小学奥数基础教程附练习题和答案三年级讲全册版
-
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
第
19
讲
<
/p>
能被
3
整除的数的特征
< br>
上一讲我们讲了能被
2
，
5
整除的数的
特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是
否能被
2
或
5
整除。
同学们
自然会问，
有没有类似的简便方法，
直接判断一个数能否被
3
整除？
我们先具体观察一些能被
3
整除的整数：
<
/p>
18
，
345
，
4737
，
25674
18
能被
3
整除，
1+8=9
< br>也能被
3
整除；
345
能被
3
整除，
3+4+5=9
也能被
3
整除；
4737
能被
3
整除，
4+
7+3+7=21
也能被
3
整除；
25674
能被
3
整除，
2+5+6+7+4=24
也能被
3
整
除。
怎么这么巧？我们再试一个：
7896852
< br>能被
3
整除，
7+8+9+6+
8+5+2=45
也能被
3
整除。
好
了，不用再试了，同学们可能已经在想：
“是不是所有能被
3
整除的数的各位数字的和都能被
3
整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体
的数来说明一般性
的证明方法。
由
99
和<
/p>
9
都能被
3
整除
，
推知
(7
×
99+4
×
9)
能被
< br>3
整除。
再由
741
能被
3
整除，
推知
(7+4+1)
能被
3
整除；反之，由
(7+4+1)
能被
3
整除，推知
741
能被
3
整除。
因此，判断一个整数能否被
3
整除的简便方法是：
如果整数的各位数字之和能被
3
整除，
那么此整数能被
3
< br>整除。
如果整数的各位数字之和
不能被
< br>3
整除，那么此整数不能被
3
整
除。
例
1
判
断下列各数是否能被
3
整除：
2574
，
38974
，
587931
。
解：
因为
2+5+7+4=18
，
18
< br>能被
3
整除，所以
2574
能被
3
整除；
因为
3+
8+9+7+4=31
，
31
不能被<
/p>
3
整除，所以
38974
不能被
3
整除；
因为
5+
8+7+9+3+1=33
，
33
能被
3
整除，所以
587931
能被
3
整除。
为了今后使用方便，
我们介绍一个表示多位数的方法。
当一个多位数中有一个或几个数字
用字母来表示时，
为防止理解错误，
就在这个多
位数的上面划一线段来表示这个多位数。
例如，
表示这个三位数
的百、十、个位依次是
3
，
a
，
5
；又如，
十、个位
依次是
a
，
b
，
c
，
d
。<
/p>
例
2
六位数<
/p>
能被
3
整除，数字
a=
？
表示这个四位数的千、百、
解：
2+5+7+a+3+8=25+a
，要使
25+a
能被
3
整除，数字
a
只能是
2
，
5
或
8
。即符合题意的
a
是
2
，
5
或
8
。
例
3
由
1
，
3
，
5
，
7
< br>这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被
3
整除？
解：
在
1
，
3
，
5
，
7
这四个数中，任取三个，共有<
/p>
4
组：
1
，
3
，
5
；
1
，
3
，
7
；
1
，
5
< br>，
7
；
3
，
5
，
7
。
其中，
1+3+5
和
3+5+7
能被
3
整除，所以，由
1
，
3
，
5
或
3
，
5
，
7
写成的没有重复数字的三位数能被
3
整除。由
1
，<
/p>
3
，
5
可写成<
/p>
135
，
153
，
315
，
351
，
513
，
531
六个三位数；同理，由
3
，
5
，
7
也能写成
6
个三位数。
所以，符合题意的三位数有
6
×
2=12(
个
)<
/p>
。
例
4
被
2
，
3
，
5
除余
1
且不等于
1
的最小整数是
几？
解：
除
1
以外，被
2
除余
1
的所有整数是
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，…，
27
，
29
，
31
，
33
，…
被
3
除余
1
的所有整数是
4
，
7
，
10
，<
/p>
13
，
16
，<
/p>
19
，
22
，<
/p>
25
，
28
，<
/p>
31
，…
被
5
除余<
/p>
1
的所有整数是
6
，
11
，
16
，
21
，
26
，
31
，
36
，…<
/p>
上面三列数中，第一个同时出现的数是
31
，
所以
31
是同时满足被
2
，
3
，
5
< br>除均余
1
且不
等于
1
的最小数。
例
4
中使用的方法是解这类题型的基本方法，但不够简捷。一个较简捷的方
法是：
因为
5
大于
2
和
3
，所以先从被
5
< br>除余
1
的数
1
，
6
，
11
，
16
，
21
，
26
，
31
，
36
，…
中找出第一个
(1
< br>除外
)
同时满足被
2
和
3
除都余
1
的数
31
，就为所求。
到五年级学了更多的知识后，还可
直接由
2
×
3
×
5+1=31
得到所求数。
例
5
同时能被
2
，
3
，
5
整除的最小三位数是几？
解：
能被
5
整除的三位数是
100
，
105
，
110
，
115
，
120
< br>，
125
，…其中，第一个能同时被
2
，
3
整除的数是
120(
它是偶
数，且
1+2
+0=3)
，故
120
为所求。
练习
19
1.
