思维拓展训练
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思维拓展训练
课时一：分析综合法
“分析法”与“综合法”是我们小学生常用的解题思考方法之一。
所谓
“分析法”
就是从要求的问题出发，
根据题
意和已知的数量关系，
想一想，
还需要知道什么条件才能推出所
求的问题。
如果在这一条件
中，
有的还
有未知的，
就把它当做新的所求的问题，
再来寻找能够求
出它的那些条件。
这样，
逐步寻求需要的条件
，
直到具备所需的一切
条件。我们把这种从未知出发，转化问题
，步步逆推，执果索因的思
考方法，称为“分析法”
，也叫“逆
推法”
。
所谓“综合法”
，就是从题目的某一个（或几个）已知条件出发，
< br>想想它能推出一些什么结果，
再把推出的结果与另外一些已知条件一
起又可以推出什么结果，
这样一步一步地向着所要求的问题前进，
最
后得出要求的结果。这种从“已知”看“可知”
，逐步推向“未知”
，
即从已知条件出发，转化条件，步步顺推
，由因导果的思考方法，称
为“综合法”
，也称“顺推法”
。
在解题的过程中，往往既用“分析法”
，又用“综合法”
，至于在
什么情况下
用
“分析法”
，
什么情况下用
“综合法”
，
要根据具体情况，
恰如其分地选用。
解决一些较复杂的问题时，
我们可以先从问题出发，
利用分析法
探索所要
找的条件，
当这种分析推理遇到困难时，
再从已知条件出发，<
/p>
用综合法推理，看看能否推出这个条件。我们把这种将“综合法”和
“分析法”结合起来分析问题的方法称作“中间会师”
。
<
/p>
【例题】甲、乙两块棉田，平均亩产棉花
92.5
千克，甲棉田是
5
亩，平均
亩产棉花
101.5
千克，乙棉田平均亩产棉花
85
千克，乙
棉田有什么亩？
思考途径：想到用“分析法”来思考，从问题想起。要求乙棉田
有多少亩，
需要知道乙棉田的产量比按平均亩产计算的产量少的千克
数，
还要知道乙棉田的亩产量比平均亩产少的千克数，
而要
求乙棉田
的亩产量少的千克数，
需要知道两块棉田的平均亩产量
（题中直接提
供是
92.5
千克）
，还需知道乙棉田的亩产量（题中直接提供为
85
千
克）
。要求乙棉田的产量比按
平均亩产量计算的产量少的千克数，即
甲棉田的产量比按平均亩产计算的产量多的千克量
，
需要知道甲棉田
的质量比按平均计算产量多的千克数。
根据分析得出下面的解答：
[
（
101.5-92.5
）×
5]
÷（
92.5-85
）
=[9
×
5]
÷
7.5
=45
÷
7.5
=6(
亩
)
所以，乙棉田有
6
亩。
【习题
1
】雪容读一本科技书，第一天读了全书的<
/p>
，第二天读了全
书的
37.5%
，第三天从第
69
页开始读，第三天要读多少页
，才能把
这本书读完？
思考途径：想到用“分析法”的思路来探究。从问题想起，要求
的问题
是：
“第三天要读多少页才能把书读完？”现在已经知道前两
天
一共读了
68
页（因为第三天是从
69
页开始读的）
，只要先求出这
1
3
本书一共有多少页，
就能求出要求的问题。
根据
“已知一个数的几分
之几是多少，求这个数，用除法”的思路去想问题。已经前两天读了
68<
/p>
页，因此，只要知道前两天所读页数占全书页数的几分之几（或
1
7
，这是第
24
17
< br>一天和第二天所读页数占全书页数的对应分率，用
68
÷
得
96
，就
2
4
百分之几）
，就可以求出第三天读的页数。用
+37.5%
得
1
3
是这本书的总页数。用
96-68
的
28
页，是第三天要读的页数。因此
得出下面解答
：
1.
分步列式解答：
（
1
）前两天读的数的页数占全书的几分之
几？
+37.
