边对应项系数，得



13

a



2

b



1



a



1



< br>



21



5

a



4

b



1





4



< br>9

a



3

b



1



b







21< /p>



将其代入

<1>

中，得

x



y



z



1

4

1



9

.

25





32

.



< br>

22

.

05

< br>

105

.

21

21

21

附练习题

1.

有大小两种货车，

2

< p>
辆大车与

3

辆小车一次可以运货

< br>15.5

吨；

5

辆大车与

6

辆小车一次

可以运货

35

吨。求

3

辆大车与

5

辆小车一次可以运货多少吨？（答案：

24.5< /p>

吨）

2.

有甲、乙、丙三种货物，若购甲

3

件、乙

7

件、丙

1

件共需

3.15

元；若购甲

4

件、乙

10

件、 丙

1

件共需

4.20

< br>元。问若购甲、乙、丙各

1

件共需多少元？（答案：

1.05

元）

平面几何

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一

步的探讨 ，

以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数 学题进

行一题多变，

从变中总结解题方法；

从变中发现解题规律，

从变中发现“不变”，

必将使人受益 匪浅。

“一题多变”的常用方法有：

1

、变换命题的条件与结论；

2

、保留 条件，深化结

论；

3

、减弱条件，加强结论；

4

、探讨命题的推广；

5

、考查命题的特例；

6

、生根伸枝，图形变换；

7

、接 力赛，一变再变；

8

、解法的多变等。

19< /p>

、

（增加题

1

的 条件）

AE

平分∠

BAC

交

BC

于

E

，

求证：

CE

：

EB=CD

：

CB

20

、

（增 加题

1

的条件）

CE

< br>平分∠

BCD

，

AF

< p>
平分∠

BAC

交

BC

于

F

求证：

（< /p>

1

）

BF·

CE = BE·

DF

（

2< /p>

）

AE

⊥

CF

（

3

）设

AE

与

CD

交于

Q

，则

FQ

‖

B C

21

、已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

A B

，

D

为垂足，以

CD

为直径的圆交

AC

、

BC

于

E

、

< p>
F

，

求证：

CE

：

BC=CF

：

AC

< br>（注意本题和

16

题有无联系）

22

、已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，< /p>

CD

⊥

AB

，< /p>

D

为垂足，以

AD

为直径的圆交

AC

于

E

，

以

BD

为直径的圆交

BC

于

F

，

求证：

EF

是⊙

O1

和⊙

O2

的一条外公切线

< br>23

、已知，△

ABC

中，∠< /p>

ACB=90

度，

CD

< br>⊥

AB

，

D

为垂足，作以

AC

为直径的圆

O1

，和

以

CD

为 弦的圆

O2

，

求证：点

A

到圆

O2

的切线长和

AC

相等（

A

T=AC

）

< /p>

24

、已知，△

ABC

< br>中，∠

ACB=90

度，

CD< /p>

⊥

AB

，

D

为垂足，

E

为< /p>

ACD

的中点，连

ED

< br>并延长交

CB

的延长线于

F

，

求证：

DF< /p>

：

CF=BC

：

AC

25

、如图，⊙

O1

与⊙

O2

外切与点

D

，

内公切线

DO

交外公切线

EF

< br>于点

O

，

求证：

OD

是两圆半径的比例中项。

题

14

解答：

因为

CD^2=AD·

DB

AC^2=AD·

AB

BC^2=BD·

AB

所以

1/AC^2+1/BC^2

= 1/

（

AD·

AB

）

+1/

（

BD·

AB

）

=

< br>（

AD+DB

）

/

（

AD·

BD·

AB

）

=AB/AD·

BD·

AB

=1/AD·

BD

=1/CD^2

15

题解答：

因为

M

为

AB

的中点，所以

AM=MB

，

AD- DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM

AC^2-BC^2=AD*AB- DB*AB

=(AD-DB)AB

=2DM*AB

26

、

（在

19

题基础上 增加一条平行线）

已知，△

ABC< /p>

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，

AE

平分∠

BAC

交

BC

于

E

、交

CD

于

F

，

FG

‖

AB

交

BC

于点

G

，

求证：

CE=BG

27

、

（在

19

题基础上增加一条平行线）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，

