小学奥数思维训练-最值问题二通用版
-
2014
年六年级数学思维训练：最值问题二
1
．用
0
，
1
，
2
，„，
9
这
10
个数字各一次组成
5
个两位数
a
、
< br>b
、
c
、
d
、
e
．请问：
a
﹣
b+c
﹣
d+e
最大可能是多少？
2
．将
135
个人分成若干小组，要求任意两
个组的人数都不同，最多可以分成多少组？
这时，人数最少的那组有多少人？
3
．有
11
个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那
么他们最少需要比赛多少场？
4
．
我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如
8=3+5
< br>．有的数有几种
不同的表示方法，例如
100=3+97
=11+89=17+83
．请问：恰好有两种表示方法的最小数
是多少？
5
．一个三位数除以它的
各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？
6
．
（
1
）在分母是一位数
的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？
（
2
）从
1
至
9
中选取四个不同的数字填人算式
+
中，使算式的结果小于
1
．这个
< br>结果最大是多少？
7
．如图，
等腰直角三角形
ABC
中，
CA=CB
=4
厘米，在其中作一个矩形
CDEF
，矩形
CDEF
的面积最大可能是多少？
8
．如图，从一个长方形的两个
角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形
的边长恰好为
1
、
2
、
3
、
4
、
5<
/p>
、
6
、
7
、
8
这
8
个数，它的面积最大可能是多少？
9
．
在
4×4
的方格表中将一些方格染成黑色，
使得任意两个黑格都没有公共顶点，
请问：
最多可以将多少个方格染成黑色？
10
．
古希腊有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．
他精通数学、
物理，
聪慧过人．
有一天，
一位将军向他请教一个问
题：如图
16
﹣
3
，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，
然后再回到乙地的马棚，为了使走的路
线最短，应该让马在什么地方饮水？
11
．
如图
所示，
用一根长
80
厘米的铁丝焊接成
一个棱长都是整数厘米的长方体框架．
这
个长方体的体积最大可
能是多少？
12
．把
14
表示成几个自然数（
可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：
这个乘积最大可能是多少？
13
．从
1
，
2
，„中选出
8<
/p>
个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出
这个结
果．
口÷口×（口
+
口）﹣（口×口
+
口﹣口）
．
14
．
有<
/p>
13
个不同的自然数，
它们的和是
100
．
其中偶数最多有多少个？最少有多少
个？
15
．将
6
、
7
、
8
、
9
、
10<
/p>
这
5
个数按任意次序写在一圆周上，将每
相邻两数相乘，再把
所得的
5
个乘积相
加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
16<
/p>
．有
5
袋糖块，其中任意
3
袋的总块数都超过
60
．这
5
袋糖块总共最少有多少块？
17
．
已知算式
99
84
﹣
8
﹣
8
﹣„﹣
8
的结果是一个各位数字互不相
同的数，
这个结果最大
可能是多少？
18
．用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
各一次组成
3
个三位数，使得它们都是
9
< br>的倍数，
并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．
<
/p>
19
．所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多
少？
20
．把
1
至
99
依次写成一排，形成一个多
位数：
从中划去
99
个数字，剩
下的数字组成一个首位不是
0
的多位数，
请问：
剩下的数最大可能是多少？最小可能是
多少？
21
．邮递员送信件的街道
如图所示，每一小段街道长
1
千米．如果邮递员从邮局出发，<
/p>
必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
22
．如
图，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的
A
点出发
，沿柜子表面爬
到右上角的
B
点去取食
物，
蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请
在图中表示出来．
23
．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+
”尚能使用，
因此可以输入
77
，
707
这样只含数字
7
和
0
的数，并且能进行加法运算．为了显示出
222222
，最少要按“7”键多少次？
24
．
用
1
、
3
、
5
、
7
、
9
< br>这
5
个数字组成一个三位数
和一
个两位数
，
再用
0
、
2
、
4
、
6
、
8
这<
/p>
5
个数字组成一个三位数
和一个两位数<
/p>
．
请问：
算式
×
﹣
×
的计算结果最大是多少？
25
．将
1
、
2
、
3
、
4
、
5
< br>、
6
分别填在正方体的
6
个面上，计算具有公共棱的两个面上的
数的乘积，这样的乘积共有
12
个，这
12
个
乘积的和最大是多少？
26
．用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
< br>7
、
8
、
9
这
9
个数字各一次，组成一个被减
数、减数、差都
是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？
27
．有的偶数可以写成两个奇合数之和，例
如
24=9+15
，
100=25+7
5
．所有不能表示为
两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多
少？
28
．如图，有一个圆锥形沙堆
的底面直径
BC
为
4
< br>厘米，圆锥的侧面展开圆心角为
120
度，母线
AC
的长度为
6
厘米．
请问：
（
1
）
如果一只蚂蚁想从
B
点去
C
点，
最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路
线
（蚂
蚁只能在圆锥表面走）
；
（
2
）如果一只蚂
蚁需要由
B
点出发到达线段
AC
上（可以到其上的任意一点）
，那么最
短路线
应该怎么走？
< br>29
．如图，一个边长为
10
的
正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无
盖长方体，那么所得的长方体容
积最大是多少？
30
．一个
5×5
的方格表中
，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的
数都构成等差数列．已知任取
n
个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表
补填完整，那么，
n
的最小值是多少？
参考答案
1
．
195.
