谈数与形的结合——中小学教学中蕴藏着的数形结合思想
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谈数与形的结合
中小学教学中蕴藏着的数形结合思想
［摘要］
数形结合，
是数学教学中常用的一种方法，
它能使复杂的问题简
单化，
抽象的事物直观化，
教师讲解容易，
学生也易于理解。
数形结合有利于数感的培
养，有利于算理
的讲解，有利于思维的培养，有利于空间观念的形成。本文揭示
了在小学数学中的数感，
算术，思维和三维模型与初中数学的有理数、应用题、
不等式、函数及其图象、统计初步
、平面几何内容中所蕴藏着的数形结合思想。
［关键词］
数形结合
数感算理
思维
空间观念
谈数与形的结合
1
中小学教学中蕴藏着的数形结合思想
数学家华罗庚说得好:
“数形结合百般好
,
隔离分家万事休
,
几何代数统一
体
,
永远联系莫分离”.数学知识的教学有两条线：
一条是明线，
即数学知识；
一
条是暗线，即数学思想方法。
随着新课程改革全面展开
,
各门课程的教材都发生着巨大的改变。面对改头
换面的数学新
教材
,
我们发现章节顺序变了
,
知识点重新整合了，书也变漂亮了
,
图形变多
了，
以前的数学课程被分为“代数”和”几何”两本教材来
讲授
,
而现在合二为
一
,
且教学中几何图形所占的比重有所增加。“代数”主要研究数据的计算与处<
/p>
理
,
“几何”主要研究图形的位置、大小等特性
,
“数”和“形”是数学研究的
两个侧面
,
它们互相渗透，相互转化
,
使得以代数法研究几何<
/p>
,
以几何法研究代数
成为可能。
“数形结合”是初中数学的重要思想之一
,
也是
学好数学的关键之一。
若能把“数”与“形”很好的结合起来
,
那么一些看似复杂的问题会迎刃而解。
掌握了此方法也会使解题
手段从“单一”走向“灵活”
,
体会到数学之美，从而
感叹数学之精妙。
青少年生活在社会和物质的
世界中，
周围环境中形形色色的物体均表现为一
定的数量、形式
，并以一定的空间形式存在着。从青少年心理学分析，他们善于
运用直觉形象思维来解决
问题，
数学抽象思维是建立在大量的已知的形象思维的
基础上而
形成的。
翻开新课程数学教材，
一道道解决问题的应用题里的一
组组对
话，
运用了漫画的小人书表现形式来表达，
无论学生会不会解答，
他们都把它当
作好看的小人书
来研究一番，
这比老教材的单纯应用题能更吸引学生，
这是一大
进步。
有了象漫画一样的解决问题的应用题学生也来兴趣了，<
/p>
解答时研究的印象
也深刻了，更能接受老师、同伴的解决思路。<
/p>
数形结合就是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学
特征、寻
找解决问题的方法的一种重要数学思想，
着重借助图形
来解题，
以其直观、
形象、
简捷的形式
来吸引学生。
数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，
把抽
象的数量关系，
通过理想化抽象的方法，
< br>转化为适当的图形，
从图形的结构直观
2
地发现数量之间存在的内在联系，
解决数量关系的数学问题。
在新课程的数学教
学中，
数形结合的作用非常大，可以说是数学课堂中必不可少的教学手段。
如何把解决问题的应用题解决方法进一步提炼成简单易懂的，
直观的数形形
式呢？这就要求结合数形图来分析。
< br>
一、数形结合突出了数感的建立
数是抽象的数学知识，形是具体实物、图形、模型、学具。数和形是紧密联
系的。<
/p>
数形对应是数形结合的基础，
这种意识的养成主要是通过新授课阶
段的学
习逐步领悟和掌握的。学生只有先从形的方面进行形象思维，通过观察、操作，<
/p>
进行比较、分析，在感性材料基础上进行抽象，才能获得数的知识。所以在低年
级的数学课堂教学中，
数形结合是常用的手段之一，
因为它能有效地为毫无数字
概念的孩子建立数感。一般认为
2
0
以内甚至
100
以内的数学生大多会
读会写，
因此往往忽视教学过程中的动手操作。
事实上，
操作恰恰是生成数感的有效途径。
例如在教
学
20
的认识时，教师既要演示又要请学生亲自动手用摆小棒的
方
法从
11
数到
19
，然后用稍稍缓慢的动作清楚地演示出
19
根小棒添上
1
根是
1
捆加十个
1
个，再将
10
个