AE

< br>平分∠

BAC

交

BC

< p>
于

E

、交

CD

< p>
于

F

，

FG

‖

BC

交

AB

于点

G

，连结

EG

，

求证：四边形

CE GF

是菱形

28

、

（对

19

题增加一个结论）

已知，△

AB C

中，∠

ACB=90

度，

< p>
CD

⊥

AB

，

< p>
D

为垂足，

AE

平分∠< /p>

BAC

交

BC

于

E

、交

CD

于

F

，

求证：

CE=CF

29

、

（在

23

题中去掉一个圆）已知，△

ABC

中，∠

< p>
ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂 足，作以

AC

为直径的圆

O1

，

求证：过点

D

的圆

O1

的切线 平分

BC

30

、

（在

19

题中增加一个圆）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

< p>
为垂足，

AE

平分∠

BA C

交

BC

于

E

，交

CD

于

F

，

求证：⊙

CED

平分线段

AF

31

、（在题

1

中增加一个条件）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，∠

A=30< /p>

度，

求证：

BD=AB/4

（沪科版八年 级数学第

117

页第

3

题）

32

、

（在

18

题基础上增加一条直线）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为 垂足，作∠

BCE=

∠

BCD

P

为

AC

上任意一点 ，直线

PQ

交

CD

于

Q

，交

CB

于

M

，交

CE

于

N

求证：

PQ/PN=QM/MN

32

题证明：

作

NS

‖

CD

交直线

AC

与点

S

< br>，

则

PQ/PN=CQ/SN

又∠

BCE=

∠

BCD

∴

QM/MN=CQ/CN

（三角形内角平分线性质定理）

∠

B CE+

∠

NCS=

∠

< br>BCD +

∠

ACD

NS

‖

CD

，∴∠

NS C=

∠

ACD

∴∠

< br>NSC=

∠

NCS

∴

SN=CN

∴

PQ/PN=QM/MN

题

33

在

“

题一中

”

，延长

CB

到

E

，使

EB=CB

，连结

AE

、

< p>
DE

，

求证：

DE·

AB= AE·

BE

题

33

证明

CB^2= BD·

AB

因

EB=CB

∴

EB^2= BD·

AB

∴

EB

：

BD=AB< /p>

：

BE

又∠

E BD=

∠

ABE

∴△

EBD

∽△

ABE

∴

EB

：

AB=DE

：

AE

∴

DE·

AB= AE·

BE

题

34

（在

19

题基础上增加一条垂线）

已知， △

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，

AE

平分

CD

于< /p>

F

，

EG

⊥

AB

交

AB

于点< /p>

G

，

求证：

EG^2= BE·

EC

证明：延长

AC

、

GE

，设交点为

H

，

∴△

EBG

< p>
∽△

EHC

∴

EB

：

EH=EG

：

E C

∴

EH·

EG= BE·

EC

又

HG

< br>‖

CD

，

CF=FD

∴

EH=EG

∴

EG^2= BE·

EC

题

35

（在 题

19

中增加点

F

）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

C D

⊥

AB

，

D

为垂足，

AE

平分∠

BCA

交

BC

于点

E

，交

CD

于

F

，

求证：

2CF·

FD = AF·

EF

题

36

、

（在题

16

中，减弱条件，删除∠

ACB=90

度这个条件）

已知，△

ABC

中，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，

DE

⊥

AC

于

E

，

DF

⊥

BC

于

F

，

求证：

CE/BC=CF/AC

题

37

（在题

17

中，

删除∠

ACB=90

度和

CD

⊥

AB

，

D

为垂足这两个条件，

< br>增加

D

是

AB

< br>上一点，

满足∠

ACD=

∠

ABC

）

已知， △

ABC

中，

D

是

AB

上一点，满足∠

ACD=

∠

ABC

，又

CE

平分∠

BCD

求证：

AE^2= AD·

AB

题

38

已 知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB< /p>

，

D

为垂足，

P C

为⊙

ABC

的切线

< br>

求证：

PA/AD=PB/BD

题

39

（在题

19

中点

E“

该为

E

为

BC

上任意一点

”

