小学奥数训练第40周解不定方程
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第
40
周解不定方程
专题简析
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称
1 [
：这样的方程为不定方程。如
5
×
—
3y=9
就是不定方程。这种方程的解是不确
定的。如果不加限制的话，它的解有无
数个如
果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有
j Y
限的了。如
5
×—
3y=9
的解有：
如果限定
×，
y
的解是小于
5
< br>的正整数，那么解就只有
方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
这一组了。因此，研究不定
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一
个未知数用另一个未知数来表示，然
后在一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数前面系数的特点，
尽量缩小未知数的取
值范围，减少试验的次数。
对于有
3
个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的
)
取适当的值。
王牌例题
1
求
3
×
+4y=23
的正整数解。
【思路导航】求这个不定方程的正整数解，就是限制了方程的
解必须是正整数。为了方便
求解，将方程变形为
.
根
据方程的解是正整数，可列下表试验求解：
所以，方程
3
×
+4y=23
的正整数解为
举一反三
2
1.
< br>求
3
×
+2y=25
的正整数解。
2.
求
4
×
+5y=37
的正整数解。
3.
求
5
×—
3y=16
的最小正整数解。
王牌例题
2
求下面方程组的正整数解。
【思路导航】
这是一个三元一次不定方程组。
解答的时候，
要先设法消去其中的一个未知数，
将方程简化成例
1
那样的不定
方程。
由①
×
2+
②，得
13
×
+13y=52
×
+y=4
③
把③式变形，得
< br>y=4
—×
因为×
yz
都是正整数，所以×只能取
1
，
2
，
3
。
当×
=1
时，
y=3;
当
×
=2
时，
y=2;
当
×
=3
时，
y=1
。
把上面的结果再分别代入①或②，
当×
=1,y=3
时
,z
无正整
数解
;
当×
=2
，
y=2
时，
z
也无正
整数解
;<
/p>
当×
=3,y=1
时
z=1
。
所以，原方程组的正整数解为
举一反三
2
求下面方程组的正整数解。
王牌例题
3
一个商人将子弹放进两种
盒子里，每个大盒子装
12
发，每个
小盒子装
5
发，
恰好装完。
如
果子弹数为
99
，盒子数大于
9
，问两
种盒子各有多少个？
【思路导航】两种盒子的个数都应该是正整数，所以要根据题
意列出不定方程，再求出它
的正整数解。
设大盒子有×个，小盒子有
y
个，
则
经检验，符合条件的解有
所以，大盒
子有
2
个，小盒子有
15
个。或大盒子有
7
个，小盒
子有
3
个。
上面逐个试验的方法比较麻烦。我们也可以根据未知数前面
<
/p>
系数的特点，尽可能地减少试
验的次数，较快地找到方程的解。如
在这题中，根据方程
12
×
+5y = 99
可知，×
<9
，
y
应
是奇数，
5y
的
< br>个位数字应是
5
，
12
×的个位数字应是
4
，而满足这一条件的小于<
/p>
9
的正整
数×只有
2
和
7
。由×
=2
得
y=15,
由×
=7
得
y=3
。所以
大盒子有
2
个，
小盒子有
15
个
;
或
大盒子有
7
个，小盒子有
3
个。
举一反三
3
1.
某校六
(1)
班学生
48
人到公园划船。如果每只小船可坐
3
人，每只
大船可坐
5
人。那么
需要小船和大船各
几只？（大、小船
都有）
2.
甲种铅笔
7
角钱一支，乙种铅笔
3
角钱一支，小华用
< br>6
元钱
恰好可以买两种不同的铅
笔共几支？
3.
小华和小强各用
6
元
4
角买了若干支铅笔，他们买的铅笔
中都是
5
角一支和
7
角一支