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2021年2月27日发(作者：火拼qq堂下载)

第

3

讲

高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，

上学时，

有一天老师出了一

道题让同学们计算：

1

＋

2

＋

3

＋

4

＋„＋

99

＋

100

＝？

老师出完题后，

全班同学都在埋头计 算，

小高斯却很快算出答案等于

5050

。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：

1

＋

100

＝

2

＋

99

＝

3

＋

98

＝„＝

49

＋< /p>

52

＝

50

＋< /p>

51

。

1

～

100

正好可以分成这样的

50

对数，每对数 的和都相等。于是，小

高斯把这道题巧算为

（

1+1 00

）×

100

÷

2

＝

5050

。

< br>

小高斯使用的这种求和方 法，

真是聪明极了，

简单快捷，

并且广 泛地

适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为

< p>
数列

，

数列中的每一个数称为一项，

其中第一

项称为

首项

，

最后一项称为

末项

。

后项与前项之差都相等的数列称为

等差

数列

< br>，后项与前项之差称为

公差

。例如：

（

1

）

1

，

2< /p>

，

3

，

4

，

5

，„，

100< /p>

；

（

2

）

1

< p>
，

3

，

5

，

7

，

9

，„，

99

；

（

3

）

8

，

15

，

22

，

29

，

36

，„，

71< /p>

。

其中（

1

）是首项为

1

，末项为

100

，公差为

< p>
1

的等差数列；（

2

）是

首项为

1

，末项为

99

，公差为

2

的等差数列；（< /p>

3

）是首项为

8

，末项为

71

，公差为

7

的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到

等差数列的求和公式

：

和

=

（首 项

+

末项）×项数÷

2

。

例

1

< br>1

＋

2

＋

3

＋„＋

1999

＝？

分析与解

：这串加数

1< /p>

，

2

，

3

，„，

1999

是等差数列，首项是

1

，末项是

1999

， 共有

1999

个数。由等差数列求和公式可得

< br>

原式

=

（

1

＋

1999

）×

1999

÷

2

＝

1999000

。

1

注意：

利用等差数列求和公式之前，

一定要判 断题目中的各个加数是

否构成等差数列。

例

2

11

＋

12

＋

13

＋ „＋

31

＝？

分析与解

：这串加数

11

，

12

，

13

，„，

31

是等差数列，首项是

11

，末项

是

31

，共有

31-11

＋

1

＝< /p>

21

（项）。

原式

=

（< /p>

11+31

）×

21

÷

2=441

。

在利用等差数列求和公式时，

有时项数并不是一目了然的，

这时就需

要先 求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数

=

（末项

-

首项） ÷公差

+1

，

末项

=

首项

+

公差×（项数

-1

）

。

例

3

3

＋

7

＋

11

< br>＋„＋

99

＝？

分析与解

：

3

，

< p>
7

，

11

，„，

99

是公差为

4

的等差 数列，

项数

=

（

99

－

3

）÷

4

＋

1

＝

25

，< /p>

原式

=

（

3

＋

99

）×

25

÷

2

＝

1275

。

例

4

求首项是

25

，公差是

3

的等差数列的前

40

项的和。

解

：末项

=25

＋

3

×（

40-1

）＝

142

，

和

=

（

25

＋

142< /p>

）×

40

÷

2< /p>

＝

3340

。

利用等差数列求和公式及求项数和 末项的公式，

可以解决各种与等差

数列求和有关的问题。

例

5

在下图中， 每个最小的等边三角形的面积是

12

厘米

2

，边长是

1

根

火柴棍。问：

（

1

）最大三角形的 面积是多少平方厘米？（

2

）整个图形由

多少根火柴棍摆成？

2

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