有理数 数形结合
-
有理数与数轴的数形结合
数与形，
本是相倚依，
焉能分作两边飞？数缺形少直观，形少数时难
入微。数形结合百般好，隔离
分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，
永远联系，切莫分离。
-
-----
华罗庚
知识清单
1
、
有理数的分类
（
1
）按
“
整分性
< br>”
分类：
（
2
）按
“
正负性
”<
/p>
分类：
<
/p>
正整数
正整
数
正有理数
整数
0
正分数
负整
数
有理数
有理数
0
负整数
正分数
分
数
负有理数
负
分数
负分数
2
、规定了
、
、
的一条
叫做数轴。
3
、任何一个有理数都可以用数轴上点来表示，反过来，数轴上的任何一个点却不一定表
示有理数。
4
、数轴上任意两点之间
的距离等于这两点表示的较大数减去较小数。
5
、初步建立数形结合和分类讨论思想方法；知道利用数轴可以解决生活中的实
际问题。
一、数形结合思想
(
一
)
、利用数轴（规定了原点、单位长度、正方向的直
线）这一图形来解有关“有理数”
的题目。
(1)
绝对值
：
从图形上可明显看出：
2
，就是线段ＯＡ的长度２，即
2
2
A
O
B
3
就是线段ＯＢ的长度，即
3
3
< br>-3
-2
-1
0
1
2
3
例题：
1
、数轴上与
O
的距离等于<
/p>
2
个单位的点表示的数是
（
）
A. 0
和
2 B.
－
1
和
2
C.
－
1
和
3
D.
－
2
和
2
2
、绝对值等于
8
的数是
（
）
A . 8 B.
-8 C. 8
或
-8 D.
不能确定
3
、如图
,
< br>工作流程线上
A
、
B
、
C
、
D
处各有
1
名工人
,
且
AB=BC=CD=1,
现在工作流程线上
安放一个工具箱
,
使
4
个人到工具箱的距离之和为最短
,•
则工具箱的安放位置是
__________.
A
B
C
D
变式练习：
1
、│
x+1
│
+
│
x-1
│的最小值是
(
).
A.2 B.0 C.1
D.-1
2
、有理数
a
、
b
、
c
< br>在数轴上的位置如图，化简│
a+b
│
< br>-
│
c-b
│的结果为
( )
A.a+c B.-a-2b+c
C.a+2b-c D.-a-c
c
a
0
b
3
、有理数
a
、<
/p>
b
、
c
在数轴上
的位置如图所示
,
若
m=
│
a+b
│
-
│
b-1
│
-
│
a-c
│
-
│
1-c
│
,
则
1000m=__________.
b<
/p>
a
0
c
1
<
/p>
(2)
相反数
：如上图，两个数互为相反
数，在数轴上表现为与原点距离相等（其中只有
0
的
相反数是它本身）
。在数本身的特点上，体现为只有符号不同。
例题：
1
、
-5
的相反数是
，
2
的相反数是
2
、
一个数在数轴上表示的点距原点
2.8
个单
位长度，
且在原点的左边，
则这个数的相反数
< br>是
_____
，绝对值是
___
__
．
3
、
数轴上的点
A
和点
B
< br>所表示的数互为相反数，且点
A
对应的数是
–
2
，
P
< br>是到点
A
或点
B
距离为
3
的数轴上的点，则所有满足条件的点
P
所表示的数的和为（
）
.
A
、
0
B
、
6
C
、
10
D
、
16
(3)
有理数的分类及大小比较
：如上图，在数轴上可以看出：①原点
0
右边的都是正数，
0
左边的都是负数，而
0
是分界点。这样数可分为：正数
，
0
，负数三类。
数轴上右边的数
大于左边的数。
②在数轴上一般标记出来的是整数，而分数（小数）
一般没标记出来。有
理数第二分类方法：整数、分数。大小比较：还是
< br>数轴上右边的数大于左边的数
。
例
1
、比较
的大小
例
2
、比较
a
与
1
的大小
．
a
例
3<
/p>
、数
a
、
b
、
c
、
d
所对应的点
A
、
B
、
C
、
D
在数轴上的位置如图所示
,
那么
a+c
与
b+d
的
大小关系是
( ).
A.a+c
不确定的
变式练习：
1
、用
“
＜
”
、
“
＞
”
或
“
＝
”
