(完整)历年全国初中数学联赛试题总汇
-
1991
年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一、选择题
本题共有
8
个小题，
每小题都给出了
（
A
）
、
（
B
）
（
C
）
、
（
D
）
四个答案结论，
其中只有一个是
< br>正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
１．
设等式
a
(
x
a<
/p>
)
a
(
y
a
)
x
a
a
y
在实数范围内成立，
其中
a
，
x
，
y
是
3
x
2
xy
y
2
两两不同的实数，则
2
的值是
2
x
xy<
/p>
y
1
5
（
A
）
3
；
（
B<
/p>
）
；
（<
/p>
C
）
2
；
（
D
）
．
3
3
答（
）
２．
<
/p>
如图，
AB
‖
E
F
‖
CD
，已知
AB
=20
，
CD
< br>=80
，
BC
=100
，那么
EF
的值是
（
A
）
10
；
（
B
）
12
；
< br>
（
C
）
16
；
（
D
）
18
．
< br>
答（
）
３．
<
/p>
（
A
）
方程
x
2
x
1
0
的解是
1
5
1
< br>5
；
< br>（
B
）
；
2
2
1
5
1
5
1
5
或
；
（
D
）
．
2
2
2
（
C
）
< br>答（
）
４．
1<
/p>
n
已知：
x
<
/p>
(
1991
1
991
n
)
（
n
是自然数）
．那么
(
x
1
x
2
)
n
，的值是
2
1
1
（Ａ）
1991
1
；
（Ｂ）
1
991
1
；
（Ｃ）
(
1
)
n
1991
；
（Ｄ）
(
1
)
n
199
1
1
．
答（
）
５．
<
/p>
若
1
2
3
99
100
12
n
M
，其中
Ｍ
为自然数，
n<
/p>
为使得等式成立的最大的自
然数，则
Ｍ<
/p>
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；
（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；
（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；
（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（
）
６．
<
/p>
若
a
，
c
，
d
是整数，
b
是正整数，且满足
a
b
c
，
b
c
d<
/p>
，
c
d
a
，那么
a
b
c
d
的最大值是
（Ａ）
1
；
（Ｂ）
5
；
（Ｃ）
0
；
（Ｄ）１．
答（
）
７．
如图，
正方形
OPQR
内接于Δ
ABC
．
已知Δ
AOR
、<
/p>
Δ
BOP
和Δ
C
RQ
的面积分别是
S
1
1
，
S
1
1
S
2
3
和<
/p>
S
3
1
，那么，正方形
OPQR
的边长是
（Ａ）
2
；
（Ｂ）
3
；
（Ｃ）
2
；
（Ｄ）
3
．
答（
）
８．
S
2<
/p>
3
S
3
=1
在
锐角Δ
ABC
中，
AC
1
，
AB
< br>
c
，
A
60
，Δ
ABC
的外接圆半径
R
≤
1
，则
1
1
（Ａ）
<
c
< 2
；
（Ｂ）
0<
c
≤
；
2
2
答（
）
（
C
）
c
> 2
；
（
D
）
c
= 2
．
答（
）
二、填空题
１．
Ｅ
是平行四边形
ABCD
中
BC
边的中点，
AE
交对角线
BD
于
G
，如果Δ
BEG
的面积是
１，则平
行四边形
ABCD
的面积是
．
２．
已知
关于
x
的一元二次方程
ax
2
bx
c
0
没有实数解．
甲由于看错了二次项系数，
误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项
系数的符号，误求得两根为－１和４，那
么，
2
b
3
c
．
a
(
x
1
)
m
(
x
1
)
p
1
< br>
3
．设
m
，
n
，
p
，
q
为非负数，且对一切
x
>
０，
恒成立，则
<
/p>
x
n
x
q
(
m
2
2
n
p
)
2
q
．
４．四边形
ABCD
中，∠
ABC
135
，∠
BCD
120<
/p>
，
AB
6
，
BC
5
3
，
CD
=
6
，则
AD =
．
120
1
35
第二试
x
+
y
，
x
－
y
，
x
y
，
x
<
/p>
y
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（
x
,
y
）
．
二、Δ
ABC
中，
AB
＜
AC
＜
BC
，
D
点在
BC
上，
E
点在
BA
的延长线上，且
BD
＝
BE
＝
AC
，Δ
BDE
的外接圆与Δ
ABC
的外接圆交于
F
点（如图）<
/p>
．
求证：
BF
＝
AF
＋
CF
三、<
/p>
将正方形
ABCD
分割为
n
2
个相等的小方格（
n
是自然数）
，把相对的顶点
A
，
C
染成红
色，把
B
，
D
染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点
同色的小方格的数目必是偶数．
199
2
年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一
.
