小学奥数教程 等差数列计算题1(含答案)
-
等差数列计算题
知识点拨
等差数列的相关公式
(1)
三个重要的公式
①
通项公
式：递增数列：末项
首项
(
项数
1
)
公差，
a
n
a
1
（
n
1
）
d
递减数列：末项
< br>首项
(
项数
< br>
1
)
公差，
a
n
a
1
（
n
1
）
d
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体
数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白
末项其
实就是首项加上
(
< br>末项与首项的
)
间隔个公差个数，或者从找规律的情况入
手．同时还可延伸出来这样一个
有用的公式：
a
n
a
m
（
n
m
）
d<
/p>
，
（
n
m
）
②
项数公式：项数
(
末项
首项
)
<
/p>
公差
+1
<
/p>
由通项公式可以得到：
n
（
a
n
< br>a
1
）
d
1
(
若
a
n
a
1
)
；
n
（
a
1
a
n
< br>）
d
1
(
若
a
1
a
n
)
．
找项数还有
一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：
找找下面数列的项数：
4
、
7
、
10
、
13
、
L
、
40
、
43
、
46
，
分析：配组：
(4
、
5
、
6)
、
(7
、
8
、
9)
、
(10
、
11
、
12)
、
(13
、
< br>14
、
15)
、
L
、
(46
、
47
、
48)
，注意等差是<
/p>
3
，
那么每组有
3
个数，
我们数列中的数都在每组的第
1
位，
所以
46
应在最后一组第
1
位，
4
到
48
有
48
4
1
45
项，每组
3
个数，所以共
45
3
15
组，原数列有
< br>15
组．
当然还可以有其他的配组方法．
③
求和公式：和
=(
首项
末项
< br>)
项数
÷
2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(
思路
1)
1
2
3<
/p>
L
98
99
100<
/p>
（
1
（
99
）
（
98
L
4
（
51
）
101
50
5050
1
4
100
4
）
4
4
2
4
4
4
4
2
3
< br>4
4
）
4
4
4
50
4
43
共
5
0
个
101
(
思路
2)
这道题目，还可以这样理解：
和
=
1
2
3
4
L
+
和
100
99
98
97
L
2
倍和
101
101
101
101
L
98
99
100
3
2
1
101
101
101
即
，
和
(100
1)
100
<
/p>
2
101
<
/p>
50
5050
(2)
中项定理：
对于任意一个项数
为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半；或
者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：
①
4
8
12<
/p>
L
32
36
（
4
36
）
9
2
20
9
1800
，
题中的等差数列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而和恰等
于
20
9
；
②
65<
/p>
63
61<
/p>
L
5
3
1
（
1
65
）
33
2
33
< br>
33
1089
，
题中的等差数列有
33
项，中间一项即第
17
项的值是
33
，而和恰等于
33
33
．
例题精讲
【例
1
】
用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴
3
4
5
6
L
76
77
78
⑵
1
3
5
7
L
87
9
9
⑶
4<
/p>
7
10
13
L
40
43
46
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【
解
析
】
⑴
根据例
1
的结果知：
算式中的等差数列一共有
76
项，所以：
3
4
5
6
L
76
77
78
（
3
78
）
76
2
3078
⑵
算式中的等差数列一共有
50
项，所以：
1
3
5
7
L
87
< br>
99
(1
< br>
99)
50
2
2500
⑶
算式中的等差数列一共有
15
项，所以：
4
7
10
< br>13
L
40
43
46
（
4
46
）
15
2
3
75
【答案】
⑴
3078
⑵
2500
⑶
375
【
巩
固
】
1
2
……
8
9
10
9
8
< br>
……
2
1
_____
。
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】
希望杯，四年级，二试
【解析】
1
+2+3+…+
n
+…+3+2+1=
n
×
n
，所以原式
=10×
10=100
【答案】
100
【
巩
固
】
1
966
、
1976
、
19
86
、
1996
、
2006
这五个数的总和是多少
?