直接
判断
25874
和
978651
能否被
3
整除。
3.
由<
/p>
2
，
3
，
4
，
5
这四个数字写
成的没有重复数字的三位数中，有几个能被
3
整除？
4.
(1)
被
2
，
3
除余
1
且不等于
1
的最小整数是几？
(2)
被
3
，
5
除余
2
且不等于
2
的最小整数是几？
5.
同时能被
2
，
3
，
5
整除的最小自然数是几？
6.
同时能被
2
，
3
，
5
整除的最大三位数是几？
7.
一根铁丝长
125
厘米，要把它剪成长
2
厘米
、
3
厘米、
5
厘米的三种不同规格的小段。
最多能剪成多少段？
答案与提示
练习
19
1.
不能；能。
2.a=0
，
3
，
6
，
9
。
3.12
个。
4.
(1
)
7
；
(2)
17
。
5.30
。
6.990
。
7.60
段。
提示：
要使剪成尽量多的小段，
2
厘米长的应尽量多。因为三种规格都
要有，
125
为奇数，
剪去若干个
2
厘米长的小段后，剩下的长度仍是奇数，所以
3
厘米、
5
厘米长的至少要
3
段，
125=114
＋
3
＋
3
＋
5=2
×
57
＋
3
×
2
＋<
/p>
5
×
1
，
所以
2
厘米的剪
57
段，
3
厘米的剪
2
段，
5
厘米的剪
< br>1
段，此时剪成的小段最多，为
57
＋<
/p>
2
＋
1=60(
段
)
。
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
第
2
讲
横式数字谜
(
一
)
在一个数学式子
< br>(
横式或竖式
)
中擦去部分数字
，
或用字母、
文字来代替部分数字的不完整
的算式或竖式，
叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些
被擦去的数或用字母、
文字代替的
数的数值。
< br>
例如，求算式
324+
□
=528
中□
所代表的数。
< br>根据“加数
=
和
-
另一个加数”知，
<
/p>
□
=582-324
＝
< br>258
。
又如，求右竖式中字母
A
，
B
所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，
所以，由
12-B
＝
5
知，
B
＝
12-5
＝
7
；由
A-1
＝
3
知，
A
＝
3
＋
1
＝
4
。
解数字谜问题既能增强数字运用能
力，
又能加深对运算的理解，
还是培养和提高分析问题
能力的有效方法。
这一讲介绍简单的算式
(
横式
)
数字谜的解法。
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：
(1)
一个加数
+
另一个加数
=
和；
(2
)
被减数
-
减数
=
差；
(3)
被乘数×乘数
=
积；
(4)
被除数÷除数
=
商
。
由它们推演还可以得到以下运算规则：
由
(1)
，得
和
-
一个加数
=
另一个加数；
其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，
8
可用加法拆分为
8
＝
0
＋
8
＝
1
＋
7
＝
2
＋
6
＝
3
< br>＋
5
＝
4
＋
4
；
24
可用乘法拆分为
24
＝<
/p>
1
×
24=2
×
12
＝
3
×<
/p>
8
＝
4
×
6(
两个数之积
)
=1
×
2<
/p>
×
12
＝
2
×
2
×
6=
…
(
三个数之积
)
=1
×<
/p>
2
×
2
×
6
＝
2
×
2
×
2
×
3=
…
(
四个数之积
)
例
1
下列算式中，□，○，△，☆，
*
各代表什么数？
(1)
□
+
5
＝
13-6
；
(2)
28-
○＝
15
＋
7
；
< br>
(3)
3
×△
=54
；
(4)
☆÷
3
＝
87
；
(5)
56
÷
*
＝
7
。
解：
(1)
由加法运算规则知，□
=13-6-5
＝
2
；
(2)
由减法运算规则知，○＝
28-(15
＋
7)
＝
6
；
(3)
由乘法运算规则知，△＝
54
÷
3
＝
18
；
(4)
由除法运算规则知，☆
=87
×
3
＝
261
；
(5)
由除法运算规则知，
*<
/p>
＝
56
÷
7
＝
8
。
例
2
下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？
(1)
□
+
□
+
□
=48
；
(2)
○＋○＋
6
＝
21-
○；
(3)
5
×△
-18
÷
6
＝
12
；
(4)
6
×
3-45
÷☆＝
13
。
解：
(1)
□表示一个数，根据乘法的
意义知，
□
+
□
+
□
=
□×
3
，<
/p>
故□
=48
÷
3
＝
16
。
(2)<
/p>
先把左端
(
○＋○＋
6)
看成一个数，就有
(
○＋○＋
6)
＋○＝
21
，
○×
3
＝
21-6
，
○＝
15
÷
3
＝
5
。
(3)
把
5
×△，
18
÷
6
分别看成一个数，得到
5
×△<
/p>
=12
＋
18
÷
6
，
5
×△
=1
5
，
<
/p>
△
=15
÷
5<
/p>
＝
3
。
(4)
把
6
×
3
，
45
÷☆分别看
成一个数，得到
45
÷☆＝
6
×
3-13
，
45
÷☆＝
5
，
<
/p>
☆＝
45
÷
5<
/p>
