四年级数学培优教材
-
.
目
录
第一讲
寻找规律
第二讲
巧求周长
第三讲
平均数问题
第四讲
第五讲
第六讲
第七讲
第八讲
第九讲
第十讲
第十一讲
第十二讲
图形的计数
定义新运算
简单的逻辑推理
数阵图
等差数列求和
巧算时间
方阵问题
加法原理和乘法原理
统筹规划
整理文本
.
第一讲
寻找规律
一
.
知识要点
图形的变化或一组数的排列
都是有一定规律可循的。在数学
中，许多问题也有规律可循。要解答这些带有规律性的问
题，一
定要善于观察，分析比较，认真思考，不仅要发现规律，还要运
< br>用规律。
二．范例分析
例
1
下面三个正方形内的数有相同的
规律，
请你找出它们的规
律并填出
B<
/p>
、
C,
然后确定
A
，那么
A
是
。
【分析与解】通过观察可以发现，各方框中右上、左下、右<
/p>
下的数分别为
1
、
2
、
3
；
2
、
3
、
4
；
3
、
4
、
5
才能形成规律，故
B=4
，
C=5
。
还可以发现，
9=(2+1)
×
3
，
20=
（
2
+3
）
×
4
，
所以
A=
(3+4)
×
5=35
。
例
2
观察下面各列数的排列规律，
在
(
)
里填上合适的数。
(1)
2
，
9
，
16
，
23
，
(
)
，
37
(2)4
，
9
，
16
，
25
，
( )
，
49
(3)1
，
2
，
4
，
6
，
7
，
10
，
10
，
14
，
13
，
18
，
( )
，
(
)
(4)4
，
2
，
11
，
7
，
32
，
< br>22
，
95
，
< br>67
，
284
，
202
，
(
)
，
( )
【分析与解】
(1)
经过观察可以
发现，相邻两个数的差都是
7
，因此，
( )
里应填“
30
”
。
(2)
仔细观察不难发现：
4=2<
/p>
×
2,9=3
×
3,16=4
×
4
，
< br>25=5
×
5,
所以，
后面紧接着的应是
6
×
6
，因此，
( )
里应填“
36
”
。
(3)
这列数从表面上看，排列得比较乱，如果仅从相邻两数的关系<
/p>
人手，不易发现它们的排列规律，可以将这列数相隔分成两列数，
分别寻找它们各自的变化规律。
相隔分成两列数，分别是：
1<
/p>
，
4
，
7
，
10
，
13
，
( )
2
，
6
，
10
，
14
，
18
，
（
）
上述两列数，相邻两数的差分别是
3
和
4
，因此
，
( )
里应分别
填上“
16
”
、
“
22
”
。
(4)
可以像
(3)
题那
样，将这列数相隔分成两列数：
整理文本
.
4
，
11
，
32
，
95
，
284
，
( )
2
，
7
，
< br>22
，
67
，
< br>202
，
( )
仔细观察，可以发现有如下规律：
所以，
( )
里应分别填上“
851
”
、
“
607
”
。
例
3
有一列数：
5
、
6
、
2
、
4
、
5
、
6
、
2
、
4
……
(1)
第<
/p>
129
个数是多少
?
(2)
这
129
个数的和是多少
?
【分析与解】经过观察可以发现：
5
、
6
、
2
、
4
这
4
个数为一个
周期。
(1)129
÷
4=32
……
1
，第
129
个数就是第一个数，即为
5
。
(2)
一个循环周期的和是
5+6+2+4=17
，共
32
个周期还多
1
个
5
。
17
< br>×
32+5=549
。所以这
1
29
个数的和是
549
。
例
4
用同样大小的小正方形拼成宝塔图形，
若要拼成一个七层
宝塔图形，需要（
）个小正方形。
< br>【分析与解】我们不妨依次计算出每个图形所需要的小正方
形的个数：
1+3=4
，
1+3+5=9
，
1+3+5+7=16
……观察这几个算式的
结果可以发现：
4=2
×
2
，
9=3
×
3
，
16=4
×
4
……即每个图形所需要
的小正方形的个数等于宝塔层数的平
方。因此，若拼成一个七层
宝塔，需要的小正方形的个数是：
7
×
7=49
。
例
5
有一列数
1
，
3
，
9
，
25
，
69
，
18
9
，
517
……其中第一个数
是
1
，第二个数是
3<
/p>
，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之
和的
2
倍再加上
1
，那么这列数中
的第
2008
个数除以
6
，得到的
余数是几
?
