数形结合思想例题分析
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数形结合思想例题分析
数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题：
1
、证明恒等式：
< br>2
2
2
x
y
z
,
z
x
2
r
2
x
2
y
x
例
1
已知
、
、
z<
/p>
、
r
均为正数，且
求证：
rz
xy
.
<
/p>
y
A
z
C
x
B
r
2
2
2
2
2
2
x
y
z
,
z
x
r
<
/p>
x
.
可以联想到
分析：
由
自然联想到勾股定理。
由
射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）
。对照图形，
由直角三角形面积的两种
算法，结论的正确性一目了然。
证明：
（略）
小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然
后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2
、证明不等式：
例
2
已知：
0
＜
a
＜
1
，
0
＜
b
＜
1.
求证
a
2<
/p>
b
2
(1
a
)
2
b
2
a
2
< br>(1
b
)
2
(1
a
)
2
(
1
b
)
2<
/p>
2
2.
证明：如图，作边长为
1
的正方形
ABCD
，在
AB
上取
点
E
，使
AE=
a
；在
AD
上取点
< br>G
，使
AG=
b
，
过
E
、
G
分别作
EF//AD
交
CD
于
F
；作
GH//AB
交
BC
于
H
。设
EF
与
GH
交于点
O
，连接
AO
、
BO
、
CO
、
DO
、
AC
、
BD.
由题设及作图知△
AOG
、△
BOE
、△
COF
、△
DOG
均为直角三角形，因此
OA
a
2
b
2
OB
<
/p>
(1
a
)
2
b
2
OC
(1
a
)
2
(1
b
)
2
OD
a
< br>2
(1
b
)
2
且
AC
BD
2
由于
OA
OC
AC
,
OB
OD
BD
.
所以：
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数形结合思想例题分析
a
2
b
2
(1
a
< br>)
2
b
2
a
2
(1
b
)<
/p>
2
(1
a
)
2
(1
b
)
2
2
2.
1
当且仅当
a
b
时，等号成立。<
/p>
2
小结：在求证条件不等式时，可根据
题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面
几何的定理、公理去建立不
等式使结论获证。
3
、求参数的值或参数的取值范围：
例
范围。
2
y
ax
<
/p>
2
x
1
（
a
＞
0
）的草图：
解析：画
出与方程对应的二次函数
y
y
2
ax
2
x
1
0
（
a
＞
< br>0
）的两根满足：
x
1
＜
1
，
1
＜
x
2
＜
< br>3
，求
a
的取值
3
若方程
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
由图可知：当
x
=1
时，
y
＜
0
；
当
x
=3
时，
y
＞
0.
2
即
a
1
2
1
1
＜
0
；
a
3
2
2
3
1
＞
0.
5
解得：
＜
a
＜
1.
9
例
4
<
/p>
若关于
x
的不等式
0
x
2
mx
2
<
/p>
1
的解集仅有一个元素，求
m
的值。
2
y
x
mx
2
y
< br>
1
解：如图：在同一坐标系内，作出
< br>与
y
的图象。题设条件等价于抛物线
y
x
2
mx
2
在
直线
y
0
与
y
1
之间的
带状区域仅有一个交点，
且抛物线开口向上。
由图形的直观
性
质
可
知
：
这
个
交
点
只
能
在
< br>直
线
y
1
上
，
故
方
程
组
y=1
0
y
1
x
2
仅有一组解。
y
x
mx
2
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