＝
9
。
例
3(1)
满足
58
＜
12
×□＜
71
的整数□等于几？
(2)
180
是由哪四个不同的且大于
1
的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在
下式的□里。
180=
□×□×□×□。
(3)
若数□，△满足
□×△
=
48
和□÷△
=3
，
< br>
则□，△各等于多少？
分析与解：<
/p>
(1)
因为
58<
/p>
÷
12
＝
4
……
10
，
71<
/p>
÷
12
＝
5
……
11
，
并且□为整数，所以，只有□
=5
才满足原式。
(2)
拆分
180
为四个整数的乘积
有很多种方法，如
180
＝
1
×
4
×
5
×
< br>90
＝
1
×
2
×
3
×
30
＝…
但拆分成四个“大于
1
”的数字的乘积
，范围就缩小了，如
180
＝
2
×
2
×
5
×
9
＝
2
×
3
×
5
×
6
＝…
若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围又缩小了。按从小到大的次序排列只有
下面一种：
180
＝
2
×
3
×
5
×
6
。
所以填的四个数字依次为
2
，
3
，
5
，
6
。
< br>
(3)
首先，由□÷△
=3<
/p>
知，□＞△，因此，在把
48
拆分为两数
的乘积时，有
< br>48
＝
48
×
< br>1
＝
24
×
2
＝
16
×
3
＝
12
×
4
＝
8
×
6<
/p>
，
其中，只有
48
＝
1
2
×
4
中，
1
2
÷
4=3
，因此
□
=12
，△
=4
。
这道题还可以这样
解：
由□÷△
=3<
/p>
知，□
=
△×
3
。把□×△
=48
中的□换成△×
3
，就有
(
△×
3)
×△＝
48
，
于是得到△×△
< br>=48
÷
3
＝
< br>16
。因为
16
＝
4
×
4
，所以△
=4
。再把□
=
△×
3
中的△换成
4
，
就有
<
/p>
□
=
△×
3=4
×
3=12
。
这是一种“代换”的思想，它在今
后的数学学习中应用十分广泛。
下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。
例
4
在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：
(1)
4 4 4
4
＝
24
；
(2)
5 5 5 5
5=6
。
解：
(1)
因为
4
＋
4
＋
4
＋
4
＜
24
，所以必须填一个“×”。<
/p>
4
×
4
＝
16
，剩下的两个
4
只需凑成
8
，
因此，有如下一些填法：
4
×
4
＋
4
＋
4
＝
24
；
4
＋
4
×
4
＋
4
＝
24
；
4
＋
4
＋
4
×
4
＝
24
。
(2)
因为
5+1=6
，等号左端有五个
5
，除一个
5
外，另外四个
5<
/p>
凑成
1
，至少要有一个“÷”，
有如下填法：
<
/p>
5
÷
5+5-5+5
＝
6
；
5
＋
5
÷
5
＋
5-5
＝
6
；
5
＋
5
×
5
÷
5
÷
5=6
；
5
＋
5
÷
5
< br>×
5
÷
5
＝
6
。
由
例
4
看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、
分析和试算得到的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。
例
5
在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：
8 2
3
＝
3 3
。
分析与解：
首先考察右端“
3
3
”，它有四种填法：
3+3
＝
6
；
3-3
＝
0
；
3
×
3
＝
9
；
3
÷
3=1
。
再考察左端“
8 2 3
”，因为只有
一个奇数
3
，所以要想得到奇数，
3<
/p>
的前面只能填“＋”
或“
-
”，要想得到偶数，
3
的前面只能填“×”。经试算
，只有两种符合题意的填法：
<
/p>
8-2
＋
3
＝<
/p>
3
×
3
；
8
÷
2-3
＝
3
÷
3
。
填运算符号可加深
对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。
练习
2
1.
在下列各式中，□分别代表什么
数？
□
+16
＝
35
；
47-
□
=12
< br>；
□
-3
＝
15
；
4
×□<
/p>
=36
；
□÷
4=15
；
84
÷□
=4
。
2.
在下
列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？
(
□
+35
0)
÷
3=200
；
< br> (54-
○
)
×
4
＝
0
；
< br>
360-
△×
7
＝
10
；
4
×
9-
☆÷
5=1
。
3.<
/p>
在下列各式中，□，○，△各代表什么数？
150-
□
-
□
=
□；
○×○＝○＋○；
△×
9
＋<
/p>
2
×△
=22
。
4.1
20
是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这四个数字按从小到大的次序填在
下式的□里：
120
＝□
×□×□×□。
5.
