数形结合的几个经典题
-
数形结合
1.
如图<
/p>
1
，大长方形的面积从整体看为
S=
m
（
a
+
b
+
c
）
，
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：
S
＝
S
1
+
S
2
+
S
3
＝
ma
+
mb
+
mc
；
于是有
m
（
a
+
b
+
c
）＝
ma
+
mb
+
mc
。
。
2.
如图
2
，大长方形的面积从整体可以表示成（
a+b
）
（
m+n
< br>）
，
同时这个大长方形的面积
也可以从局部表示成
S
＝
S
1
+
S
2
+
S
3
+
S
4
＝
ma
+
mb
+
na
+
nb
；
于是有
（
a+b
）
（
m+n
）＝
ma
+
mb
+
na
+
nb
.
。
3.<
/p>
如图
3
，
阴影部
分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，
即
a
2
－
b
2
；
若把小长方形
S
4
旋转到小长方形
S
3
的位置，
则此时
的阴影部分的面积又可以看成
S
1
+<
/p>
S
2
+ S
3<
/p>
＝
(
a
+
b
)(
a
－
b
)
。
于是有
(
a
+
b
)(
a
－
b
)
＝
a
2
－
b
2
。
4.
如图
4
：将边长为
b
的小正方形放到边长为<
/p>
a
的正方形的一角，
空白部分的面积从整体计算为
a
2
－
b
2
；
而如果
从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形
S
1
< br>+
S
2
之和，
< br>
其面积为
于是有
a
b
a
b
< br>
a
b
a
b
(
a<
/p>
b
)(
a
b
)
。
2
2
2
(
a
+
b
< br>)(
a
－
b
)
＝
a
－
b
2
。
5.
如图
5
，大正方形的面积从整体可以表示为
(
a
+
b
)
2<
/p>
，
从局部可以表示为也可以表示为
S
＝
S
1
+
S
2
+
S
3
+
S
4
，
同时
S
＝
a
2
+
ab
+
ab
+
b
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
，
于是有
(
a
+
b
)
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
。
6.
如图
6
，从整体看，这个图形的面积为
（
a+b
）
（
a+2b
）
，
从局部我们可以看出，它分为
6
部分，这
6
部分的面积之和为
a
2
+3ab+2b
2
，
所以（
a+b
）
（
a+2b
）
= a
2
+3ab+2b
2
。
数形结合例题
例
1
在边长
为
a
的正方形中挖去一个边长为
b
的小正方形（
a
>
b
）
（如图
1
）
，把余下的部
分拼成一个长方形（如图
2
）
，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（
）
A
．
（
a
+
b
）
2
＝
a
2
+2
ab
+
b
2
< br>B
．
（
a
-
b
）
2
=
a
2
-2
ab
+
b
2
C
．
a
2
-
b
2
=
（
a
+
b
）
< br>（
a
-
b
）
D
．
（
a
+2
b<
/p>
）
（
a
-
b
）
=
a
2
+
ab
-2
b
2
析解：图
1
的阴影部分面积等于边长为
a
的正方形面积与边长为
b
的正方形的面积差，
表示为
a
2
-
b
2
．
图
2
中阴
影部分是长方形，
其中长为
a
+
b
，
宽为
a
-
b
，
其面积为
（
a
+
b
）
（
a
-
b
）
．
根
据两个图形中阴影部分的面积相等，有
a
2
-
b
2
=
（
a
+
b
）
（
a
-
b<
/p>
）
．故选
C
．<
/p>
例
2
如图<
/p>
3
是四张全等的长方形纸片拼成的图形，
请利用图中空白部分面积的不同表
示方法，写出一个关于
a
、
b
的恒等式
__
______
．
析解：空白部分的面
积可看成是一个正方形，它的边长为
a
-
b
，所以面积为（
a
-
b
）
2
；
< br>空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（
a
+
b
）
2<
/p>
，