六年级奥数-数列与数表(教师版)
-
第二讲
数列与数表
1.<
/p>
等差数列
：
若干个数排成一列
,
称为数列。数列中的每一个数称为一项
,
其中第一项称为首项
,
< br>最后
一项称为末项
,
数列中数的
个数称为项数。
从第二项开始
,
后项与
其相邻的前项之差都相等的
数列称为等差数列
,
后项与前项的差称为公差。
例如
:
等差数列
:3
、
6
、
9
、…、
96,
这是一个首项为
3,
末
项为
96,
项数为
32,
公差为
3
的数
列。
计算等差数列的相关公式
:
通项公式
:
第几项
=
首项
+(
项数
-1)<
/p>
×公差
项数公式
:
项数
=(
末项
-
首项
)
÷公差
< br>+1
求和公式
:
总和
=(
首项
+
末项
)
×项数÷
2
在等
差数列中
,
如果已知首项、
末项、
公差
,
求总和时
,
应先求出项数
,
然后再利用等差数
列求和公式求和。
某些问题以转化为求若
干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，
如果是等差数列才可以运
用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，
应根据题目的具体特点，
有时可考虑将题中的数适当分组，
< br>并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.
斐波那契数列
：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，<
/p>
8
，
13
，
21
，
34
…这个
以
1
，
1
分别
为第
1
项、第
2
项，
以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.
周期数列与周期
：从某一项
开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现
的这一段数的个数则称为此数
列的周期。
例如：
8<
/p>
，
1
，
2
，
3
，
8
，
4
，
5
，
7
，
6
，
3
，
8
，
4
，
5
，<
/p>
7
，
6
，
3
，
8
，
4
，
5
，
7
，
6
……
< br>
这是一个周期数列，周期为
6
。
4.
寻找数列的规律，通常有以下
几种办法
：
1
寻找各项与项数间的关系。
2
考虑此项与它前一项之间的关系。
3
考虑此项与它前两项之间的关系。
4
数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
< br>
5
有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（
“分组”是难点）
6
常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找
到周期，探求规律。
1.
逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.
在解题中应用数列相关知识。
例
1
：有一个数列：
4
、
7
、
1
0
、
13
、…、
25
，这个数列共有多少项
?
分析
：
仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是
3
，
所以这是一个以
4
为
首项，
以公
差为
3
的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
解：<
/p>
由等差数列的项数公式
:
项数
=(
末项
-
首项
)
÷公差
+1,
可得<
/p>
,
项数
=(25-4)
< br>÷
3+1=8,
所以这
个数列共
有
8
项。
例
2
：有一等差数列：
2
，
7,12,17
，…，这
个等差数列的第
100
项是多少？
<
/p>
分析：
仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于
5
，
所以这是一个以
2
为首项，
以公
差为
5
的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答
解：
由等差数列的通项公式
:
第几项
=
首项
+(
项数
-1)
×公差
,
可得
,
第
100<
/p>
项
=2+(1OO-1)
×
5=497,
所以这个等差数列的第
100
项是
497
。
例
3
：计算
2+4+6+8+
…
+1990
的和。
分析：
仔细
观察数列中的特点，
相邻两个数都相差
2
，
所以可以用等差数列的求和公式来求。
< br>解：
因为首项是
2,
末项是
1990,
公差是
2,
昕以
,
项数
=(1990-2)<
/p>
÷
2+1=995,
再根据等差数列的<
/p>
求和公式
:
总和
=(
首项
+
末项
)
×项数÷
2,
解出
2+4+6+8+
…
+1990=(2+1990)<
/p>
×
995
÷
2=
991020
。
< br>例
4
：计算（
1+3+5+
…
+l99l)-
（
2+4+6+
…
+1990
）
分析：
仔细观察算式中的被减数与减数，<
/p>
可以发现它们都是等差数列相加，
根据题意可以知
道首项、
末项和公差，
但并没有给出项数，
这需要我们求项数，
按照这样的思路求得项数后，
再运用求和公式即可解答。
解：
被减
数的项数
=(1991-1)
÷
2+1
=996
，所以被减数的总和
=(1+1991)
×
996
÷
2=99201
6;
减
数的项数
=(l990-2)<
/p>
÷
2+1=995,
所以减数的总和
=(2+1990)
×
995
÷
2=991020.
所以原式
=992016-991020=996
。
例
5
：已知
一列数：
2,5,8,11,14
，…，
80
，…，求
80
是这列数中第几个
数。
分析：
仔细观察这列数可以发现
，
后项与其相邻的前项之差等于
3
，<
/p>
所以这是一个以
2
为首项，
以公差为
3
的等差数列，求
80
是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。
解：
这列数的首项是
2,
末项是
80,
公差是
3,
运用公式
:
项数
=(<
/p>
末项
-
首项
)<
/p>
÷公差
+1
即
(80-2)
÷
3+1=27,
所以<
/p>
80
是该数列的第
27
< br>项。
例
6
：小王看一本书第一天看了
20
页，以后每天都比前一天多看
2
页，第
30
天看了
78
页正好
看完。这本书共有多少页？
分析：
< br>根据条件“以后每天比前一天多看
2
页”可以知道他每天
看的页数都是按照一定规律
排列的数，即
20
< br>、
22
、
24
< br>、…、
76
、
78
。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：
由题意可知，这列数是一个等差数列，首项
=20
，末项
=78
，项数
=
30
，所以这本书共有
（
20+78<
/p>
）×
30
÷
2=
1470
（页）
答：这本书共有
1470
页。
例
7
：建筑工地上堆着一些钢管
(
如图所示
),
求这
堆钢管一共有多少根。
分析：
根据图可以知道，
这是一个以
3
为首项，以
1
为公差的等差数列，
求钢管一共有多少根
其实是求这列数的和。
解：
求钢管一共有多少根
,
其实就是求
3+4+5+
…
+9+
10
的和。
项数
=(10-3)
÷
1+1=8,
根
据公式求和为
:
3+4+5+
…
+9+10
=(3+10)
×
8
÷
2
=13
×
8
÷
2
=52(
< br>根
)
。
答：这堆钢管一共有
52
根。
例
8
：四（
1
）班
45
位
同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能
握一次手，同学们共
握了多少次手？
分析：
假设
45
位同学排成一队，
第
1
位同学一次与其他同学握手，一共握了
44
次，第
2
位同学
因与第
1
位同学已握手，
只需要与另外
43
位同学握手，
一共握了
43
次，
这样第
3
位同学只需与
另外的
42
位同学握
手，…，依次类推。握手的次数分别为：
44,43,42
，…
，
3,2,1
，这样应
用等差数列求和
公式即可解答。
解：
根据以上分析，
可以把本题转化为求一个等差数列的和
即
44+43+42+
…
+3+2+1
=
（
44+1
）×
44
÷
2