选择题
本题共有
8
个题
,
每小题都给出了
(A), (B), (C), (D)<
/p>
四个结论
,
其中只有一个是正确的
.
请
把正确结论的代表字母写在题后的圆括号
内
.
1.
满足
a
b
a
b
1
的非负整数
(
a
,
b
)
的个数是
(A)1;
(B)2;
(C)3;
(D)4.
2.
若
x
0
是一元二次方程
ax
2
bx
c
0
(
a
< br>0
)
的根
,
则判别式
b
< br>2
4
ac
与平方式
M
(
< br>2
ax
0
b
)
2
的关系是
< br>
(A)
>
< br>M
(B)
=
M
(C)
>
M
;
(D)
不确定
.
3.
若
x
2
13
x
1
0
,
则<
/p>
x
4
x
4
的个位数字是
(A)1;
(B)3;
(C)5;
(D)7.
答
(
)
4.
在
半径为
1
的圆中有一内接多边形
,
若它的边长皆大于
1
且小于
2
,
则这个多边形的
边数必为
(A)7;
(B)6;
(C)5;
(D)4.
答
(
) <
/p>
5.
如图
,
正比
例函数
y
x
和
y
ax
(
a
0
)
的图像与反比例函
的图像分别相交于
A
点和
C
点
.
若
Rt
AOB
和
COD
的面积
分别为
与
S
2
的关系是
(A)
S
< br>1
S
2
(B)
S
1
S
2
(C)
S
1
S
2
(D)
不确定
答
(
)
数
y<
/p>
k
(
k
0
)
x
S
1
和
S
2
,
则
S
1
6.
在一个由
8
8
个方格组成的边长为
8<
/p>
的正方形棋盘内放一个半径为
4
的圆
,
若把圆周
经过的所有小方格的圆内部分的
面积之和记为
S
1
,
< br>把圆周经过的所有小方格的圆内部分的
面积之和记为
S<
/p>
2
,
则
S
1
的整数部分是
S
2
(A)0;
(B)1;
(C)2;
(D)3.
答
(
)
<
/p>
7.
如
图
,
在
等
腰
梯
形
ABCD
中
,
AB
//
CD
,
AB=
2
CD
,
A
6
0
,
又
E<
/p>
是底边
AB
上一点
,
且
FE=FB=AC
,
F
A=AB
.
则
AE
:
EB
等于
(A)1:2
(B)1:3
(C)2:5
(D)3:10
答
(
)
8.
设
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
9
均为正整数
,
且
x
1
x
2
< br>
x
9
,
x
1
x
2
x
9
220
,
则当
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
的值最大时
,
x
9
x
1
的最小
值是
(A)8;
(B)9;
(C)10;
(D)11.
答
(
)
二
.
填空题
1.
若一等腰三角形的底边上的高等于
18
cm
,
腰上的中线等
15
cm
,
则这个等腰三角
形的面
积等于
________________.
1
x
2
x
4
< br>1
x
4
2.
若
x
0
,
则
的最大值是
__________.
x
3.
在
ABC
中
,
C
90
,
A
和
B
的
平
分
线
相
交
于
P
点
< br>，
又
PE
AB
于
E
点
，
若
BC
2
,
AC
3
，则
AE
E
B
.
4.
若
a
,
b
都是正
实数，且
1
1
1
b
a
0
，则
(
)<
/p>
3
(
)
3
.
a<
/p>
b
a
b
a
b
第二试
一、
设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程
x
2
6
x
a
0
的两根，
当这样的三角形只
有一个时，求<
/p>
a
的取值范围
.
