分数的巧算
-
分数的速算与巧算
（一）
分数巧算（求和）
分数求和的常用方法
：
1
、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。
2
、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思
，用图表示出来，从而找出简便方法。
3
、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以
< p>互相抵消，从而使计算简便。
4
、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。
5
、代入法，将算式中的某些部分用字母代替
并化简，然后再计算出结果。
典型例题
一、公式法：
计算：
1
2
3
4
2008
+
2008
+
2008
+
2008
+<
/p>
二、图解法：
计算：
1
1
1
1
1
1
2
＋
4
＋
8
＋
16
＋
32
＋
64
+
200
6
2008
+
2007
2008
第
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页
…
三、裂项法
1
1
1
1
1
1
1
1
、计算：
+
＋
＋
＋
＋…
…＋
＋
2
6
12
20
30
90
110
分析：
由于每个分数的分子
均为
1
，先分解分母去找规律：
2=1
×
2
，
6=2
×
3
，
12=
3
×
4
，
20
=4
×
5
，
3
0=5
×
6
，……
110=10
×
11
，这些分母均
为两个连续自然数的乘积。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>再变数型：因为
=
=1
－
，
=
=
－
，
=
=
－
，……，
=
=
-
110
10
11
10
2
1
2
2
6
2
3
2
3
12
3
4
3
4
1
。这样将连加运算变成加减混
合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来
11
< br>方便。
1
1
< br>1
1
1
1
1
+
＋
＋
＋
＋……＋
＋
2
6
12
20
30
90
110
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=1
－
＋
－
＋
－
＋……＋
－
＋<
/p>
-
9
10
10
11
2
2
3
3
4
1
=1
－
11
10
=
11
1
1<
/p>
1
1
1
2
、计算：
＋
＋
＋……
＋
＋
29
33
33
3
7
1
5
5<
/p>
9
9
13
第
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3
、计算：
21
－
4
、计算：
5
、计算
：
1
＋
4
4
4
4
4
4
4
4
－
－
－
－
－
－
< br>－
3
15
35
63
99
143
195
255
29
9701
9899
1
5
11
19
＋
＋
＋
＋
＋……＋
＋
9702
9900
2
6
12
20
30
1
1
1
1
+
……
+
< br>
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
......
100
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6
、计算
：
1
1
1
1
…＋
1
2
3
2
3
4
3
4
5
98
99
100
四、
分组法
：
计算
1
2<
/p>
3
4
5
6
7
8
9
10
1999
2000
+
－
－
＋
＋
－
－
＋
＋
－……－<
/p>
－
2004
2004
2004
2004
2004
200
4
2004
2004
2004
2004
2004
2004
2001
2002
＋
＋
2004
2004
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4
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27
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五、
代入法
：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
计算（
1+
）×（
）－（
1
＋
）×（
）
2
3
4
2
3
4
5
2
3
4
5
2<
/p>
3
4
热点习题
计算：
1
3
5
7
9
11<
/p>
13
1
、
【
1
】
49
49
49
49
49
49
49
1
1
1
1
1
1
1
1
2
、
1
< br>
【
】
2
4
8
16<
/p>
32
64
128
128
1
1
1
1
1
1
6
3
、
< br>
【
】
2
6
12
20
30
42
7
第
5
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共
27
页
4
、
4
、
1
1
1
1
1
......
1988
1989
1989
1990
1990
1991
2007
2008
2008
< br>2009
1
1
1
1
1
......