5%=
+
=
1
3
1
3
3
17
8
24
（
2
）全书共多少页？
68
÷
17
17
=68
×
< br>=96
（页）
24
24
< br>（
3
）第三天读了多少页？
96-68=28
（页）
2.
列综合算式解答：
1
3
17
=68÷
-68
24
68
÷
（
+37.5%
）
-68
=
96-68
=28
（页）
所以，第三天读了
28
页。
【习题
2
】快、中、慢三辆车从同一地点同时出发，沿同一条公路追
赶前面的同一个骑车人。这三辆车分别用
6
分钟、<
/p>
10
分钟、
12
分钟
追上骑车人。
现在知道快车每小
时行走
24
千米，
中午每小时行走
20
千米，那么，慢车每小时行走多少千米？
思考途径：
（分析）已知慢车用
12
分钟追上骑车人，要求慢车
每小时
行多少千米，
只需要知道慢车每小时行走多少千米，
只需要知<
/p>
道慢车在这段时间里所走的路程；
（分析）要求慢车从发车到追上
骑
车人所走的路程，
需要知道中车追上骑车人所走的路程，
和骑车人最
后
2
分
钟所走的路程；
（综合）已知中车每小时行
20
千米，用
10
分
钟追上骑车人
，
可以求出中车追上骑车人时所走的路程
（
20×
=
1
6
10
千
3
米）
。
（分析）要求骑车人最后
2
分钟
所走的路程，需要知道骑车人
的车速；
（分析）一直骑车人从被
快车追上到被中车追上相隔
4
分钟
（<
/p>
10-6=4
）
，要求骑车人的车速只需
要知道在这段时间内他所行的路
程；
（综合）已知快车每小时行
24
千米，可求出快车
6
分钟所行的
路程；
（综合）算出了中中车
10
分钟行的路程和快车
6
分钟行的路
程（
24×
6
12
，可以求出骑车人相继被快车和中车追上相隔
千米）
60
5
的
2
分钟内所行的路程。于是得出下面解答：
（
1
）快车
6
分钟行了多少米？
24×
6
12
<
/p>
（千米）
60
5
（
2
）中车
10
分钟走了多少千米？
20×
=
1
6
10
（千米）
3
（
3
）骑车人在
4
分钟内（
10-6=4
）走了多少
千米？
10
12
14
-
（千
米）
3
5
5
（
4
）骑车人每小时行多少千米？
14<
/p>
10
6
（
-
）
14
（千米）
5
60<
/p>
60
（
5
）从被
中车追上相隔的
2
分钟（
12
-
10
2
）在这段时间内，
他走了多少千米？
14
（<
/p>
12
10
17
-
）
（千米）
60
60
5
（
6
）慢车追上骑车人时，共走了多少千米？
10
7
19
（千米）
3
15
5
（<
/p>
7
）慢车的速度是每小时多少千米？
19
12
19
（千米）
5
60
综合算式：
10
6
10
6
12
10
10
12
（
20
-
24
）
（
-
）
（
-
）
< br>20
60
60
60
60
6
60
60
6
14
1
1
10
1
<
/p>
15
15
30
3
5
1
10
1
30
< br>3
5
=
=
14
=
19
1
5
5
=
19
（千米）
所以，
。慢车每小时行
19
千米。
课时二：列举法
当题目所给的条件或所求的问题比较多时，我们可以考虑按<
/p>
一定的步骤顺序或分成有限的类别，把每一个对象逐一地排列起来，
然后再进行分析，这种解题的方法叫做“列举法”
。
列举法往往采取列表的形式，
把题目中所涉及的数量关系一一列
举出来，做到一目了然，然后再进行观察、比较、分析，这样，能很
快的把题目解答出来。
有时把题目中的已知条件进行整理，
分类排列，
对应地表示相应的情况，
也可根
据题目要求，
把可能答案一一列举出
来，
再进一步根据题目的条件逐步排除非解，
或缩小范围，
进而筛
选
出题目的答案。
【例题】营业员有
2
分和
5
分两
种硬币，他要找给客户
5
角钱，
有几种
找零的方法？写出找零的方法。
思考途径：
< br>分析数量关系，
如果用凑数的方法，
想好一种方法就
写一个，很容易出现遗漏或重复现象。想到遵循一定的顺序，先排
5
分的，再排
2
分的，就比较科学。因此
，为了不出现遗漏或重复，用
“列举法”求解。可以很快的得出几种不同的找法。如下表
所示：
方法
1
2
3
4
5
6
5
分币（个）
10
8
6
4
2
0
2
分币（个）
0
5
10
15
20
25
从上表中，可以清楚地看出有
6
中不同的找零方法。
【习题
1
】一个数是
5
个
2
、
3
个
3
、
2
个
5
、
1
个
7
的连
乘积，
这个数当然约数是两位数，在这些两位数约数中，最大的是几？
< br>
思考途径：
从条件中想到要
求的这两个数等于
99
，或小于
99.