若数□，△同时满足
□×△
=
36
和□
-
△
=5
，
则□，△各等于多少？
6.
在两数中间添加运算符号，使下
列等式成立：
(1)
5 5 5 5
5
＝
3
；
(2)
1 2 3
4
＝
1
。
7.
在下
列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
12
□
4<
/p>
□
4=10
□
3
。
8.
在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式成立：
123
□
45
□
67
□
89
＝
100
；
123
□
45
□
67
□
8
□
9
＝
100
；
123
□
4
□
5
□
67
□
89
＝
100
；
123
□
4
□
5
□
6
□
7
□
8
□
9
＝
100
；
12
□
3<
/p>
□
4
□
5
□
67
□
8
□
9
＝
100
；
1
□
23
□
4
□
56
□
< br>7
□
8
□
9
＝
100
；
12
□
3
□
4
□<
/p>
5
□
6
□
7
□
89
＝
100
。
答案与提示
练习
2
1.
略。
2.
□
= 250
，○
=54
，△
= 50
，☆
=175
。
3.
□<
/p>
=50
，○
=0
或
2
，△
=
2
。
<
/p>
4.1
×
3
×<
/p>
5
×
8
或
1
×
4
×
5
×
6
或
2
×
3
×
4
×
5
。
5.
□<
/p>
=9
，△
=4
。
6.<
/p>
(1)
5-5
÷
5-5
÷
5= 3
；
< br>(2)
1
×
2
< br>＋
3-4=1
。
7.12
÷
4
＋
4=10-3
< br>或
12
＋
4
÷
4=10
＋
3
< br>。
8.123-45-67
＋
89
＝<
/p>
100
；
123
＋
45
－
67
＋
8
－
9
＝
100
；
123
＋
4
－
5
＋
67
－<
/p>
89
＝
100
；
123
－
4
－
5
－
6
－
7
＋
8
－
9
＝
100
；
12
＋<
/p>
3
－
4
＋
5
＋
67
＋
8
＋
9
＝
100
；
1
＋
23
－
4
＋
56
＋
7
＋
8
＋
9=100
；
12-3-
4
＋
5-6
＋
7
＋
89
＝
1
00
。
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
第
3
讲
竖式数字谜
(
一
)
这一讲主要讲加、减法竖式的数字
谜问题。解加、减法数字谜问题的基本功，在于掌握好
上一讲中介绍的运算规则
(1)(2)
及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的“拆分”
。
关键是通过综合观察、分析，找出解题的“突破口”。题目不同，分析的方法不同，其
“突破
口”也就不同。这需要通过不断的“学”和“练”，逐步积累知识和经验，总结提
高解题能力。
例
1
在右边
的竖式中，
A
，
B
，
C
，
D
各代表什么数字？
解：
显然，
C=5
，
D=1(
因
两个数
字之和只能进一位
)
。
由于
A<
/p>
＋
4
＋
1
即
A
＋
5
的个位数为
3
，且必进一位
(
因为
4
＞
3)
，所以
A
＋
5=13
，从而
A
＝
13-5=8
。
同理，由
7
＋
B
＋
1=12
，即
B
＋
8
＝
12
，得到
B
＝
12-8
＝
4
。
故所
求的
A=8
，
B=4
< br>，
C=5
，
D=1
。
例
2
求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：
分析与解：
(1)
由于和的个位数字是
9
，两个加数的个位数字之和不大于
9
＋
9
＝
18
，所以两个
加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是
< br>9
。
(
这是“突破口”
)
再由两个加数
的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是
14
。
故这两
个加数的四个数字之和是
9
＋
14=2
3
。
(2
)
由于和的最高两位数是
19
，
而任何两个一位数相加的和都不超过
18
，<
/p>
因此，
两个加数的个
位数相加后必进一位
。
(
这是“突破口”，与
(1)
不同
)
这样，两个加数的个位数字相加之和是
15
，
十位数字相加之和是
18
。
所求的两个加数的四个数字之和是
15
＋
18
＝
33
。
注意：
(1)(2)
两题虽然题型相同，但两题的“突破口”不同。
(1)
是从和的个位着手分析，
(2)
是从和的最高两位着手分析。<
/p>
例
3
在下面的竖式中，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
各代表什么数？
< br>
分析与解：
解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的
分析方法一样，所不同的是“减法”。
首先，从个位减起
(
因已知差的个位是
5)
。
4<
/p>
＜
5
，要使差的个位为
< br>5
，必须退位，于是，
由
14-
D
＝
5
知，
D
=14-5
＝
9
。
(
这是“突破口”
)
再考察十位数字相减：由
B-1-0
＜
9
知，也要在百位上退位，于是有<
/p>
10
＋
B-1-0
＝
9
，从而
B
＝
0
。
百位减法中，显然
E=9
。
千位减法中，由
10
＋
A-1
-3
＝
7
知，
A
＝
1
。
万位减法中，由
< br>9-1-C
＝
0
知，
C
＝
8
。
所以，
A
＝
1
，
B
＝
0
，
C
＝
8
，
D<
/p>
＝
9
，
E
＝
9
。
例
4
在下面
的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。请把这个文字式写
成符合题
意的数字式。
分析与解：例
3
是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差
是三位数知，“炮”＝
1
。
被减数与减数的百位数相同，其相
减又是退位相减，所以，“马”＝
9
。至此，我们已得
到下式：
由上式知，个位上的运算也是退位减法，由