二、如图，在
ABC
中，
AB
AC
,
D
是底边
BC
上一点，
E
是线段
AD
上一点，且
BED
2
CED
A
.
求证：
BD
2
CD
.
三、某个信封上的两个邮政编码
M
和
< br>N
均由
0
，
1
，
2
，
3
，
5
，
6<
/p>
这六个不同数字组成，
现有四个编码如下：
A
：
320651
B
：
105263
C
：
612305
D
：
316250
< br>已知编码
A
、
B
、
C
、
D
各恰有两个数字的位置与
M
和
N<
/p>
相同
.D
恰有三个数字的位置
与
M
和
N
相同
.
试求：
M
和
N.
1993
年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一
.
选择题
本题共有
8
个小题
,
每小题都给出了
(A), (B), (C), (D)
四个结论
,
其中只有一个是正确的
.
请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内
.
1.
多项式
x
12
x
6
< br>
1
除以
x
2
1
的余式是
< br>
(A)1;
(B)-1;
(C)
x
1
;
(D)
x
1
;
2.
对于命题
Ⅰ
.
内角相等的圆内接五边形是正五边形
.
Ⅱ
.
内角相等的圆内接四边形
是正四边形
,
以下四个结论中正确的是
(
A
)
Ⅰ
,
Ⅱ都对
(
B
)
Ⅰ对
,
Ⅱ
错
(
C
)
Ⅰ错
,
Ⅱ对
. (
D
)
Ⅰ
,
< br>Ⅱ都错
.
3.
设
x
是实数
,
y
x
1
< br>
x
1
.
下列四个结论
:
Ⅰ
.
y
没有最小值
;
Ⅱ
.
只有一个
x
使
y
取到最小值
;
Ⅲ
.
有有限多个
x
(
不止一个
)
使
y
取到最大值
;
Ⅳ
.
有无穷多个
x
使
y
取到最小值
.
其中正确的是
(
A
)
Ⅰ
(
B
)
Ⅱ
(
C
)
Ⅲ
(
D
)
Ⅳ
<
/p>
4.
实数
x
1<
/p>
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
满足方程组
x
1
x
2
x
3
a
1
;
x
x
x<
/p>
a
;
2
3
4
2
x
3
x
4
x
5
a
3
;
x<
/p>
x
x
a
;
5
1
4
4
x
5
x
1
x
2
a
5<
/p>
.
其中
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
< br>是实常数
,
且
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5<
/p>
,
则
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
的大小顺序是
(
A)
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
; (
B<
/p>
)
x
4
x
2
x
1
x
3
x
5
;
< br>(
C
)
x
3
x
1
x
4
x
2
x
5
; (
D
)
x
5
x
< br>3
x
1
x
4
x
2
.
5.
不
等式
x
1
(
x
1
)
2
3
x
7
的整数解的个解
(
A
)
等于
4
(
B
)
小于
4
(
C
)
大于
5
(
D
)
等于
5
6.
在
AB
C
中
,
A<
/p>
是钝角
,
O
是垂
心
,
AO
B
C
,
则
cos(
OBC
OCB
)
的值是
(A)
2
2
(B)
2
2
(C)
3
1
(D)
.
2
2
答
(
) <
/p>
7.
锐角三角
ABC
的三边是
a
,
b
,
c
,<
/p>
它的外心到三边的距离分别
p
,
那么
m
:
n
:
p
等于
1
1
1
(A)
:
:
;
(B)
a
:
b
:
c
a
b
c
(C)
cos
A
:
cos
B
:
cos
C
(D)
sin
A
:
sin
B
:
sin
C
.
答
(
)
8.
3
3
(
3
4
3
2
3
1
1
)
可以化简成
9
9
9
为
m
,
n
,
(A)
3
3
(
3
2
1
)
< br>;
(B)
3
3
(
3
2
1
)
(C)
3
2
1
(D)
3
2
1
答
(
)
二
.
填空题
3
x
2
6
x
5
1.
当
x
变化时
,
分式
1
2
的最小值是
___________.
2
x
x
1
2.