1
根捆成
1
捆，这样就是
2
捆，即
2
个
10
根，也就是
20
根。这样的过程使学生清楚地感受到
2
0
是在
19
的基础上添上
1
生成的，这
对后面
30<
/p>
、
40
、
50<
/p>
等整十数的认识有很强的提示作用。而
100
的认识更要让学
生通过数小棒经历
99
添上
1
就是
10
< br>个十，
10
个十是
1
个百即
100
的生成过程，
从而体会两位数向三位数的变化，
明白数位的顺序及各数位的价值。
< br>物和数的对
应加深了学生对数的理解，突出了学生数感的培养。
< br>
二、数形结合突出算理讲解。
在数学教学中，加强数与图形的结合，能加深学生对知识的理解，能有效防
止学生学习
数学“一知半解”
,
防止出现“隔靴搔痒”的教学现象。应用数
形结
合，是解决问题过程中的一种策略，是数学规律性、灵活性的融合。教师应帮助
学生通过具体问题的解决，
归纳出知识的系统性和规律性，
并在此基础上拓宽延
展，
使学生的思维能力不滞
留在某一局部上而是获得更长足的发展，
让学生积极
主动地建构
有序的良好的知识组块，增强了建构功能。
例如在学生学习“
乘法的意义”时，因为同一意义可以表示两种乘法算式，
而同一算式有两种不同含义，<
/p>
如果在教学过程中，
不注意数形结合，
学
生对乘法
3
意义的理解往往处于<
/p>
“一知半解”
状态。
如一共有多少个五角
星？在看图的基础
上，学生能理解：横看，得到
5
＋
5
＋
5
< br>，可以表示成
5
×
3
或
3
×
5
，竖看，得到
3
＋
3
＋
3
＋
3
＋
3
，可以表示成
3
×
5
或
5
×
3
。但是，如果问学生：
3
×
5
、
5
×
3
表
示什么
？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊地表述
3
×
5
既
表示
3
个
5
连加，
也表示
5
个
3
连加。
但实际上
3
个
< br>5
连加和
5
个
< br>3
连加是不一
样的意义，所以，此时老师应强调结合图形
看，
3
个
5
连
加应怎样看
?(
横看
)5
个
3
连加又应该怎样看？
（
竖看）
说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？
通过数与形
的一一对应，
来加强学生对乘法算式所表达意义的理解，
加强算
理的
教学。
三、数形结合突出了思维训练。
在具
体实施“数形结合”时，我们常常是由“形”观察“数”，由“数”构
造出“形”，这中
间的“观察”与“构造”并未进行严格的逻辑推理。数形结合
就是把抽象的数学语言与直
观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结
合，通过“以形助数”或“以数解形”
，帮助我们复杂问题简单化，抽象问题具
体化，从而达到优化解题途径的目的。在教学中
，把数和形结合起来分析，引导
学生既从数的方面用分析的方法进行抽象思维，
又从形的方面进行整体思考，
通
过类比、联想、
想像进行形象思维，能达到思维训练的要求。
例如百分数应用
涂教学，
参加乒乓球兴趣小组的共有
80
人，
其中男生占
60%
，
后又有一批男生加入，这时男生占总人数的
2/3
。问后来又加入男生多少人？先
把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成
：若把原来的总人数
80
人看作
5
份，则男生占
3
份，女生占
2
份，因而推知现在的总人数为
6
份，
加入的男生为
6
—
5=1
份，得加入的男生为
80
< br>÷
5=16
（人），从这题不难看出：
< br>“数”、
“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协<
/p>
同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使
解法变得十分简明扼要而巧妙。
四、数形结合突出了三维模型的建立。
为了使数学上的奇异美、
对称美
、
和谐美、
内容美在图形上的体现更为直观、
< br>更为动人，应用数形结合能不断培养学生的审美情趣，提高审美意识和鉴赏力，
有
利于空间观念的建立。
空间观念是物体的形状、
大小、
长短和互相位置关系的
4