【考点】等差数列计算题
【难度】
1
星
【题型】计算
【关键词】
华杯赛，初赛
【解析】
1
986
是这五个数的平均数，所以和＝
1986×
5
＝
9930
。
【答案】
9930
【
巩
固
】
计
算：
110
＋
111
＋<
/p>
112
＋
…
＋<
/p>
126
＝
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】
走美杯，四年级，初赛
【解析】
原
式
(110
126)
17
< br>2
2006
【答案】
2006
【
巩
固
】
计
算下面结果．
⑴
4
8
12
16
L
32
36
⑵
65
63
61
L
5
3
1
⑶
3
4
5
L
99
100
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
根
据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数
< br>(
末项
首项
< br>)
公差
1
等差数列的和
（首项＋末项）
项数
<
/p>
2
⑴
项数：<
/p>
（
36
4
）
4
1
9
；
和：
（
4
36
）
< br>9
2
180
⑵
项数：
< br>（
65
1
）
2
1
33
；和：
（
1
65
）
33
2
33
33
1089
⑶
项数：
（
100
3
）
1
1
98
；和：
（
3
100
）
9
8
2
50
47
【答案】
⑴
180
⑵
1089
⑶
5047
【
巩
固
】
用
等差数列的
求和公式会计算下面各题吗？
⑴<
/p>
3
4
5
6
L
76
77
78
⑵
1
< br>3
5
7
L
8
7
99
⑶
4
7
10
13
L
40
43
46
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【
解
析
】
（
1
）
算式中的等差数列一共有
76
项，
所以：
3
4
5
< br>6
L
76
77
78
（
3
78
）
7
6
2
30
78
（
2
）
算式中的等差数列一共有
50
项，所以：
1
3
5
7
L
87
99
(1
99)<
/p>
50
2
2500
（
3
）
算式中的等差数列一共有
15
项，
所以：
4
7
10
13
L
40
43
46
（
4
46
）
< br>
15
2
375
【答案】
（
1
）
3078
（
2
）
2500<
/p>
（
3
）
375
【
巩
固
】
计
算下列一组数的和：
105
，
110
，
115
< br>，
120
，
…
< br>，
195
，
200
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
根
据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是
105
，末项是
200
，但项数不<
/p>
知道．若利用
a
n
a
1
(
n
1)
<
/p>
d
，可有
n
<
/p>
(
a
n
a
1
)
d
1
据此可先求出项数，再求数列的和．
解：数列的项数
< br>n
(
a
n
a
1
)
d
1
(200<
/p>
105)
5
1
95
5
1
20
．
故数列的和是：
S
< br>
(
a
1
a
n
)
n
2
(10
5
200)
20
2
305
20
2
3050
【答案】
3050
【
巩
固
】
聪
明的小朋友
们，
PK
一下吧．
⑴
4
8
12
16
L
32
36
⑵
65
63
61
L
5
3
1
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
根
据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数
< br>(
末项
首项
< br>)
公差
1
等差数列的和
（首项＋末项）
项数
<
/p>
2
⑴
项数：<
/p>
（
36
4
）
4
1
9
；
和：
（
4
36
）
< br>9
2
180
；
⑵
项数：
（
65
1
）
2
1
33
；
和：
（
1
6
5
）
33
2
33
<
/p>
33
1089
．
【答案】
⑴
180
⑵
1089
【
巩
固
】
巧
算下题：
⑴
5000
2
4
6<
/p>
L
98
100
⑵
1
3
5
7
L
1995
1997
1999
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
⑴
原式
5000
（
2
4
6
L<
/p>
98
100
）
5000
（
2
10
0
）
50
2
5000
2550
2450
⑵
这一串加数可以组成首项为
1
、末项为
1999
，公差为
2
的等差数列，
项数
（
19
99
1
）
2
1
1000
，原式
（
1
1999
）
1000
2
2000
< br>1000
2
1000000
【答案】
⑴
2450
⑵
1000000
【
巩
固
】
(1
2
3
2007
2008
2007
3
< br>
2
1)
2008
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】
走美杯，四年级，初赛
【解析】
观
察原式可知，
1
、
2
< br>、
3…2007
分别可与
200
7
、
2006
、
2005…1
组成
2008
，于是括
号中有
2008
个
2008
，故原式结果为
2008
。
【答案】
2008
(
2005
2006
2007
2008
2009
2010
201
1
)
2008
__________
【
巩
固
】
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】
希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
根
据中项定理知
: 2005+200
6+2007+2008+2009+2010+2011=2008×
7,
所以原式
=
2008×
7÷
2008=7
【答案】
7
【
巩
固
】
计
算：
1÷50
+2÷50+……+98÷50+99÷50=
【考点】等差数列计算题
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】
希望杯，
4
年级，
1
试