连接：
（
1
）－
2
＋
6
；
（
2
）
0
－
1.8
；
（
3
）
3
5
_____
2
4
2
、有理数
a
、<
/p>
b
满足
a>0,b<0,
│
a
│
<
│
b
│
,
用“
〈”将
a
、
b
、
-a
、
-b•
连接起来
_________.
3
、
a
、
b
、
c
在数轴上的位置如图所示，则
1
1
1
、
、
中最大的是
________.
a
b
c
b
a
c
a
b
c
0
培优提升：
1
、
如
图
,
在数轴上
(
未标出原点及单位长度
)
点
A
为线段
BC
的中点
,
已知点
A
、
B
、
C
对应的三个数
a
、
b
、
c
之积是负数，这三个数之和与其中一数相等，设
p
为
a
、
b
、
c
三数中两数的比值，求
p
的最大值和最小值。
A
B
C
2
、我们知道，
|a|
表示数
a
到原点的距离，这是绝对值的几何意义。进一步地，数轴上
< br>两个点
A
、
B
< br>，分别用
a
，
b
表示，那么
AB=|a
—
b|
。
(
思考一下，为什么？
)
，利用此结论，
回答以下问题：
< br>
(1)
数轴上表示
2
和
5
的两点之间的距离是
_______,
数轴上表示
-2
和
-5
的两点之间的距
离是
______,
数轴上表示
1
和
-3
的两点之间的距离是
___
___
；
(2)
< br>数轴上表示
x
和
-1
的两点
A
、
B
之间的距离是
_______,
如果
|AB|=2
，
那么
x
的值为
_____;
（
3
< br>）说出
|x+1|+|x+2|
表示的几何意义
________________________________________,
当
x
取何值时，该式取值最小：
______________________.
（
< br>4
）求
|x-1|+|x-2|+|x-3|+
…
+|x-2005|
的最小值。
(4)
有理数加减法运
算
：
1
、<
/p>
线段的加减作图法
：如图：
①作一条线段，使它与
AB+CD
相等。
方法：如图，在直线上顺次连
续作出线段
AB
、
CD
，线段
AD=AB+CD
A
D
B
(
C
)
②作一条线段，使它与
AB-
CD
相等。
D
A
B
(
C
)
2
、
有理数
的加减
：根据数形结合的思想，实质就是在数轴上进行的线段的加减。
< br>
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
< br>3
4
5
试着利用以上数轴图，解释有理数加法（加上一个正数，从该数右边继续画一条线段，若
加上一个负数，从这个数左边画一条线段，得到结果）
试解释：
2+3=_____
－
2+3=____
4+(
－
6)=____
－
2+(
－
3)=___
_
并因此归纳出加法法则：
_______________
_____________________
_________________
_________________________________________
A
B
C
D
练习：
1
、如图所示，点
M
表示的数是（
）
A. 2.5
1
.
5
B.
2
.
5
C.
D.
1.5
2
、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了
8
米，记作
“
＋
8
米
”
，又向西走了
10
米，此
时他的位置可记作（
）
。
A
、＋
2<
/p>
米
B
、－<
/p>
2
米
C
、＋
18
米
D
、－
18
米
3
、某检修小组乘汽车沿公路检修线路，
约定前进为正，后退为负，某天自
O
地出发到收
工时所走路线（单位：千米）为：
+10
、
-3
、
+4
、
+2
、
-8
、
+13
、
-2
、
+12
、
+8
、
+5
（
1
）问收工时距
O
地多远？
（
2
）若每千米耗油
0.2
升，从
O
地出发到收工时共耗油多少升？
4
、计算
变式练习：
计算：
1
3
3
5
5
7
99
101
1
、
2
、
文具店
、
书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，
文具店在书
店西边
20
米处，
玩具店位于书店东边
100
米处，小明从书店沿街向东走了
40
米，接着又向东走了
-60
米，<
/p>
此时小明的位置在
(
)
(A)
文具店．
(B)
玩具店．
(C)
文具店西边
40
米．
(D)
玩具店东
-60
米．
培优提升：
1
、若
a
、
b
互为相反数，
c,d
互为负倒数
, <
/p>
则
(a+b)
1996
< br>+(cd)
323
=______
2
、
如图所
示，圆的周长为
4
个单位长度，在圆的
4
等分点处标上数字
0
，
1
，
2
，
< br>3.
先让圆
周上数字
0
所对应的点与数轴上的数
-1
所对应的点重合，
再让数轴逆时针方向绕在该圆上，
那么数轴上的数
-2006
将与圆周上数字
重合
.
1
1
1
1
1
1
2
2
< br>
3
3
4
98
99
99
100
1
1
1
1
(
二
)
、利用数形结合思想来解行程问题的应用题
1
、一般性行程问题
例：一只船从甲码头到乙码头是顺流行驶，用了
2
小时
；从乙码头返回到甲码头是逆流行
驶，用了
2.5
小时。如果水流的速度是
3
千米
/
小时，求船在静水中的速度？
分析：一般根据题意可得到如下图形，相等关系易发现：去的路程
=
回的路程
顺水航时：
实际速度
=
静水中速度
+
水流速度，<
/p>
v = x+3
t
=2
s=2(x+3)
逆水航时：
实际速度
=
静水中速度－水流速度，
v = x
－
3
t =2.5
s=2.5(x
－
3)
甲码头
乙码头
练习：一架飞机在两城之间飞行，风速
为
24
小时
/
时，顺风飞行需要
2
小时
50
分，逆风
飞行需要
3
小
时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程？
2
、相遇问题
例题：甲、乙骑自行车同时从相距
60
千米的两地相向而行，
5
小时
相遇
．
甲比乙每小时多
骑
2
千米，求甲、乙的
速度各是多少？
分析：
相遇问题根据
题意一般都可画出如下图。
在图形上标出两的速度，
时间，
路程等量，
相等关系
一般由图形可得到
甲的路程
AB+
乙的路程
< br>CB=AC
两地之间路程
60
千
米。
甲的
v =
t =
s =
A
B
C
乙的
v =
t =
s =