13
15
15
17
17
19
35
37
37
39
1
1
1
1
1
6
、
2+
3
5
7
11
13
6
12
20
30
42
1
5
11<
/p>
19
29
41
5
5
<
/p>
7
、
2
6
12
20
30
42
56
第
6
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共
27
页
8
、
9
、
1
4
16
36
64
100
144
196
256
324
400
3
15
< br>35
63
99
143
195
255
323
39
9
5
7
9
11
13
15
17
19
21
<
/p>
6
12
20
30
42
56
72
90
110
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1995
1996
+
+
+
－
－
－
－
＋
＋<
/p>
＋…＋
＋
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
2002
1997
1998
1999
2000
2001
2002
－
－
－
－
＋
＋
2002
2002
2002
2002
2002
2002
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
11
、
(1+
)
×（
）－
(1+
)
×<
/p>
(
)
2
3
4
5
2
3
4
5
6
2
3
< br>4
5
6
2
3
4
5
10
、
第
7
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共
27
页
12
、
13
、<
/p>
2001
年是中国共产党建党
80
周年，
最小等于多少？
14
、
1<
/p>
2
3
4
－……－
1
(
1
2
)
(
1
2
)
< br>
(
1
2
3
)
(
1
2
3
)
(
1
2
3
4
)
< br>1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
18
19
）
(
)
(
)
(
< br>
)
+
…
+
（
...
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
20
20
20
20
20
1921
1921
是个有特殊意义的分数。如果下式大于
，那么
n
2001
2001<
/p>
1
1
1
1
......
1
2
2
3
3
4
n
(
n
< br>1
)
10
(
1
2
3
......
< br>
9
)
(
1
2
3
......
10
)
15
、
第
8
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27
页
1
1
1
1
.......
2
2
1
4
2
1
6
2
1
100
2
1
（二）分数巧算（
复杂的裂项型运算
）
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有
的乘
积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一
项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加
1
的乘积。
一、整数裂项
【例
1
】
计算：
1
3
2
4
3
5
4
6
99
101
【巩固】
计算：
3
5
5
<
/p>
7
7
9
【例
2
】
计算
10
1
6
22
1
6
22
2
8
97
99
99
101
7
0
76
8
2
76
8
2
88
【例
3
】
计算
1
×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
第
9
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27
页
【巩固】
3
3
3<
/p>
4
4
4
79
79
79
【例
4
】
计算：
1
1
1
2
2
2
3
3
3
< br>99
99
< br>99
100
100
100
【例
5
】
1
<
/p>
1
2
1
2
3
1
2
3
4
<
/p>
1
2
3
100
【巩固
】
3
3<
/p>
6
3
6
9
第
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页
3
6
300
二、分数
“
裂和
”
型运算
【例
6
】
填空：
5
1
6
2
，
7
1
12
3
，
9
1
20
4
11
1
30
5
，
13
42
1
6
，
15
1
56
7
5
7
9
11
13
15
17
19
【巩固】
计算：
1
< br>
6
12
20
30
42
< br>
【例
7
】
5
6
6
7
7
8
8
5
6
9
< br>9
10
6
7
7
8
8
<
/p>
9
9
10
【巩固】
3
6
5
7
9
5
7
6
12
20
11
30
13
42
56
72
90
第
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1
3
2
5
7
9
10
11
19<
/p>
【例
8
】
<
/p>
计算：
<
/p>
3
4
5
7
8
20
21
24
35
【巩固
】
1
1
1
1
1
20
10
26
38
27<
/p>
【例
9
】
<
/p>
2
3
30
31
41
51
119
120
123<
/p>
124
1
3
2<
/p>
5
3
7
9
11
17
25
<
/p>
7
12
20
28
30
42
【巩固】
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12
页
共
27
页
35
49
63
77
91
105
3
1
<
/p>
1
6
12
20
30
42
56
8
8
【例
10
】
1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
19
2
20
2
1
2
2
3
18
19
19
20
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
< br>1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
2
2
26
2
3
【巩固】
3
3
1
< br>1
2
3
1
3
2
3
3
3
1
3
2
3
3
3
4
3
1
< br>2
3
26
3
(
2
2
4
2
6
2
......
100<
/p>
2
)
(
1
2
3
2
5
2
......
99
2
)
1
2
3
......
10
9
8
......
1
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13
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