2019年上半年中小学教师资格考试真题试卷(高级中学)数学
-
2019
年上半年教师资格考试高中数学
一、单项选择题（本大题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分）
1.
下列选项中，运算结果一定
是无理数的是（）
A.
有理数和无理
数的和
B.
有理数与有理数的差
C.
无理数和无理数的和
D.
无理数与无理数的差
x
a
cos
2
t
,
2.<
/p>
在空间直角坐标系中，由参数方程
y<
/p>
a
sin
2<
/p>
t
,
（
0
≤
t
≤
2
）所确定的曲线的
z
a
sin
2
t
,
一般方
程为（）
2
2
2
2
2
2
x
y
a
,
x
y
a
,
x
< br>
y
a
,
x
y
a
,
A.
2
B.
2
C.
2
D.
2
z
2
xy
z
4
xy
z
2
xy
z
4
xy
x
cos
cos
,
3.
已
知
空<
/p>
间
直
角
坐
标
与
球
坐
标
的
变
换
公
式
为
y
cos
sin
,
（
0
，
z
<
/p>
sin
,
<
/p>
，
2
2
），则在球坐标系中，
=
3
表示的图形是（）
A.
< br>柱面
B.
圆面
C.
半平面
D.
半锥面
4.
设
A
为
n
阶矩阵，
B
是经
A
若干次初等行变换得到的矩阵，则下列结论正确
< br>的是（）
A.|A|=|B|B.|A|
≠
|B|
C.
若
|A|=0
，则一定有
|B|=0D.
若
|A|>0
，则一定有
|B|>0
5.
已知
f
x
1
n
1
n
1
1<
/p>
2
n
1
x
，则
f
（
1
）
=
（）
2
n
1
!
A.-1B.0C.1D.
1
1
1
6.
若矩阵
A
x
4
y
有三个线性无关的
特征向量，
2
是
A
的二重特征根，
3
3
5
则（）
A.x=-2
，
y=2B.x=1
，
y=-1C.x=2
，
y=-2D.x=-1
，
< br>y=1
7.
下列表述属于数学直观想象素养的是（）<
/p>
①利用图形描述，分析数学问题；
②借助空间形式认识事物的位置关系，形态变化和运动规律；
③建立形与数的关系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路；
< br>
④在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题建立模型。
A.
①②③
B.<
/p>
①②④
C.
①③④
D.
②③④
8.
下列描述为演绎推理的是（）
<
/p>
A.
从一般到特殊的推理
B.
从特殊到一般的推理
C.
通过实验验证结论的推理
D.
通过观察猜想得到结论的推理<
/p>
二、简答题
(
本大题共
5
小题，每小题
7
分，共
35
分
)
9.-
次实践活动中，某班甲、乙两个小组各
20
名同学在综合实践基地脱玉米、完
成脱粒数量（千克）的数
据如下：
甲组：
57
，
59
，
63
，
63
，
64
，
71
，
71
，
71
，
72
，
75
75
，
78
，
79
，
82
，
83
，
83
，
85
，
86
，
86
，
89
乙组：
50
，
53
，
57
，
62
，
62
，
63
，
65
，
65
，
67
，
68
69
，
73<
/p>
，
76
，
77<
/p>
，
78
，
85<
/p>
，
85
，
88<
/p>
，
94
，
96
问题：
（
1
）分别计算甲、乙两组同学脱粒数量（千克）的中位数；（
2<
/p>
分）
（
2
）比照甲，乙两组数据，请你给出
2
种信息
，并说明实际意义。（
5
分）
x
y
1
0,
10.
在
空
间
直
角
坐
标
< br>系
下
，
试
判
定
直
线
l
1
：
与
直
线
l
2
：
x
2
y
z
< br>
2
0
x
1
y
1
z
的位置关系，并求这两条直线间的距离。
2
1
1
11.
在平面直角坐标系下，
（
1
）三次多项式函数的图象过四个点
P
1
（
0
，
1
），
P
1
（
1
，
3
），
< br>P
3
（
-1
，
3
），
P
4
（
2
，
1
5
），求该三次多项式函数的表达式；（
4
分）
（
2
）设
P
i
（
x
i
，
y
i<
/p>
）（
i=1
，
2
，…，
n
）是平面上满足条件
x
1
2
n
的
n
个点，
则由这
n
个点所唯一
确定的多项式函数的最高次数是多少？简要说明理由。（
3
分）
12.