）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，

E

为

BC

上任意一点，连结

AE

，

CF

⊥

AE

，

F

为垂足，连结

DF

，

求证：△

ADF

∽△

AEB

题

40

：

< /p>

已知，△

ABC

中，∠

< br>ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足

求证：

S

⊙

ADC

：

S

⊙

BDC=AD

：

DB

题

41

已 知，如图，△

ABC

中，

< p>
CD

⊥

AB

，

< p>
D

为垂足，且

AD/CD=CD/BD

< p>
，

求∠

ACB

的度数。

题

42

已知，

CD

是△

ABC

的

AB

边上的高，

< p>

D

为垂足，且

AD/C D=CD/BD

，

则∠

ACB

一定是

90

度吗？为什么？< /p>

题

43

：

< /p>

已知，△

ABC

中，∠

< br>ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，△

ADC

的内切圆⊙

O1

，

△

BDC

的内切圆⊙

O2

，

求证：

S

⊙

O1

：

S

⊙

O2=AD< /p>

：

DB

题

44

：

< /p>

已知，△

ABC

中，∠

< br>ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，△

ADC

的内切圆⊙

O1

的半径

R1

，

△

BDC

的内切圆⊙

O2

的半 径

R2

，△

ABC

的内切圆⊙

O

的半径

R

< p>
，求证：

R1+R2+R=CD

题

45

、

< /p>

已知，△

ABC

中，∠

< br>ACB=90

度，

CD

⊥

AB

，

D

为垂足，作 以

AC

为直径的圆

O1

，和以

BD

为直径的圆

O2< /p>

，设

O1

和

O2

在△

ABC

内交于

P

求证：

△

< br>PAD

的面积和△

PBC

的面积 相等

题

45

解：

∠

CAP=

∠

CDP=

∠

DBP

（圆周角、弦切角）

∴

Rt

△< /p>

APC

∽

Rt

△

BPD

∴

AP·

PD= BP·

PC

又∠

APD

和∠

CPB

互补（∠

APC +

∠

BPD=180

度）

S

△

PAD=1/2·

AP·

PD·

sin

< br>∠

APD

S

△

PBD=1/2·

BP·

PC·

sin

∠

CPB

∴

S

△

PAD= S

△

PBD

题

46

（在题

38

的基础上变一下）

已知，△

AB C

中，∠

ACB=90

度，

< p>
CD

⊥

AB

，

< p>
D

为垂足，

PC

为⊙

ABC

的切线，又

CE

平分

∠

ACB

交⊙

ABC

与

E

，交

AB

与

D

，

若

PA=5

，

PC=10

，

求

CD·

CE

的值

题

47

在 题

46

中，求

sin

< br>∠

PCA

题

48

（由题

19

而变）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

< p>
AB

，

D

为垂足，

AE

平分∠

ACB

交

BC

于

E< /p>

，

EG

⊥

AB< /p>

交

AB

于点

G< /p>

，

求证：

（< /p>

1

）

AC=AG

（

2

）

、

A G^2= AD·

AB

（

3

）

、

G

在∠

< p>
DCB

的平分线上

（< /p>

4

）

、

FG

‖

BC

（

5

）

、四边形

CEFG

是菱形

题

49

题

49

解答：

题目

50

（ 题

33

再变）

已知，△

ABC

中，∠

ACB=90

度，

CD

⊥

A B

，

D

为垂足，延长

< br>CB

到

E

，使

< br>EB=CB

，连结

AE

交

CD

的延长线于

F