【分析与解】这是一道典型的找规律题。我们只需把数
列中
前面一些数除以
6
的余数列出来，
找到规律即可：
1
，
3
，
3
，
1
，
3
，
3
，
1
，
3
，
3
，…就是
< br>1
，
3
，
3
三个数一循环。
2008
÷
3=669
……
1
，
所以第
2008
个数除以
6
，得到的余数是
1
。
整理文本
.
例
6
下表中上一行的一个字与下一
行对应的一个字作为一组。
如第一组是
(
北，
预
)
，
第二组是
(
京，
祝
)
。
那么由左向右的第
2008<
/p>
组的上、下两个字是
(
)
。
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
迎
您
北
京
欢
…
预
祝
奥
运
会
圆
满
成
功
预
祝
奥
运
会
圆
满
成
功
…
【分析与解】由于两行字
的排列规律不一样，所以我们应该
分别来找它们的排列规律。第一行以“北京欢迎您”这
五个字为
一组，
2008
÷
5=401
（组）
·
·<
/p>
·
·
·
·
3
，第
2008
组的
上面字应是“欢”
；
第二行以
“预祝奥运会圆满成功”
这九个字为一组，
2
008
÷
9=223
（组）
·
·
·
·
·
·
1
，第
< br>2008
组下面的字应是“预”字，故第
2008
组
中的上下两个字放在一起是（欢，预）
。<
/p>
例
7
四盏灯
(
如下图所示
)
组成舞台彩灯，
且每
30
秒钟灯的颜
色变换一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜
色，第三次上下两灯又
互换颜色·
·
·
·
·
·这样一直下去，开灯
1
小
时后四盏灯的颜色排列是：
【分析与解】仔细观察分析，可以找到四盏灯颜色的
变换规
律：每隔
2
分钟四盏灯的颜色排
列重复一次。因为
1
小时里有
30
个
2
分钟，所以开灯
1
小时后四盏灯的颜色排列与开始相同，即：
三．课堂练习
1.
下面四个三角形内的数有相同的
规律，请你找出它们的规律，
并求出“
?
”
=
。
整理文本
.
2
．观察下面各列数的排列规律，在
(
)
里填上合适的数。
3.
有一列图形按如下规律排列：
○○△△△□○○△△△□……
那么第
100
< br>个图形是
( )
，这
100
个图形中共有
(
)
个△。
4.
如图，用同样大小的小正方形拼成宝塔图形，若要拼成一
个十
层宝塔图形，需要多少个小正方形
?
二十层呢
?
5.
观察
1
，
2
< br>，
3
，
6
，
12
，
23
，
44
，
x
，
164
的规律，可知
x
=
（
）
6.
如图所示，以
A
、
B
、
C
、
D
、
E
依次表示左手的大拇指、食指、
中
指
、
无
名
指
、
小
指
，
若
从
大
拇
指
开
< br>始
数
数
，
按
：
A B C D
E D C B A B C D E D C B A……
的顺序数，数到“
112
”时，是左手
的
( )
。
7.
“猪
”
、
“马”
、
“羊”
、
“牛”如下图所示，占“田”字格的四个
小格，把它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次在
第一次交换后
左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次
再左右交换，
……，这样交换八十次后，
“马”在几号小格内
?
整理文本
.
8.
按规律填数：
(1)2,5,8,11,14,(
),(
)
(2)2,6,18,54,162,( ),(
)
9.
不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列：
1
4
9
16
25 36 49
……，则从左向右的第
16
个数字是几
?
10.
如图，有同样大小的黑、白珠子若干个，按
3
< br>个黑珠子，
4
个
白珠子，再
3
个黑珠子，再
4
个白珠子的顺序依次排列：
．
●●●○○○○●●●○○○○……
问：
(1)
第
2006
个珠子是什么颜色
? (2)
这
2006
个珠子里有多
少个黑珠子
?
