奥数高斯求和
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奥数高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，
上学时，有一天老师出
了一道
题让同学们计算
:
1
+
2
+
3
+
4
+ …+
99
+
100
=?
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案
等于
5050
。高斯为什么算得又快又
准呢？原来小高斯通过细心观察
发现
:
1
+
100
=
2
+
99
=
3
+
98
=-=
49
+
52
=
50
+
51
。
1<
/p>
〜
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是
,
小高斯把这道题巧算为
(1 +
100)X 100
+
2
=
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广
泛地适用
于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列，数列中的每一个数称为一项，其中
第一项
称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列
称为等差数列，
后项与前项之差称为公差。例如
:
(1
)
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,…，
100
;
(2
)
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,…，
99
;(
3
)
8
,
15
,
22
,
29
,
36
,…,
其中（
1
）是首项为
1
,
末项为
100,
公差为
1
的等差数列
;
是首项为
1
,
末项为
< br>99
,
公差为
2
的等差数列；（
3
）是首项为
末项为
71
,
公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式：
和
二
（首项
+
末项）
X
项数
+
2
。
例
1 1
+
2
+
3
+
…+
1999
=?
分析与解：这串加数
1
,
2
,
3
,-,
1999
< br>是等差数列，首项是
1
,
末
(2)
8
,
项是
1999
,
共有
1999
个数。由等差数列求和公式可得
原式
=(1 + 1999)X 1999- 2=
1999000
。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加
数是否构
成等差数列。
例
2 11
+
12
+
13
+…+
31
= ?
分析与解：这串加数
11
,
12
,
13
,…，
31
是等差数列，首项是
11<
/p>
,
末项是
31
，共有
31-11
+
1
=
21
（项）。
原式
二
(
11+31)X 21
-
2=441
。
在利
用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需
要先求出
项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
<
/p>
项数
二
（末项
-
首项）
+
公差
+1
,
末项
二
首项
+
公差
x
（
项数
-1
）
。
例
3 3
+
7
+
11
+
…+
99
=?
分析与解：
3
,
7
,
11
,
…，
99
是公差为
4
< br>的等差数列
,
项数
二
(
99
-
3
)-
4
+
1
=
25
,
原式
=(3+ 99)X 25- 2=
1275
。
例
4
求首项是
25
,
< br>公差是
3
的等差数列的前
40<
/p>
项的和。
解：末项
=25
+
3X(40-1
) =
142
,
和
=(25+ 142)X 40- 2=
3340
。