高中数学课程是培养公民素质
的基础性课程，简述“基础性”的含义，并举
例说明。
13.
评价学生的数学学习应该采用多样化的方式，请列举四种不同类
型的评价方
式。
三、解答题（本大题
1
小题，
10
分）
14.
设
R
2
为二维欧式平面，
F
是
R
2
到
R
2
的映射，
如果存在一个实
数
，
0
<
/p>
1
，
使得对于任意的
P
，
Q
∈
R
2
，有
d
（
F
（
P
），
F
（
Q
））≤
d
（
P
，
Q
），（其中
d
（
P
，
Q
）表示
P
，
Q
两点间的距离），则称
< br>F
是压缩映射。
设映射
T
：
R
2
R
2
，
1
1
T
（（
x
，
y
））
=
x
,
y
<
/p>
，
x
,
y
R
2
。
2
3
（
1
）证明：映射
T
是压缩映射；（
4
分）
<
/p>
（
2
）
设
P
0
=P
0
（
x
0
，
y
0
）
为
< br>R
2
中任意一点，
令
P
n
=T
（
P
n-1
）
，
n=1,2,3
，
…，
证明
：
n
∞时，平面点列
{P
n
}
收敛，并求
lim
P
n
。（
6
分）
n
四、论述题（本大题
1
小题，
15
分）
15.
函数是中学数学课程的主线，请结合实例谈谈如何用函数的观点来认识中
学
数学课程中的方程、不等式、数列等内容。
五、案例分析题（本大题
1
小题，共
< br>20
分）
16.
案例：下面提供的案例是教师
A
和教师
B
在《方程的根与函数的零点》教学
中的“课堂提问
”。
教学环节
概念的引入
教师
A
教师
B
1.
方程
lnx+2x-6=0
是否有
1.
观察三组一元二次方程
实数根？
及其相应的二次函数，你
2.
在初中你是如
何判断一
能发现方程的根和函数
个
方<
/p>
程
是
否
有
实
数
根
图象与
x
轴交点之间有何
的？
3.
函数与方程之间有什么
关系？
概念的学习
4.
怎样定义函数的零点？
2.
函数的零点如何定义？
5
，函数的零点是零吗？
3.f
（
x
）
=-x
2
-2x+3
的零
点
是什么？
4.
根据下列函数图象，判
关系吗？
断函数有几个零点？
概念的意义
6.
函数零点的几何意义是
5.
函数零点的几何意义是
什么？
零点存在性定理的引入
什么？
7.
根据函数图象判断满足
6.
观察
f
（
x
）
=-x
2
-2x+3
的
什
么
条
件
时
函
数
有
零
图象，
它在
[-4
，<
/p>
-2]
上有零
点？
点，计算
f
（
-4
）和
f
（
-2
）
的乘积，你能发现这个乘
积
有什么特点？在区间
[0
，
2]
上是否也具有这种
特点？
零点存在性定理的学习
（教师板书：
如果函数
（教师板书：如果函数
y=f
（
x
）在区间
[a
，
b]
上
y=f
< br>（
x
）在区间
[a
，
b]
上
的图象是连续不断
的一
的图象是一条连续不断
条曲线，并且有
f
（
a
）·
f
的一条曲线，
并且
（
f
a
）
·
< br>f
（
b
）＜
0
，那么函数
y=f
（
b
）＜
0
，那么函数
y=f
（
x
）在区
间（
a
，
b
）
内
（
x
）在区间（
a
，
b
）内
有零点，即存在
c
∈（
a
，
有零点，即存在
c
∈（
a
，
b
）使<
/p>
f
（
c
）
=0
，这个
c
b
）使得
f
（
c
）
=0
，这个
c<
/p>
也就是方程
（
f
c
）
=0
的根）
也就是方程
（
f
< br>x
）
=0
的根）
8.
满足定理条件的函数零
7.
为何要求函数的图象连
点是唯一的吗？
续？
9.
满
足
什
么
条
件
零
点
唯<
/p>
8.
能否由“函数
f
（
x
）在
一？依据是什么？
区间（
a
，
b
）内有零点”
得到
“
f
（
a
）<
/p>
·
f
（
b
）
＜
0
”
？
9.