< br>11-
“车”
=9
得到“车”＝
2
。
因此，符合题意的数字式为：
例
5
在右边
的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不同的数字，它们各等于多少？
解：
由
(4
×谜
)
的个位数是
0
知，“谜
”＝
0
或
5
。
当“谜
”＝
0
时，
(3
×式
)
的个位数是
0
，推知“式”＝
0
，与“谜”≠“式”矛盾。
当“谜”＝
5
时，个位向十位进
2
。
由
(3
×式
+2)
的个位数是
0
知，“式”＝
6
，且十位要向百位进
2
。
< br>
由
(2
×填
+2)
的个位数是
0
，且不能向千位进
2
知，“填”＝
4
。
最后推知，“巧”＝
1
。
所以“巧”＝
1
，“填”＝
4
，“式”
=6
，“谜”＝
5
。
练习
3
1.
在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成立：
2.
下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：
3.
在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
4.
下式中不同的汉字代表
1
～
9
中不同的数字，
相同的汉字代表相同的数字。这个竖式的
和是多少？
5.
在下
列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立：
答案与提示
练习
3
1.
(1)
764
＋
265=1029
；
(2)
98
1
＋
959=1940
；
(3)
99
＋
903<
/p>
＝
1002
；
(4)
98
＋
97
＋
923
＝
1118
。
< br>
2.
(1)
28
；
(2)
75
。
3.
(1)
23004-18501
＝
4503
；
(2)
1056-989
＝
67
；
(3)
24883-16789=80
94
；
(4)
9123-7684=1439
。
4.987654321
。
5.
提示
：先解上层数谜，再解下层数谜。
<
/p>
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
第
4
讲
竖式数字谜
(
二
)
本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、
除法的基本运算规则
(
第
2
讲的公式
(3)(4)
及推演出的变形式子
)
是解乘、
除法
竖
式谜的基础。根据题目结构形式，通过综合观察、分析，找出“突破口”是解题的关键。
例
1
在左下乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：
由于积的个位数是
5
，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是
5
，另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的
7
倍，
所以乘数是大于
7
的奇数，
即只能是
9(
这是问题的
“突破口”
)
，
被乘数的个位数是
5
。
因为
7<
/p>
×
9
＜
70
＜
8
×
9
，所以，被乘数的百位数字只能是
7
。至此，求
出被乘数是
785
，乘
数是
9(
见右上式
)
。
例
2
在右边乘法竖式的□里填入合适的数字，使竖式成立。
分析与解：
由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只
能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是
2
□，被乘数的最高位是<
/p>
3
，由
可以确定乘数的大致范围，乘数只
可能是
6
，
7
，
8
，
9
。到
底是哪一个呢？我们只能逐一
进行试算：
(1)
若乘数为
6
，则积的个位填
2
，并向十位进
4
，此时，乘数
6
与被乘数的十位上的数字相乘
之积的个位数只能是
5(
因
4+5=9)
。这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。这说明乘数不
能是
6
。
(2)
若乘数为
7
，则积的个位填
9
，并向十位进
4
。与
(1)
分析相同，为使积的十位是
9
，被乘数
的十位只能填
5
，从而积的百位填
4<
/p>
。得到符合题意的填法如右式。
(3)
若乘数为
8
，则积的个位填
6
，并向十位进
5
。为使积的十位是
9
，被乘数的十位只能填
3
或
8
。
当被乘数的十位填
3
时，
< br>得到符合题意的填法如右式。
当被乘数的十位填
8
时，
积的最高
两位为
3
，不合题意。
< br>(4)
若乘数为
9
，则积的个位
填
3
，并向十位进
6
< br>。为使积的十位是
9
，被乘数的十位只能填
7
。
而此时，积的最高两位是
3
，不合题意。
综上知，符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例
3
在左下边除法竖式的□中填入适当的数，使竖式成立。
分析与解：
由
48
÷
8=6
即
8
×
6=48
知，商的百位填
6
，且被除数的千位、百位分别填
4
，
8
。又
显然，被除
数的十位填
1
。由
1
□
=
商的个位×
8
知，两位数
1
□能被
8
除尽，只有
16
÷
8=2
，推知被除数的个位填
< br>6
，商的个位填
2
。填法
如右上式。
例
3<
/p>
是从最高位数入手分析而得出解的。
例
4
在右边除法竖式的□中填入合适的数字。使竖式成立。
分析与解：
从已知的几个数入手分析。
首先，
由于余数是
5
，推知除数＞
5
，且被除数个位填
5
。
由于商
4
时是除尽了的，所以，被除数的十
位应填
2
，且由于
3
< br>×
4=12
，
8
×
4=32
，推知，
除数必为
3
或
8
。由于
已经知道除数＞
5
，故除数
=8
。
(
这是关键！
)
从
8
×
4=32
知，被除数的百位应填
3
，且商的百位应填
0
。
从除
数为
8
，第一步除法又出现了
4
，
8
×
8=64
，
8
×
3=24<
/p>
，这说明商的千位只能填
8
或
3
。
试算知，
8
和
3
都可以。所以，此题有下面两种填法。
练习
4
1.