由于
99
（
99=11
×
3
×
3
）
的质因数有
< br>11
，所以不是已知数的约数；
98
（
98=7
×
7
< br>×
2
）
，所以它不是所求的两位
数的约数；
97
是质数，不是
已知数的
约数。
96
（
96=
< br>3
2
5
）是这个数的最大两位数的约数。
【习题
< br>2
】一直蟋蟀有
6
只脚，蜘蛛有
8
只脚，一个盒子里的蟋
蟀与蜘蛛共有
46
只脚。
那么，
这个盒子里的蟋蟀与蜘蛛个有多少只？
思考途径：从条件
想起：用“列举法”来思考：由于蟋蟀与蜘蛛
共有
46
只脚，所以蜘蛛的只数不能超过
5
只，因为有<
/p>
6
只蜘蛛就应
该有
48
只脚（
8
×
6=48
）
。
< br>如果有
1
只蟋蟀，应有
8
只脚（
8
×
1=8<
/p>
）
,46-8=38
，
< br>“
38
÷
6
”不
能整除（不符合题意）
。
<
/p>
如果有
2
只蜘蛛，
应有
16
只脚
（
8
×
2=16
）
< br>，
46-16=30
，
“
30
÷
6=5
”
，
应有
5
只蟋蟀（
符合题意）
如果有
3
只蟋蟀，应有
24
只蟋蟀，
（
8
×
3=24
）
,46-24=22
，
“
22
÷
6
”不能整除（不
符合题意）
如果有
4
只蟋蟀，应有
32
只蟋蟀，
（
8
×
4=32
）
,46-32=14
，
“
14
÷
6
”不能整除（不
符合题意）
如果有
5
只蟋蟀，应有
40
只蟋蟀，
（
8
×
5=40
）
,46-40=6
，
“
6
÷
6=1
”
，有
1
只蟋蟀（符合题意）
从列举的几种解答方案中，可以得出下面的两种答案：
（
1
）
5
只蜘蛛和
1
只蟋蟀。
<
/p>
（
2
）
2
只蜘蛛和
5
只蟋蟀。
课时三：归纳递推法
归纳推理或称归纳法，
是从特殊到一般的推理方法，
归纳法一
般分为不完全归纳法和完全归纳法两类。
不完全归纳法。
从事物的一个或几
个特殊情况作出一般结论的
推理的方法叫不完全归纳法。比如，从
30
40
40
30
,
25
4
4
25
等几
个特殊算式，得出乘法交换律，从
3
4
9
15
3
4
1
,
,
等几个特殊分
12
20
4
16
4
数相等的情况，
得出分数的基本性质，
都是利用了不完全归纳
法。
用
不完全归纳法得出的结论，有时是正确的，有时是错误的
。比如
63
能被
3
整除，
243
能被
3
整除，
363
能被
3
整除这三个特殊情况，得
出“个位上是
3
的数都是能被
3
整除”的结论，就是错误的
，所以用
不完全归纳法得出的结论，
还必须用其他方法进行证明
，
不能肯定是
正确的。
尽管用不完全归
纳法得出的结论不一定正确，
但是它能为人
们探索真理、
发现规律提出设想和提供线索，
因此，
这种方
法在科学
研究中仍有重要价值。
完全
归纳法，针对列举对象的一切特殊情况，进行一一考察后，
得出关于全部对象的一般结论
的推理方法叫完全归纳法。
由于完全归
纳法考虑了全部对象的一
切情况，
所以，
它的结论一定是正确的。
但
这种方法只适用于所考察对象比较少的情况，
如果所考察的
对象很多
时，用这种方法就比较繁复，甚至不能应用。
