三年级奥数等差数列求和习题及答案
-
vip
会员免费
计算（三）等差数列求和
知识精讲
一、定义：一个数列的前<
/p>
n
项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用
S
n
来表示
。
三：求和公式：和
(
首项
末项
)
项数
2
，
s
n
(
a
1
a
n
)
n
<
/p>
2
。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
< br>(
思路
1)
1
< br>
2
3
L
98
99
100
（
1
（
99
）
（<
/p>
98
L
4
（
51
）
101
50
5050
< br>
1
4
100
< br>4
）
4
4
2
4
4
4
4
2
3
4
4
）
4
4
4
50
4
43
共
50
个
101
(
思路
2)
这道题目，还可以这样理解：
和
=
1
2
3
< br>
4
L
98
99
100
+
和
100
99
98
97
L
3
2
1
<
/p>
2
倍和
101
101
1
01
101
L
101
101
101
即，和
(100
1)
100
2
101
50<
/p>
5
050
。
四、
中项定理：
对于任意一个项数为奇
数的等差数列，
中间一项的值等于所有项的平均
数，也等于首项
与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘
以项数。
譬如：①
4
8
12
L
32
3
6
（
4
<
/p>
36
）
9
2
20
9
1800
，
题中的等差数列有
9
项，
中间一项即第
5
项的值是
20
，
而和恰等
于
20
9
；
②
65
63
61
L
5
3
1
（
1
65
）
33
2
33
33
1089
，
题中的等差数列有
33
项，中间一项即第
17
项的值是
33<
/p>
，而和恰等于
33
33
。
例题精讲：
例
1
：
求和
：
（
1
）
1+2
+3+4+5+6 =
（
2
）
1+4+7+11+13=
（
3
）
1+4+7+11+13
＋…＋
85=
vip
会员免费
分析：
弄清楚一个数列的首项，
末项和公差，
从而先根据项数公式求项数，
再根据求和公式
求和。
例如
（
3
）式项数
=
（
85-1
）÷
3+1=29
和
=
（
1+8
5
）×
29
÷
2=1247
答案：
（
1
）
21
（
2
）
36
（
3
）
124
7
例
2
：
求下列各等差数列的和。
（
1
）
1+2+3+4+
…
+199
（
2
）
2+4+6+
…
+78
（
3
）
3+7+11
+15+
…
+207
分析：
弄清楚一个数列的首项，
末项和公差，
从而先根
据项数公式求项数，
再根据求和公式
求和。
例如（
1
）式
=
（
1+199
）×
199
÷
2=19
900
答案：
（
1
< br>）
19900
（
2
）
1160
（
3
）
5355
例
3
：<
/p>
一个等差数列
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，
12
，
14
，这个数列的和是多少？
分析：根据中项定理，这个数列一共有
7<
/p>
项，各项的和等于中间项乘以项数，
即
为：
8
7
56
答案：
56
例
4
：
求
1
+5+9+13+17
……
+401
该
数列的和是多少。
分析：这个数列的首项是
< br>1
，末项是
401
，项数是（<
/p>
401-1
）÷
4+1=101
，所以根据求和公式，
可有：
和
=
（
1+401
）×
< br>101
÷
2=20301
答案：
20301
vip
会员免费
例
5
：
有一串自然数
2
、
5
、
< br>8
、
11
、……，问这一串自然
数中前
61
个数的和是多少？
分析：即求首项是
2
，公差是
3
，项数是
61
的等差数列的
和，
根据末项公式：末
项
=2+
（
61-1
< br>）×
3=182
根据求和公式：和
=
（
2+182
）×
61
÷
2=5
612
答案：
5612
例
6
：
把自然数依次排成“三角形阵”
，如图。第一排
1
个数；第二排
3
个数；第三排<
/p>
5
个
数；…
求：
（
1
）
第十二排第一个数是几？最后一个数是几？
（
2
）
207
排在第几排第几个数？
（
3
）第<
/p>
13
排各数的和是多少？
分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是
1,3,5
，
7...
即为奇数数列
若排数为
n
（
n
≥
2de
自然数
< br>)
，则这排之前的数共有（
n-1
）
（
n-1)
个。
< br>
（
1
）第十二排共有
23
个数。前面共有（
1+21
）×
11
÷
2=121
个数，
所以第十二排的第一个数为
122
，最后一个数为
122+
（
23-1
< br>）×
1=144
（
2
）前十四排共有
196
个数，前十五排共有
225
个数，所以
207
在第十五排，
第十
五排的第一个数是
197
，所以
20
7
是第（
207-197=10
）个数
（
3
）前十二排共有
144
个数
，所以第十三排的第一个数是
145
，而第十三排共有
25
个数，所以最后一个数是
145+
（
25-1
）×
1=1
69
，所以和
=
（
145+169
）×
25
÷
2=3925
答案：
（
1
）
122
；
144
（
2
）第
十五排第
10
个数
<
/p>
（
3
）
3925
例
7
：
15
个连续奇数的和是
1995
，其中最大的奇数是多少？
分析：由中项定理，
中间的数即第
8
个数为：
1995
15
133<
/p>
，
vip
会员免费
所以这个数列最大的奇数即第
15
个数是：
133
2
（
15
8
< br>）
147
。
< br>
答案：
147
。
例
8
< br>：
把
210
拆成
7
个自然数的和，使这
7
个数
从小到大排成一行后，相邻两个数的差都
是
5
< br>，那么，第
1
个数与第
6
个数分别是多少？
分析：
由题可知：
由
210
拆成的
7
个数必构成等差数列，
则中间一个数为
210
÷
7=
30
，
所以，
这
7
个数分别是
15
、
20
、
25
、
30
、
35
、
40
、
45
。
即第
1
个数是
15
，第
6
个数是
40
。
答案：第
1
个数：
15
；第
6
个数：
40
。
例
9<
/p>
：
已知等差数列
15
，
19
，
23
，
……443
，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差
是
多少？
分析：公差
=19-15=4
项数<
/p>
=
（
443-15
）÷
4+1=108
倒数第二项
=443-4=439
奇
数项组成的数列为：
15
，
23
，
31
……
439<
/p>
，
公差为
8
，<
/p>
和为
（
15+439
）
×
54
÷
2=12258
偶数项组成的数列为：
19
，
27
，
35
……
443
，公差为
8
，和为（
19+443
）×
< br>54
÷
2=12474
差为
12474-12258=216
答案：
216
例
10
：
在
1~100
这一百个自然数中，所有能被
9
< br>整除的数的和是多少？
分析：
每
9
个连续数中必有一个数是
9
的倍数，
在
1~100
中，
我们很容易知道能被
9
整除的<
/p>
最小的数是
9
9
1
，
最大
的数是
99
9
11
，这些数构成公差为
9
的等差数列，这个数列一
共有：
11
1
1
11
项，所以，所求数的和是：
< br>9
18
27
L
99
（
9
99
）
1
1
2
59
4
．
也可以从找规律角度分析．
答案：
594
例
11
：<
/p>
一串数按下面的规律排列：
1
、
2
、
3
、
2
、
3
、
< br>4
、
3
、
4
、
5
、
4
、
5
、
6
……问：从左面