三年级高斯求和
-
.
第
3<
/p>
讲：高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计
算
：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋„＋
99
＋
100
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快
算出答案等于
5050
。高斯为什
么算
得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝„＝
49<
/p>
＋
52
＝
50<
/p>
＋
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算
为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小
高斯使用的这种求和方法，
真是聪明极了，
简单快捷，
并且广泛地适用于
“
等差数列
< br>”
的求和问题。
若干个数排成
一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一
项）叫末项，如
果一个数列从第二项起，
每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列
叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：
等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷
2
末项＝首项＋公差×（项数－
1
）
项数＝（末项－首项）÷公差＋
1
例
1
：计算下列数列的和
（
1
）
< br>1
，
2
，
3
，
4
，
5
，„，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5<
/p>
，
7
，
9
，„，
99
；
（
3
）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，„，
71
。
其中（
1
）是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；
（<
/p>
2
）是首项为
1
，末项为
99
，公差为
2
的等差数列；
（
3
）是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
例<
/p>
2
：计算下面数列的和
1
＋
2
＋
3
＋„＋
1999
分析：这串加
数
1
，
2
，<
/p>
3
，„，
1999
是等差数列，首项是
1
，末项是
19
99
，共有
1999
个数。由等差数列
求和公式可得
解：原式
=
（
1
＋
1999<
/p>
）×
1999
÷
2
＝
1999000
注意：利用等差
数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例
3
：
计算下面数列的和
11
＋
12
＋
13
＋„＋
31
分析：这串加数
11
，
12
，
13
，„，
31
是等差数列，首项是
11
，末项是
31
，共有
31-11
＋
1
＝
21
（项）
。
解：原式
=
（
11+31
）×
21
÷
2=441
在利用等差数列求和公式时，
有时项数并不是一目了然的，
这时就需要先求出项数。
根
据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数
=
（末项
-
< br>首项）÷公差
+1
，
末项
=
首项
+
公差×
.
.
<
/p>
（项数
-1
）
。
例
4<
/p>
：计算下面数列的和
3
＋
7
＋
11
< br>＋„＋
99
分析：
3
，
7
，
11
，„，
99
是公差为
4<
/p>
的等差数列，
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
解：原式
< br>=
（
3
＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
例
5
：求首项是
25
，公差是
3
的等差数列的前<
/p>
40
项的和。
解：末项
=25
＋
3
×（
40-1
）＝
142
，
和
=
（
25
＋
142
）×
40
÷
2
＝
3340
。
<
/p>
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，
也可以解决各种与
等差数列求和有关的
问题。
例
6
：在下图中，每个最小的等边三
角形的面积是
12
厘米
2
，边长是
1
根火柴棍。
问：<
/p>
（
1
）最大三角形的面积是多少平方厘米
？（
2
）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有
8
层，从
上往下摆时，每层的小三角形数目为
1
、
3
、
5
、
7
、
9
等，由此可知，各层的小三角形数
成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：
（
1
）
最大三角形面积为<
/p>
（
1
＋
3
＋
5
＋„＋
15
）
×
12 <
/p>
＝
［
（
1
＋
15
）
×
8
÷
2
］
×
12
＝
768
（平方厘米）
2
）火柴棍的数目为
3
＋
6
＋
9+
„
+24
＝（
3
＋
24
）×
8
÷
2=108
（根）
。
答：最大三角形的面积是
768
厘米
2
，整个图形由
< br>108
根火柴摆成。
例
7
：盒子里放有三只乒乓球，一位
魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成
3
只球后放回盒子
里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成
3
只球后放
回盒子里„
„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成
3<
/p>
只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多
少只乒乓球？
分析：一只球变成
3
只球，实际上多了
2
只球。第一次多了
2
只球，第二次多了
2
×
2
只球„„第十次多了
2
×
10
只球。因此拿了十次后，多了
2
×
1
＋
2<
/p>
×
2
＋„＋
2<
/p>
×
10
＝
2<
/p>
×（
1
＋
2
＋„＋
10
）
<
/p>
＝
2
×
55
＝
110
（只）
。
加上原有的
3
只球，盒子里共有球
110
＋
3
＝
113
（只）
。
解：综合列式为：
（
3-1
）×（
1<
/p>
＋
2
＋„＋
10
）＋
3
＝
2
×［
（
1
＋
10
）×
10
÷
2
］＋
3
＝
113
（只）
.