某些与自然数有关问题的解答，常要依据自然数有小到大的顺
序，
列出的问题的几个特殊情况进行试探，
并逐一观察、
分析、
比较，
找出它们之间的关系，
< br>特别是其中的递推关系，
由此归纳出一般性的
规律，
然后再根据发现的规律求出问题答案。
这
种解法我们称为
“归
纳递推法”
。
【例题】
若干个同样的盒子排成一排，<
/p>
小明把五十多个棋子分装
在盒中，
其中只
有一个盒子没有装棋子。
然后他外出了。
小光从每个
棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，
再把盒子重新排一下。
小明
回来仔细检查一番，
他认为没有人动过这些棋
子和盒子。
问共有多少
个盒子？
思考途径
:
根据题意可进行如下推理：小光
从每个盒子各拿一个
棋子放在空盒子里，
而小明却认为没有人动
过这些盒子和棋子。
由此
可见现在又出现一个空盒子，这个空盒
子里是原来装一个棋子的盒
子。显然，经小光的操作后，原来是装
2
个棋子的盒子，现在变成装
一个棋子的盒子，
原来装有
3
个棋子的盒子，
现在变成装
2
个棋子的
盒子，
同理，
原来装
4
个棋子
的盒子，
现在变成
3
个棋子的盒子
......
以此类推，
小明原来在各个盒
子里装的棋子从少到多，
依次的情况是：
0,1,2,3
，
4,5......
根据这个规律，我们试着算它们的和。
试算是如下：
0
1
2
3
......
< br>
9
45
......(
1
)
0
1
2
3
......
9
10
55
....
..(
2
)
0
1
2
<
/p>
3
......
9
10
11
66
......(
3
)
题中指明棋子总数有
“五十几个”
，
< br>所以第
（
2
）
< br>种情况符合题意，
即
11
个盒子
，应是本题的解。
课时四：类比法
“类比法”又叫“类
比推理”
，是根据两个对象有一部分属性相
类似，
从而推出这两个对象的其他属性也相类似的思维过程。
它是一
种从特殊到特殊的推理方法。
比如，
由两位数加两位数
的法则推出多
位数加法的法则，就是应用了类比推理。
类比推理不是证明，
由类比推理得出结论，
只
能作为猜想或假设，
它的真实性还要用其它方法论证。但是类比推理和不完全归纳一样，
可以为探索真理提供线索，
也是进行科学研究的一种重要方法。
例如，
人们从锯齿草得到启发，进行类比，发明了锯子。
【例题】一个两位数，十位数与个位数的和是
9
，把十位数字与
个位数字交换位置后所得的数与原来数的比
是
5:6
，求原数？
思考途径：
根据题目的结构特征，
类比联想已求过的熟
悉的题型：
“已知两个数的和与两数的比，求这两个数”
。这道
题没有提供两个
数的和的条件，
但已知原两位数的十位数与个位
数的和是
“
9
”
，
由此，
可知
ab
< br>与
ba
的和为
99
，根据两个数的和与两个数的比，可以求出这
两个数，得出下式：
9
(
10
1
)
< br>
9
11
54
6
11
6
5
6
所以，原数是
54.
【习题
1
】
简为
？
1
3
1
的分子、分母同时加上一个什么数以后，分数可以约
13