【解析】
试题分析：要使
a
﹣
b+c
﹣
d+e
最大，应使
a
、<
/p>
c
、
e
的值尽量
大，使
b
、
d
的值尽量小；所以
取
a=98
，
b=76
，
c=54
，剩下的
4
个数字是：
0
、
1
、
2
< br>、
3
，可以取
b=10
，
d=23
，据此解答即
可．
解：要使
a
< br>﹣
b+c
﹣
d+e
最大，应使
a
、
c
、
e
的值尽量大，使
b
、
d
的值尽量小；
所以取
a=98
，
b=76
，
c=54
，
剩下的
4
个数字
是：
0
、
1
、
2
、
3
，可以
取
b=10
，
d=23
，
即
a
﹣
b+c
﹣
d+e
最大值
=98
﹣
10+76<
/p>
﹣
23+54=195
．
答：
a
﹣
< br>b+c
﹣
d+e
最大可能是
195
．
点评：
此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是首先根据题意，求出
a
、
b
、
c
< br>、
d
、
e
的值是多少．
2
．
15
个；
1
人．
【解析】
试题分析：因
为至多就是每个组人数尽量少，1+2+3+4+4+„15=120，而
135
﹣
120=15
，所以
这
15
人再每个小组分给
1
人，最后一个小组分
2
人，即第一组
1
人，第二组
3
人，第三
组
4
人，第五组
5
人„第
15
组
17
人，由此得出至多可以分成
15
个组，人数最少的那组
有
1
人．
解
：因为
1+2+3+4+5+„15=120，而
135
﹣
120=15
所
以
1+3+4+4+5+6+7+„+17=135
所以至多可以分成
15
个组．人数最少的那组有
1
人．
答：
至多可以分成
15
个组．人数最少的那组有
1
人．
点评：
< br>关键是明确至多可以分成多少个组就是每个组人数尽量少，
所以应该从一个组一个
人
开始试着进行推算．
3
．
55
场．
【解析】
试题分析：
11
个队进行单循环比赛，每两个队要赛一场，即每人队都要和自己以外的其它
11
﹣
1=10
个队赛一场，则所有队共参赛
11×10=110
场，由于比
赛是在两队之间进行的，所
以一共要比赛
110÷2=55
场．
解：11×（
11
﹣
1
）÷2
=11×10÷2
=55
（场）
答：共需比赛
55
场．
点评：在单循环比赛中，比赛场数
=
（参赛队数﹣
1
）×队数÷2．
< br>4
．
16=3+13=5+11
．
【解析】
试题分析：根据质数、合数的意义，一个数，如果只有
1
和它
本身两个因数，这样的数叫做
质数（或素数）
；一个数如果除了
1
和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．以此解答
解：最小的合数是
4
，不符合题意，
6
，
8
，
9
，
10
，
12
，
14
，
15
，都不符合题意，
<
/p>
比
15
大的合数是
16
，
16=3+13=5+11
；
故答案为：
16=3+13=5+1
1
．
点评：本题考查的是质数与合数
，解答此题的关键是熟知质数、合数的定义．
5
．商最大是
100
，商最小是
1
．
【解析】
试题分析：设这个三位数为
abc=100a+10b+c
，这个三位数除以它的各位数字
之和，可得
（
100a+10b+c
）
÷（
a+b+c
）
=[
（
10a+10b+10c
）
+
（
90a
﹣
9c
）
]
÷（
a+b+c
）
=10+9
（
10a
﹣
c
）
÷（
a+b+c
）
；
（
1