在下列各竖式的□里填上合适的
数：
2.
在右
式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时，乘法竖式成立？
3.
“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数
字，它
们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？
4.
在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式成立：
5.
在下式的□里填上合适的数。
答案与提示
练习
4
1.
(1)
7865
×
7
＝
55055
；
(2)
2379
×
8=
19032
或
7379
×
8=
59032
。
2.
“我”＝
5
，“爱”
=1
，“数”
=7
，“学”
=2
。
3.
“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表
8
，
7
，
9
，
1
，
2
。
4.
(1)
5607
×
7=801
；
(2)
822
÷
3=274
。
5.
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
第
5
讲
找规律
(
一
)
本教程共
30
讲
这一讲
我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，
(1)
1
，
2
，
3
，
4<
/p>
，
5
，
6
，…
(2)
1<
/p>
，
2
，
4
，
8
，
16
，
32
；
(3)
1
，
0
，
0
，
1<
/p>
，
0
，
0
，
1
，…
(4)
1
，
1
，
2
，
3<
/p>
，
5
，
8
，
13
。
一个数列中从左至右的第
n
个数，称为这个数列的第
n
< br>项。如，数列
(1)
的第
3
项是
3
，
数列
(2)
的第
3
项是
4
。一般地，我们将数列的第
n
项记作
a
n
。
数列中的数可
以是有限多个，如数列
(2)(4)
，也可以是无限多个，如数
列
(1)(3)
。
许多数列中的数是按一定规律排列
的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列
(1
)
是按照自然数从小到大的次序排列的，
也叫做自然数数列，<
/p>
其规律是：
后项
=
前项
+1
，或第
n
< br>项
a
n
＝
n
。
数列
(2)
的规律是：后项
=
前项×
2
，或第
n
项
数列
(3)
的规律是：“
1
，
0
< br>，
0
”周而复始地出现。
数列
(4
)
的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即
a
3
=1+1=2
，
a
4
=1+2=3
，
a
< br>5
=2+3
＝
5
，
a
6
=3+5=8
，
a
7
=5+8=13
。
常见的较简单的数列规律有这样几类：
第一类是数列各项只与它的项数有
关，或只与它的前一项有关。例如数列
(1)(2)
。
第二类是前后几
项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列
(3)(4)
。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些，
我们用后面
的例
3
、例<
/p>
4
来作一些说明。
例
1
找出下列各数列的规律，并按其规律在
(
)
内填上合适的数：
(1)
4
，
7
，
10
，
13
，
( )
，…
(2)
84
，
72
，
60
，
(
)
，
( )
；
(3)
2
，
6
，
18
，
(
)
，
(
)
，…
(4)
625
，
125
，
< br>25
，
(
)
，
( )
；
(5)
1
，
4
，
9
，
16
，
(
)
，…
(6)
2
，
6
，
1
2
，
20
，
(
)
，
(
)
，…
解：
通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现
(1)
的规律是：前项
+3=
后项。所以应填
16
。
(2
)
的规律是：前项
-12=
后项。所以
应填
48
，
36
。
(3)
的规律是：前项×
3=
后项。所以应填
54
，
162
。
(4)
的规律是：前项÷
5=
后项
。所以应填
5
，
1
。
(5)
的规律是：数列各项依次为
1=1
×
1
，
4=2
×
2
，
9=3
×
3
，
16=4
×
4
，
所以应填
5
×
5=25
。
< br>
(6)
的规律是：数列各项依次为
2=1
×
2
，
6=2
×
3
，
12=3
×
4
，
20=4
×
5
，
所以，应填
5
×
6=30
，
6
×
7=42
。
说明：本例中各数列的每一项都只
与它的项数有关，因此
a
n
可以用
n
来表示。各数列的
第
n
项分别可以表示为
(1)
a
n