， 如果此时

AC=EC

，

求证：

AF= 2FE

题

50

解：

过点

E

作

EM

⊥

CF

，

M< /p>

为垂足，则

AD

：

DB=AC^2

：

CB^2=4

：< /p>

1

又

DB

：< /p>

EM=1

：

2

所以，

AD

：

EM=2

：

1

△

ADF

∽△

EMF

∴

AF

：

EF=AD

：

EM =2

：

1

∴

AF=2EF

< br>题目

51

（题

50

中连一线）

已知，△

AB C

中，∠

ACB=90

度，

< p>
CD

⊥

AB

，

< p>
D

为垂足，延长

CB

到< /p>

E

，使

EB=CB

，连结

AE

交

CD

< br>的延长线于

F

，

连结

< p>
FB

，如果此时

AC=EC

，

求证：

∠

ABC=

∠

EBF

（题

51

的 几种解法）

解法

1

、

< /p>

作∠

ACB

的平分线交

< br>AB

于点

G

，易证△

< p>
ACG

≌△

CEF

∴

CG=EF

∴证△

CBG

≌△

EBF

∴∠

ABC=

∠

EBF

题

51

解法

2

作∠

ACB

的平分线交

AB

于点

G

，交

AE

于点

P

，

则点

G

为△

< p>
ACE

的垂心，∴

GF

‖

CE

又∠

AEC=

< br>∠

GCE

，

< br>∴四边形

CGFE

为等腰梯形

∴

CG=EF

∴再证△

CBG

≌△

EBF

∴∠< /p>

ABC=

∠

EBF

题

51

解法

3

作∠

ACB

的平分线交

AB

于点

G

，交

AE

于点

P

，

则点

G

为△

< p>
ACE

的垂心，

易证△

APG

≌△

CPF

（

AAS

）

∴

PG=PF

又∠

< br>GPB=

∠

FPB

，

< p>

PB=PB

∴△

PB G

≌△

FBP

（

SAS

）

∴∠

PBG=

∠

FBP

∴∠

ABC=

∠

EBF

题

51

解法

4

（原题图）

由题

50

得，

AF=2EF

∴

AF

：

EF=AC

：

BE=2

又∠

CAF=

∠

BEF=45

度

∴△

ACF

∽△

EB F

∴∠

ACF=

∠

< br>EBF

又∠

ACF=

∠

CBA

∴∠

ABC=

∠

EBF

题

51

解法

5

作

ME

⊥

CE

交

CD

的延长线于

M

，

证△

ABC

≌△

CME

（

ASA

）

∴∠

ABC=

∠

M

再证△

MEF

≌△

BEF

（

SAS

）

∴∠

EBM=

∠

M

< br>∴∠

ABC=

∠

EBF

题

51

解法

6

作点

B

关于点

C

的对称点

N

，连结

< br>AN

，

则

NB=2BE

，又由题

50

，

AF=2EF

，

∴

BF

‖

AN

∴∠

EBM=

∠

N

又∠

ABC=

∠

N

（对称点）

∴∠

ABC=

∠

EBF

题

51

解法

7

过点

C

作

CH

‖

BF

交

AB

于

M

，

∵

B

为

CE

的中点，

∴

F

为

HE

的中点< /p>

又由题

50

，

AF=2EF

，

∴

H

为

AF

的中点

又

CH

‖

BF

∴

M

为

AB< /p>

的中点

∴∠

M CB=

∠

MBC

又∠

EBM=

∠

MCB

∴∠

ABC=

∠

EBF

题目

52

（ 题

50

、

51

结论的引伸）

已知，△

ABE

中，

AC=EC

，∠

ACE=90

度，

CD

⊥

AB

交斜边

AB

于

F

，

D

为垂足，

B

为

< p>
CE

的中点，连结

FB

，

求证：

（

1

）、

AF =2EF

（

2

）、∠

ABC=

∠

EBF

（

3

）、∠

EBF=

∠

E+

∠

BAE

（

4

）、∠

ABF=2

< p>
∠

DAC

-

-

-

-

-

-

-

-