四年级奥数高斯求和
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四
年
级
奥
数
高
斯
求
和
集团文件发布号：（
9816-UATWW-MWUB-
WUNN-INNUL-DQQTY-
第
3
讲
高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让
同学们计算：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
99
＋
100
＝
老师出完题后，
全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于
5050
。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：
1
＋
100
＝
2
＋
99
＝
3
＋
98
＝…＝
49
＋<
/p>
52
＝
50
＋<
/p>
51
。
1
～
100
正好可以分成这样的
50
对数，每对数
的和都相等。于是，小高斯把
这道题巧算为
（
1+100
）×
100
÷
2
＝
5050
。
小高斯使用的这种求和方法，真是
聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于
“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为
数列
，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为
首项
，最后一项称为
末项
。后
项与前项之差都相等的数列称为
等差数列
，后项与
前项之差称为
公差
。例如：
（
1
）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，…，
100
；
（
2
）
1
，
3
，
5
< br>，
7
，
9
，…，
99
；（
3
< br>）
8
，
15
，
22
，
29
，
36
，…，
71
。
其中（
1
）是首项为
1
，末项为
100
，公差为
1
的等差数列；（
2
）是首项为
1
，末项为
99
，公
差为
2
的等差数列；（
3
）是首项为
8
，末项为
71
，公差为
7
的
等差数列。
由高斯的巧算方法，得到
等差数列的求和公式
：
和
=
（首项
+
末项）×项数÷
2
。<
/p>
项数
=
（末项
-
首项）
÷公差
+1
。
末项
=
首项
+
公差×（项数
-1
）。
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均
数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项
定理
【例题讲解及思维拓展训练】
例
1
1
＋<
/p>
2
＋
3
＋…＋<
/p>
1999
＝
分
析与解
：这串加数
1
，
2
，
3
，…，
1999
是等差数列，首项是
1
，末项是
1999
，
共有
1999
个数。由等差数列求和公式可得
原式
=<
/p>
（
1
＋
1999
）×
1999
÷
2
＝
1999000
。
注意：利用等差数列
求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成
等差数列。
【思维拓展训练一】
1
、
11
＋
12
＋
13
＋…＋
31
＝
分析与解<
/p>
：这串加数
11
，
12
，
13
，…，
< br>31
是等差数列，首项是
11
，
末项是
31
，
共有
31-11
＋
1
＝
21
（项）。
原式
=
（
11+31
）×<
/p>
21
÷
2=441
。
2
、
3
＋
7
＋
11<
/p>
＋…＋
99
＝
分析与解
：
3
，
7
，
11
，
…，
99
是公差为
4
< br>的等差数列，
项数
=
（
99
－
3
）÷
4
＋
1
＝
25
，
原式
=
（
3
< br>＋
99
）×
25
÷
2
＝
1275
。
例
2
求首项是
25
，公差是
3
的等差数列的前
40
项的和。