＝
3
n
+1
；
(2)
a
n
＝
96-12n
；
(3)
a
n
＝
2
×
3
n-1
；
(4)
a
n
＝
5
5-n
；
(5)
a
n
＝
n
2
；
(6)
a
n
＝
n(n+1)
。
这样表
示的好处在于，
如果求第
100
项等于
几，
那么不用一项一项地计算，
直接就可以算
< br>出来，比如数列
(1)
的第
10
0
项等于
3
×
100+1=301
。本例中，数列
(2)(4)
只有
5
项，当然没有
必要计
算大于
5
的项数了。
例
2
找出下列各数列的规律，并按其规律在
(
)
内填上合适的数：
(1)
1
，
2
，
2
，
3
，
< br>3
，
4
，
( )
，
(
)
；
(2)
(
)
，
( )
，
10
，
5
，
1
2
，
6
，
14
，
7
；
(3)
3
，
7
，
10
，
1
7
，
27
，
(
)
；
(4)
1
，
2
，
2<
/p>
，
4
，
8
，
32
，
(
)
。
解：
通
过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)
把数列每两项分为一组，
1
，
2
，
2
< br>，
3
，
3
，
4
，不难发现其规律是：前一组每个数加
< br>1
得到
后一组数，所以应填
4<
/p>
，
5
。
(2)
把后面已知的六个数分成三组
：
10
，
5
，
12
，
6
，<
/p>
14
，
7
，每组
中两数的商都是
2
，且由
5
，
6
，
7
的次序知，应填
8
，
4
。
(3)
这个数列
的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填
(
17+27=)44
。
(4)
这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填
(8
×
32=)256
。
例
3
找出下列各数列的规律，并按其规律在
(
)
内填上合适的数：
(1)
18
，
20
，
24
，
30
，
( )
；
(2)
11
，
12
，
14
，
18
，
26
，
(
)
；
(3)
2
，
5
，
11
，
23
，
47
，
( )
，
(
)
。
解：
(
1)
因
20-18=2
，
24-20=4
，
30-24=6
< br>，说明
(
后项
-
前项
)
组成一新数列
2
，
4
，
6
，…其规律
是“依次加
2
”，因为
6
后面是
8
< br>，所以，
a
5
-a
4
=a
5
-30=8
，故
a
5
=8+30=38
。
(2)
12-11=1
，
14-12=2
，
18-14=4
，
26-18=8
，
组成一新数列
1
，
2
< br>，
4
，
8
，…按此规律，
8
后
面为
16
。因此，
a
6
-a
5
＝
a
6
-26=16
，故
a
6
＝
16+26=42
。
(3)
观察数列前、后项
的关系，后项
=
前项×
2+1
，所以
a
6
=2a
5
+1
＝
2
×
47+1
＝
95
，
a
7
＝
2a
6
+1
＝
2
×
95+1=191
。
例
4
找出下列各数列的规律，并按其规律在
(
)
内填上合适的数：
(1)
12
，
15
，
17
，
30
，
22
，
45
，
( )
，
(
)
；
(2)
2
，
8
，
5<
/p>
，
6
，
8
，
4
，
(
)
，
( )
。
解：
(1)
数列的第
< br>1
，
3
，
5
，…项组成一个新数列
12
，
17
，
22
，…
其规律是“依次加
5
”，
22
后面的项就是
27
；数列的第
< br>2
，
4
，
6
，…项组成一个新数列
15
，
30
，
45
，…其
规律是“依次
加
15
”，
45
后面的项就是
60
。故
应填
27
，
60
。
(2)
如
(1)
分析，由奇数项组成的新数列
2
，
5
，
8
，
…中，
8
后面的数应为
11
；由偶数项组成的
新数列
8
，
6
，
4
，
…
中，
4
后
面的数应为
2
。故应填
11
，
2
。
练习
5
按其规律在下列各数列的
(
)
内填数。
1.56
，
49
，
42
，
35
，
(
)
。
2.11
，
15
，
19
，
23
，
(
)
，…
3.3
，
6
，
12
，
24
，
( )
。
4.2
，
3
，
5
，
9
，
17
，
(
)
，…
5.1
，
3
，
4
，
7
，
11
，
(
)
。
<
/p>
6.1
，
3
，<
/p>
7
，
13
，
21
，
(
)
。
<
/p>
7.3
，
5
，<
/p>
3
，
10
，
3
，
15
，
( )
，
(
)
。
<
/p>
8.8
，
3
，<
/p>
9
，
4
，
10
，
5
，
( )
，
(
)
。
<
/p>
9.2
，
5
，<
/p>
10
，
17
，<
/p>
26
，
(
)
。
<
/p>
10.15
，
21
，
18
，
19
，
21
，
17
，
( )
，
(
)
。
<
/p>
11.
