(完整版)四年级奥数第四讲_等差数列含答案
-
等差数列
一、知识点：
1
、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称
为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
2
、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样
的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3
、常用公式
等差数
列的总和
=
（首项
+
< br>末项）
项数
2
项数
=
（末项
-<
/p>
首项）
公差
+
1
末项<
/p>
=
首项
+
公差<
/p>
（项数
-1
）
首项
=
末项
-
公差
（项数
-1
）
公差
=
（末
项
-
首项）
（项数
-1
）
等差数
列（奇数个数）的总和
=
中间项
项数
二、典例剖析：
例（
1
）
在数列
3
、
6
、
9……
，
201
中，共有多少数？如果继续写下去，第
< br>201
个数是
多少？
分析：
（
1
）因为在这个等差数列中，首项<
/p>
=3
，末项
=201
，公差
=3
，所以根据公式：
项数
=<
/p>
（末项
-
首项）
公差
+1,
便可求出。
（
2
）根据公式：末项<
/p>
=
首项
+
公差<
/p>
（项数
-1
）
解：
<
/p>
项数
=
（
201
-3
）
3+1=67
末项
=3+3
（
201-1
）
=603
答：共有
67
个数，第
201
个数是
603
练一练：
在等差数列中
4
、
10
、
16
、
22
、
……
中，第
48
项是多少？
508
是这个数列的第
几项？
答案
:
第
48
项是
286<
/p>
，
508
是第
8
5
项
例（
2
）
全部三位数的和是多少？
分析：
：
所有的三位数就是从
100~999
共
900
个数，观察
100
、
101
、
102
、……、
998
、
999
这
一数列，发现这是一个公差为
1
的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来
解答。
解：
（
100+999
）
< br>900
2
=1099
900
2
=494550
答：全部三位数的和是
494550
。
练一练：
求从
1
到
2000
的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案
:
1000
例（
3<
/p>
）
求自然数中被
10
除余
1
的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被
10
除余
1
最小的是<
/p>
11
，最大的是
91
。从题意可知，本题是求
等差数列
11
、
21
、
31
、……、
91
的和。它的项数是
9
，我们可以根据求和公式来计算。
解一：
11+21+31+……+91
=
（
11+91
）
9
2
=459
分析二：根据求和公式得出等差
数列
11
、
21
、
31
、……91
的和是
459
，我们可以求得这
9
个数的平均数是
459
9=51<
/p>
，
而
51
恰好是
这个等差数列的第五项，
即中间的一项
(
称作
中项
)
，由此我们又可得到
S=
中项
n
，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能
用中项公式计算。
解二：11+21+31+……+91
=51
9
=459
答：和是
459
。
练一练：
求不超过
500
的所有被
11
整除的自然数的和。
< br>
答案
: 11385
例（
4
）
求下列方阵中所有各数的和：
1
、
2
、
3
、
4
、
……49
、
50
；
2
、
3
、
4
、
5
、
……50
、
51
；
3
、
4
、
5
、
6
、
……51
、
52
；
……
49
、
50
、
51
、
52
、
……97
、
98
；
50
、
51
、
52
、
53
、
……98
、
99
。
分析一：这个方阵的每一横行
（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横
行（或竖行）数列之和，再求出这
个方阵的和。
解一：每一横行数列之和：
第一行：
（
1+50
< br>）
50
2=1275
第二行：
（
2+51
）
50
2=1325
……
第四十九行：
（
49+98
< br>）
50
2=3675
第五十行：
（
50+99
）
<
/p>
50
2=3725
方阵所有数之和：
12
75+1325+1375+……+3675+3725=
（
1
275+3725
）
50
2=125000
分析二：观察每一横行可以
看出，从第二行起，每一行和都比前一行多
50
，所以可以
先将第一行的和乘以
50
，再加上各行比第
一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有
数的和。
解二：
（
1
+50
）
50
2
50=63750
50
（1+2+3
+……+49）
=50
【
（
1+49
）
49
2
】
=61250
63750+61250=125000
答：这个方阵的和是
125000
练一练：
求下列方阵中
100
个数的和。
0
、
1
、
2
、
3
、
……8
、
9
；
1
、
2
、
3
、
4
、
……9
、
10
；
2
、
3
、
4
、
5
、
……10
、
11
；
……
9
、
10<
/p>
、
11
、
12<
/p>
、
……17
、
1
8
。
答案
:
900
例（
5<
/p>
）
班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳
一次。若一共扳
了
105
次，那么共有
多少男生参加了这项比赛
?
分析：设共有几个选手参加比赛，
分别是
A1
、
A2
、
A3
A4
、……An 。从<
/p>
A1
开始按顺序分析
比赛场次：
A1
必须和
A2<
/p>
、
A3
、
A4<
/p>
、……，
An
逐一比赛
< br>1
场，共计（
n-1
）场；
A2
已和
A1<
/p>
赛过，他只需要和
A
3
、
A4
、
A5
、……、
An
各赛
1
场，共计（
n-2
）场
A
3
已和
A1 A2
赛过、他只需要和<
/p>
A4
、
A5
、
A6
、……、
An
、各赛
1
场，共计（
n-3
）场
。
以此类推，最后
An-1
只能和
An
赛
1
场
解：
Sn=
（
n-1
）
+
（
n-2
）+……+2+1
=
（
1+n-1
）×（
n-1
）÷
2
=0.5
×
n
(n-1)
（场）
根据题意，
Sn=105(
场
)
，
则
n
×
（
n-1
）
=210
，
因为
n
是正整数，
通过试算法，
可
知
15
×
14=210.
则
n=15,
< br>即共有
15
个男生参加了比赛。
答：有
15
个男生参加了比赛。
练一练：
从
1
到
50
这
50
个连续自然数中，取两数相加，使其和大于
50
，有多少种不
同的取法？
答案：
625
种
例（
6
）
若干人围成
16
圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少
6
人，如果共
有
912
人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
分析：从已知条件
912
人围成
16
圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少
6
人，也就
是告诉我们这个等差数列的和是
912
，项数是
16
，公差是
6
。题目要求的是等差数列末
项
an- a1=d
(n-
1)=6
(16-1)=90(
人<
/p>
)
解：
an+a1=S
×
2
n=912
2
16=114<
/p>
（人）
外圈人数
=
（
90+114
）÷
2=102
（人）
内圈人
数
=
（
114-90
< br>）÷
2=12
（人）
答：
最外圈有
102
人，最内圈有
12
人。
练一练：
若干人围成
8
圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少
4
人，如果共有
304
人，最外圈有几人？
答案：
52
人