放有小球的
19
93
个盒子从左到右排成一行
,
如果最
左面的盒里有
7
个小球
,
且每四个
相邻的盒里共有
30
个小球
,
那么最右面的盒里有
___
_______
个小球
.
3.
若方程
(
x
2
1
)(
x
2
4
)
k
有四个非零实根
,
且它们在数轴上对应的四个点等距排列
,
则
k
=____________.
4
.
锐角三角形
ABC
中
,
A
30
.
以
BC
边为直径作圆
,
与
AB
,
AC
于
D
,
E
,
连接
DE
,
把三角形
ABC
< br>分成三角形
ADE
与四边形
BD
EC
,
的面积分别为
S
1
,
S
2
< br>,
则
S
1
:
S
2
=___________.
分
别
交
设
它
们
第二试
一
.
设
H
是等腰三角形
ABC
垂心
,
在底边
BC
保持不变的情况下让顶
点
A
至底边
BC
的
距离变小
,
这时乘积
S
ABC
S
HBC
的值变小
,
变大
,
还是不变<
/p>
?
证明你
论
.
二
.
ABC
中
,
BC
=5,
AC
=12,
AB
=13,
在边
AB
,
AC
上分别取点
使线段
DE
将
ABC
分成面积相等
的两部分
.
试求这样的线段
DE
小长度
.
D
,
E
,
的
最<
/p>
的
结
,
x
2
,
且
三
.
已
知
方
程
x
2
bx
c
0
及
x
2
cx
<
/p>
b
0
分
别
各
有
两
个
整
数
根
x
1
,
x
2
及
x
1
x
2
<
/p>
0
.
x
1
x
2
0
,
x
1
0
,
x
< br>2
0
;
(1)
求证
:
x
1
0
,
x
2
<
/p>
0
,
x
1
(2)
求证
:
b
1
≤
c
≤
b
1
;
(3)
求
b
,
c
所有可能的值
.
1994
年全国初中数学联赛试题
第一试
(4
月
3
日上午
8
：
30
—
9
：
30)
考生注意：本试共两道大题，
满分
80
分
.
一、选择题（本题满分
48
分，每小题
6
分）
本题
共有
8
个小题都给出了
A
，
B
、
C
< br>，
D
，四个结论，其中只有一个是正确的，
请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得
6
分；
不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括
号内）
，一律得
0
分
< br>.
〔答〕
(
)
2
．设
a,b,c
是不全相等的任意实数，若
x=a
2
-bc,y=b
2
-ca,z=c
2
-ab
,
则
x,y,z
A
．都不小于
0
B
．都不大于
0
C
．至少有一个小
0
于
D
．至少有一个大于
0
〔答〕
(
)
3
．如图
1
所示，半圆
O
的直径在梯形
ABCD
的底边
AB
上，且与其余三边
BC
，
CD
，
DA
相切，若
BC=2
，
DA=3
，则
AB
的长
A
．等于
4
B
．等于
5
C
．等于
6
D
．不能确定
〔答〕
(
)
〔答〕
A
．
1
B
．
-1
C
．
2
2001
D
．
-2
2001
(
)
5
．若平
行直线
EF
，
MN
与相交直线
AB
，
CD
相交成如图
2
所示的图形，则共得同旁内角
A
．
4
对
B
．
8
对
C
．
12
对
D
．
16
对
〔答〕
(
)
〔答〕
(
)
7
．设锐角三角形
ABC
< br>的三条高
AD
，
BE
，
CF
相交于
H
。若
BC=a,AC=b,AB=c,
则
AH
·
AD+BH
·
BE+CH
·
CF
的值是
〔答〕
(
)
A
．
1001
B
．
1001,3989
C
．
1001,1996
D
．
1001,1996,3989
〔答〕
(
)
二、填空题（本题满分
32
分，每小题
8
分）
各小题只
要求在所给横线上直接填写结果
.
3
．在△
A
BC
中，设
AD
是高，
BE
是角平分线，若
BC=6
，
CA=7
，
AB=8
，则
DE=______.
4
．把两个半径为
5
和一个半径为
8
的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，
若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，
则这个大圆形纸片的最小半
径等于
______.
第二试
(4
月
3
日上
午
10
：
00
—
11
：
30)
考生注意：本试共三道大题，满分
60
分
.