如果函数图象在
[a,b]
上
连续，能否由“
f
（
a
）·
f
（
b
）＜
0
”判断函数在区
间（
a<
/p>
，
b
）内零点只有一
个？
例题及练习、小结
问题：
（略）
（略）
（
1
）请对两位教师的课堂提问进行评价，并简述理由；（
15
分）
（
2
）请对两位教师“概念引入”环节的课堂提问给出改进建议。（
5
分）
六、教学设计题
(
本大题
1
小题，
30
分
)
17.
“简单随机抽样（第一课时）”的教学目标设计如下。
< br>目标一：
学会从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题，
理解随机
抽样的必要性；
目标二：结合具体的实际问题情境，体会简单随机抽样的重要性；
目标三：以“问题链”的形式理解样本是否具有代表性。
要求：
（
1
）请针对上述教学目标，完成下列任务：
①根据教学目标一，设计两个问题，并说明设计意图；（
8
分）
②根据教学目标二，给出一个实例，并说明设计意图；（
4
分）
③根
据教学目标三，设计“问题链
（至少包含两个问题），并说明设
计意图。
（
6
分）
（
2
）请针对“简单随机抽样”
的内容，回答下列问题：①这节课的教学重点是
什么？（
4
分）
②作为高中阶段“统计”学习的起始
课，其难点是什么？（
4
分）
③这节课对后续哪些内容的学习有直接影响？（
4
分）
答案解析
一、单项选择题
1.A
【解析】（
1
）有理数与有理数：和、差、积、商均
为有理数（求商时分母不
为零）
。
（<
/p>
2
）
有理数与无理数：
< br>①一个有理数和一个无理数的和、
差为无理数；
②一个非
零有理数与一个无理数的积、
商为无理数。
（
< br>3
）
无理数与无理数：
和、
差、积、商可能是有理数，也可能是无理数。故本题选
A
。
x
a
cos
2
t
,
2.B
【解析】由
y
a
sin
2
t
,
可得
x+y=acos
2
t+asin
2
t=a
，
z
2
=a
2
（
2sintcost
）<
/p>
2
=4xy
，
z
a
sin
2
t
x
+
y
a
,
所以将参数方程化为一般方程为
2
故选
B
。
z
< br>
4
xy
。
1
x
cos
,
2
x<
/p>
cos
<
/p>
cos
,
1<
/p>
3.D<
/p>
【
解
析
】
将
=
代
入
到
y
cos
sin
,
得
y
sin
,
消
参
得
到
2
3
z
<
/p>
sin
<
/p>
2
z
。
2
z
3
x
2
3
y
2
，该方程是由
yOz
平面上的射线
z
3<
/p>
y
（
z>0
）绕
z
轴旋转得到
的，它表示以原点为顶点
，以射线
z
3
y
（
z>0
）为母线，以
z
轴为中心轴的半
锥面。故选
D
。
4.C
【解析】矩阵的初等行（列）变换有：①交换矩阵的两行（列）；②将一个
非零数<
/p>
k
乘到矩阵的某一行（列）；③将矩阵的某一行（列）的
k
倍加到另一行
（列）上。若矩阵
A
经过上面三种初等变换得到矩阵
B
，则对应的行列式的关
系依次是
|A|=-|B|
，
|A|=k|B|
，
|A|=|B|
。即
|A|=a|B|
，
a
∈
R
。所以
|A|=0
时必有
|B|=0<
/p>
。
故选
C
。
5.B
【
解
析
】
根
据
泰
勒
公
式
的
展
开
式
< br>，
，
所
sinx=
以
x
3
< br>x
5
x
2
n
1
x
2
n
1
n
1
n
1
x
L
< br>
1
L
1
3!
5!
2
n
1
!
2
n
1
!
n
< br>1
f
x
1
n
1
n
1
1
x
2
< br>n
1
!
2
n
1
sin
x
，
f
（
1
）
=
sin
=0
。故选
B
。<
/p>
6.C
【解析】由题意可知矩阵
A
可以相似对角化，且
2
对应两个线性无关的
特征向量
，所以
2
E
A
x
<
/p>
0
有两个线性无关的解，即有
3
r
2
E
A
< br>
2
，所
1
1
1
1
1
<
/p>
1
以
r
2
E
A
=1
。
< br>2
E
A
x
2
y
x
2
y
，要使
r
2
E
A
=1
，则
3
< br>3
3
0
0
0
有
1
1
1
，可得
x=2
，
y=-2
。故选
C
。
x
2
y<
/p>
7.A
【解析】直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的
形态与变化，利
用空间形式特别是图形，
理解和解决数学问题的
素养。
主要包括：
借助空间形式
认识事
物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建