四年级数学思维训练 数列求和问题
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四年级数学思维训练
数列求和问题
让我们一起为了孩子的进步而努力！
纳思书院
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德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，
上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋„＋
99
＋
100
＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于
505
0
。
高斯为什么算得又快又准
呢？原来
小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝„＝
49
＋<
/p>
52
＝
50
＋<
/p>
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使
用的这种求和方法，
真是聪明极了，
简单快捷，
并且广泛地适用于
“等差数列”
的求和问题。
下面介绍有关等差数列的概念。
若干个数排成一列称为
数列
，
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为
首项
，最后一
项称为
末项
。
后项与前项之差都相等的
数列称为
等差数列
，后项与前项之差称为
公差
，数列中数的个数称为项数。
例如：
（
1
）
5
，
6
，
7
，
8
，„，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
，
7
，
9
< br>，„，
99
；
（
3
）
4
，
12
，
20
，
28
，„，
804
；
（
4
< br>）
1
，
4
，
8
，
16
，„，
256
。
其中（
1
）是首项为
5
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；
（
2
< br>）是首项为
1
，末项为
99
，公差为
2
的
等差
数列；
（
3
）是首项为
4
，末项为
804
，公差为<
/p>
8
的等差数列；
（
4
）中前后两项的差都不相等，它不是
等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式<
/p>
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。
在利用等差数列求和公式时
，
有时项数并不是一目了然的，
这时就需要先求出项数。
根据首项、
末项、
公差的关系，可以得到
项数
=
（末项－
首项）÷公差＋
1
，
末项
=
首项＋公差×（项数－
1
）
。
【典型例题】
例
1
、
下面
的数列中，哪些是等差数列？若是，请说明公差，若不是，则说明理由。
（
1
）
6
，
10
，
14
，
18
，
22
，„
98
；
（
2
）
1
，
2
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6<
/p>
；
（
3
）
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，
32
，
64
；
（
4
）
9
，
8
，
7
，
6
，
5
，
4
，
3
，
2
；
（
5
）
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
；
例
2
、
求
1
＋
2
＋
3
＋„＋
1999
1
练习：
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（
1
）
1
＋
2
＋
3
＋„＋
76
＋
77
＋
78
（
2
）
1
＋
3
＋
5
＋„＋
95
＋
97
＋
99
例
3
、
求
11
＋
12
＋
13
＋„＋
31
练习：
2
＋
6
＋
10
＋
14
＋„＋
202
＋
2
06
＋
210
例
4
、
求
3
＋
7
＋
11
＋„＋
99
练习：
（
1
）
4
＋
7
＋
10
＋„＋
292
＋
29
5
＋
298
例
5
、
求首项是
25
，
公差是
3
的等差数列的前
40
项的和。
练习：
求首项是
5
，
公差是
3
的等差数列的前
1999
项的和。
<
/p>
例
6
、
计算
（
1
）
2000
－
3
－
6
－
9
－„－
51
－
54
2
）
8
＋
15
＋
22
＋
29
＋
36
＋„＋
71
。
2
（
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（
2
）
（
2
＋
4
＋
6
＋„＋
96
＋
98
＋
100
）－（
1
＋
3
＋
5
＋„＋
95
＋
97
＋
99
）
（
3
）
1991
－
1998
＋
1985
－<
/p>
1982
＋„＋
11
－
8
＋
5
－
2
练习：
（
1
）
400
0
－
1
－
2<
/p>
－
3
－„－
76
－
77
－
78
（
2
）
560
－
557
＋
554
－
551
＋„＋
500
－
497
（
3
）<
/p>
204
－
198
＋
192
－
186
＋„＋
24
－
18
＋
12
－
6
例
7
、
某市举行数学竞赛，比赛前规定，前
15
名
可以获奖，比赛结果第一名
1
人，第二名并列
< br>2
人，
第三名并列
3
人，„
,
第十五名并列
15
人
,
问得奖的一共有多少人
?
练习
:<
/p>
小明计算从
1
开始的若干个连续自然数的
和
,
结果由于粗心把
1
当
10
来计算
,
得错误结果恰好是
100,
他算的是那些自然数的和
?
3