一、
（本题满分
20
分）
如图所示，
在△
ABC
中，
AB=AC.
任意延长
CA
到
P
，<
/p>
再延长
AB
到
Q
，
使
AP=BQ.
求证：
△
ABC
的外心
O
与
A,P,Q
四点共圆
。
思路一：△
OCP
≌△
OAQ
→→∠
CPO=
∠
AQO
→→
OAPQ
四点共圆（视角定理
.
）
思路二：
△
PAO
≌△
QB
O
→→∠OPA=∠AQO→→
OAPQ
四点共圆（视角定理
.
）
连接
OB
、
OA
。
∠OBA=∠OAB=∠OAC
∴∠PAO=∠QBO
PA=QB
AO=BO
∴△PAO≌△QBO
∠OPA=∠AQO
所以
O
与
A
，
P,Q,
四点同园
二、
（本
题满分
20
分）
周长为
6
，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，
请给出证明；若存
在，请证明共有几个？
三、
（本题满分
20
分）
某次数学竞赛共有
15
个题
.
下表是对于做对
n(n=0,
1,2,
……
,15)
个题的人数的一
个统计
.
n
0
1
2
3
……
12
13
14
15
做对
n
个题的人数
7
8
10
21
……
15
6
3
1
如果又
知其中做对
4
个题和
4
个题以上的学生每人平均做对
6
个题，做对
10
个题
和
10
个题以下的学生每人平均做对
4
个题
.
问这个表至少统计了多少人？
1994
年全国初中数学联赛参考答案
第一试答案
一、选择题；
小题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
B
D
C
B
C
二、填空题：
第二试提示及答案
.
一、连结
OA
，
OC
，
OP
，
OQ.
证明△
OCP
≌△
O
AQ
，于是
∠
CPO=
∠
AQO
，所以
O
，
A
，
P
，
Q
四点共圆
.
三、这个表至少统计
了
200
人
.
1995
年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1
．已知
a
＝
3
55
,b
＝
4
44
,c
＝
5
33
,
则有［
]
A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
c
＜
b
＜
< br>a
C
．
c
＜
a
＜
b
D
．
a
＜
c
＜
b
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
3
．如果方程
(x
－
1)(x
2
－
2x
－
m)
＝
0
的三根可以作为一个三角形的三边之长，那
么实数
m
的取值范围是
4
．如果
边长顺次为
25
、
39
、
52
与
60
的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为
［
]
A
．
62
π
B
．
63
π
C
．
64
π
D
．
65
π
5
．设
AB
是⊙
O
的一条弦，
CD
是⊙
O
的直径
，且与弦
AB
相交，记
M
＝｜
S
△
CAB
－
S
△
DAB
｜，
N
＝
2S
△
OAB
，则
[
]
A
．
M
＞
N
B
．
M
＝
N
C
．
M
＜
N
D
．
M
、
N
的大小关系不确定
6
．
设实数
a
、
b
满足不等式｜｜
a
｜－
(a
＋
b)
｜＜｜
a
－
|a
＋
b
｜｜，则
[
]
A
．
a
＞
0
且
b
＞
0
B
．
a
< br>＜
0
且
b
＞
0
C
．
a
＞
0
且
b
＜
0
D
．
a
＜
0
且
b
＜
< br>0
二、填空题
1
．在
1
2
，
2
2
，
3
2
…，
95
2
这
95
个数中，十位数字为奇数
的数共有
____
个。
4
．以线
段
AB
为直径作一个半圆，圆心为
O<
/p>
，
C
是半圆周上的点，且
OC
2
＝
AC
·
BC
，则∠
CAB
＝
______
．
第二试
一、已知∠
ACE
< br>＝∠
CDE
＝
90
°，点
B
在
CE
上，
CA
＝
CB
＝
CD
，经
A
、
C
、
D
三点的圆交
AB
于
F
（如图）求证
F
为△
CDE
的内心。
二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数
理由
。
三、试证：每个大于
6
的自然数
n
，都可以表示
为两个大于
1
且互质的自然数之
和。<
/p>
２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案