数列
1
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
15
，
17
。
(1)
如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？
(2)
如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？
< br>
答案与提示
练习
5
1.28
。
2.27
。
3.48
。
4.33
。提示：“后项
-
前项”依次为
1
，
2
，
4
，
8
，
16
，…
5.18
。提示：后项等于前两项之和。
6.31
。提示：“后项
-
前项”依次为
2
，
4
，
6
，
8
，
10
。
7.3
，
20
。
8.11
，
6
。
9.37
。
提示：
a
n
=
n
2
+1
。
10. 24
，
15
。提示：奇数项为
15
，
18
，
21
，
24
；偶数项为
21
，
，
17
，
。
19
15
11.
(
1)
缺
9
，在
7
与
11
之间；
(2)
多
15
，因为除
15
以外都不是合数。
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
第
6
讲
找规律
(
二
)
这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。
例
1
观察下
列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。
分析与解：
观察前三个图，从左至右，黑点数依次为
4
，
3
，
2
个，并且每个图形依次按逆时针
方向旋转
90
°，所以第四个图如右图所示。
观察图
形的变化，
主要从各图形的形状、
方向、
数量、
大小及各组成部分的相对位置入手，
从中找出变化规律
。
例
2
<
/p>
在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：
解：
(1
)
观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故<
/p>
第三个图
形中的“？”
=5
×
3
×
8
÷
2=60
；
< br>第四个图形中的“？”
=(21
×
2)
÷
3
÷
2=7
。
(2)
观察前两个图形中的已知数，发现有
10=8+5-3
，
8=7+4-3
，
即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内
的数。故
第三个图形中的“？”
=12+1-5=8
；
第四个图形中的“？”
=7+1-5=3
。
例
3
寻找规律填数：
解：<
/p>
(1)
考察上、
下两数的差。
32-16=16
，
31-15=16
，
33-17=16
，
可
知，
上面那个
“？”
=35-16=1
9
，
下面那个“？”
=18+16=3
4
。
(2)
从左至右，一上一下地看，由
1
，
3<
/p>
，
5
，？，
9<
/p>
，…知，
12
下面的“？”
=7
；一下一上看，
由
6<
/p>
，
8
，
10
，
12
，？，…知，
9
下面的“？”
=14
。
例
4
寻找规律在空格内填数：
解：
(1)
因为前两图中的三个数满足：<
/p>
256=
4
×
64
，
7
2=6
×
12
，
所
以，第三图中空格应填
12
×
15=1
80
；第四图中空格应填
169
÷
13=13
。第五图中空格应
填
224
÷
7=32
。
(2)
图中下面一行的数都是上一行对应
数的
3
倍，故
43
下面应填
43
×
3=129
；
87
上面应填
87
÷
3=29
。
例
5
在下列表格中寻找规律，并求出“
？”：
解：
(1
)
观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现
3+8=11<
/p>
，
4+2=6
，所以，？
=5+7=12
。
(2)<
/p>
观察每列中三数的关系，发现
1+3
×<
/p>
2=7
，
7+2
×
2=11
，所以，？
=4+5
×
2=14
。
例
6
寻找规律填数：
(1)
(2)
解：
(1)
观察其规律知
(2)
观察其规律知：
观察比较图形、图表、数列的变化
，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对
于同学们今后的学习将大有益处。
练习
6
寻找规律填数：
6.<
/p>
下图中第
50
个图形是△还是○？
○△○○○△○○○△○…
答案与提示
练习
6
1.5
。提示：中间数
=
两腰数之和÷底边数。
2.45
；
1
。提示：中间数
=
周围三数之和×
3
。
3.
(1)
13
。
提示：中间数等于两边数之和。
(2)
20
。提示：每行的三个数都成
等差数列。
4.
横行依次为
60
，
65
，
70
，
75
，
325
；
竖行依次为
40
，
65
，
90
，
115
，
325
。
5.14
。提示：
(23
＋
5)
÷
2=14
。
6.
△。
7. 714285
；
857142
。
8.
8888886
；
9876543
×
9
。
9.36
。提示：等于加式中心数的平方。
小学数学奥数基础教程
(
三年级
)
本教程共
30
讲
第
7
讲
加减法应用题
用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所
说的“应用题”。
应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分构成，而且给出的已知条件应能保证求
出未知的问题。
这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。
例
1
小玲家
养了
46
只鸭子，
24
只鸡，
养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多
5
只。
小玲家养了多少
只鹅？
解：
将已知条件表示为下图：
表示为
算式是：
24+
？
=46+5
。由此可求得养鹅
(46+5)-24=27(
只
)
。
答：养鹅
27
只。
若例<
/p>
1
中鸡和鹅的总数比鸭少
5
只
(
其它不变
)
，则已知条件可表示为下图，
表示为算式是：
< br>24+
？
+5=46
。由此可求
得养鹅
46-5-24=17(
只
)
。
例
2
一个筐里装着
52
个苹果，另一个筐里装着一些梨
。如果从梨筐里取走
18
个梨，那么梨
就比苹果少
12
个。原来梨筐里有多少个梨？
< br>
分析：根据已知条件，将各种数量关系表示为下图。