）
要使商最大，
那么被除数应最大，
除数应最小，
可得
c=0
，
b=0
，
此时商的最大值为
100
；
（
2
）要使商最小，那么被除数应最小，除数应最大，可得
a=b=0
，
c=9
，此时商的最小值为
1
．
解：设这个三位数为<
/p>
abc=100a+10b+C
，
可得（
100a+10b+c
）÷（
a+b+c
）
=[
（
10a+10b+10c
）
+
（
90a
﹣
9c
）
]
÷（
a+b+c
）
=10+9
（
10a
﹣
c
）÷（
< br>a+b+c
）
；
（
1
）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小
，可得
c=0
，
b=0
，
此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10
+90=100；
（
2
）要使商最小，可得
a=b=0
，
< br>c=9
，
此时商的最小值为：
10+9×（10×0﹣
9
）÷（
0+
0+9
）
=10
﹣
9=1
．
答：商最大是
100
，商最小是
1
．
点评：
此题主要考查了最大与最小问
题，
解答此题的关键是设这个三位数为
abc=100a+10
b+c
，
并求出这个三位数除以它的各位数字之和等于
10+9
（
10a
﹣<
/p>
c
）÷（
a+b+c
）
．
6
．
；
．
【解析】
试题分析：
（
1
）要相差最小，必须分子最小，分母最大，那么分
母最大就是
8
和
9
，分子最
小就是
1
（
2
）组成的最小的一个分数是
，剩余数组成的最大的分数是
，据此解答即可．结果最大
是
+
=
解：
（
1
）
﹣
=
（
2
）
+
=
答：两个不相等的分数最小相差
；结果最大是
．
点评：此题主要考查两个数的和与差，一定要综合分析题目中的条件
．
7
．
4<
/p>
平方厘米．
【解析】
试题分析：矩形
CDEF
的面积最大，就是矩形变为正方形时，面积最大．即
D
点在
CB
边的中
点；
F
点在
AC
边的中点．此正方形的边长是
2
厘米，面积是
4
平方厘米．
解：当
D
、
E
、
F
分别是各边的中点时，矩形变为边长是
< br>2
厘米的正方形，面积最大．
2×2=4（平方厘米）
．
答：矩形
CDEF
的面积最大可能是
4
平方厘米．
点评：本
题考查了在等腰直角三角形内作最大的矩形的知识．以及面积的求法．
8
．
70
．
< br>
【解析】
试题分析：要使这
个八边形的面积最大，挖去的两个小长方形应尽量小，如图所示数字，可
以保证这个八边
形的面积最大，
用原来长方形的面积减去挖去的两个小长方形即可．
据此解
答．
解：被挖掉的两个小长方形的面积和为：
2×3+1×4
=6+4
=10
原来一个长方形的面积为：
8×（<
/p>
7+3
）
=8×10
=80
这个八边形的面积为：
80
﹣
10=70
答：它
的面积最大可能是
70
．
点评：此题属于最值问题，关键在于先确定出挖去的两个小长方形的边长，即可解决问题．
9
．
4
个
【解析】
试题分析：可以分两种情况讨论，即：先确定第一行分含有一个或两个黑格，依次到第四行
画图表示即可．
解：第一行可染黑
1
格或
2
格，
染
1
格时，相邻行只能
染
1
格，
染
2
格时，相邻行只能染
0
格，
可见，相邻两行最多共染
2
个，则在
4×4
的方格表中最多
可以将
4
个方格染成黑色；下图
为例：
点评：本题关键是要理解第一行可
染黑
1
格或
2
格这两种情况分类研究．
10
．饮马
处的
C
点如图所示．