11.
请根据数字间的关系，找规律填空。
12
．观察下列数阵的规律。
整理文本
.
第一横行有
1
个数，第二横行有
3
个数……第
十横行最后一个数
是几
?
13.
有数组
(1
，
2
，
3
，
4)
；
(2
，
4
，
6
，
8)
；
(3
，
6
，
9
，
12)
……那
么
第
100
个数组内四个数的和是多少
?
14.
有五个等式：
1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
……
那么，第五个等式左右两边的和都是
(
)
15
．有一列由三个数组成的数组：
(1
，
1
，
1)
；<
/p>
(2
，
4
，
8)
；
(3
，
9
，
27)
……第
12
个数组中三个数的和比第
6
个数组中三个数的和
大
。
16.
如下图，用同样大小的正三角形，向右逐次拼接出更大
的正
三角形。其中最小的三角形顶点的个数
(
< br>重合的顶点只计一次
)
依
次为：
3
，
6
，
10
，
15
，
2l
……这列数中的第
9
< br>个是多少
?
整理文本
.
第二讲
巧求周长
一、知识要点
在求图形周长的题目里
通常要用到平移、转化、分解等方法，
以及灵活运用我们已经学过的正方形、长方形的周
长计算公式。
二、范例分析
例
1
如右图，
若每个小正方形的周长为
12
厘米，
则它们组合而成
的“十”字图形的周长为多少厘米
?
【分析与解】
要求这个多边形的周长，
也就是要求围成的这个
多边形所有线段的总和。小正方形边长是
12
÷
4=3(
厘米
< br>)
，
“十”
字图形一周有
12
条边，所以周长是
3
×
12=36(
厘米
)
答：
“十”字图形的周长为
36
厘米。
提示：此题也可采用
平移的方法，把这个“十”字图形转化为一
个正方形。
例
2
下图是
一座楼房的平面图，求这个平面图的周长。
【分析与解】这个平面图形，如果从表面上看，似乎缺少已
<
/p>
知条件，没有办法求出它的周长。但是我们可以运用平移的方法，
将图
(a)
转化为图
(b)(
箭头所指的是转化的部分
)
，这样图
(a)
的周
长就转化为图
(b)
的周长与
2
条
< br>20
米长的线段之和。
(50+60)
×
24+20
×
2=260(
米
)
答：这个平面图的周长是
260<
/p>
米。
例
3
有一个长方形纸片，长比宽多<
/p>
2
厘米，周长是
36
厘米。用剪
整理文本
.
刀剪
3
下
（如图）
，这
6
个长方形的周长之和是
多少？
【分析与解】
根据题意可知，长与宽
的和为
36
÷
2=18
（厘
米）
，长为（
18+2<
/p>
）÷
2=10
（厘米）
< br>，宽为
18
—
10=8(
厘米
),
剪了
3
刀后增加了
4
个长，
2
个宽，则周长之和为
36+10
×
4+8
×
2=92(
< br>厘
米
)
。
答：这
6
个长方形的周长之和是
92
厘米。
例
4
如右
图，两个长方形拼成了一个正方形。如果正方形的周长
比两个长方形的周长的和少
6
厘米，则正方形面积是多少平方厘
米
?
【分析与解】从图上很容易看出，
正方形的周长比两个长方
形的周长的和少
2
个边长，
2
个边长是
6
厘米，则正方形边长是
6
÷
2=3(
厘米
)
，面积是
3
×
3=9(
平方厘米
)
。
<
/p>
答：正方形面积是
9
平方厘米。
例
5
一张小长方形纸的长是
20
厘米，宽是
16
厘米，现把若干个
这样的小长方形纸片，按右图所示的方法，
1
层、
2
层、
3
层……
摆下去，共摆了
80
层。摆好后的这个图形的周长
是多少厘米
?
【分析与解】经过观察分析，运
用平移的方法可知，这个图
形的周长与一个大长方形的周长相同，这个大长方形的长为<
/p>
(80
×
20)
厘米，宽为
(80
×
16)
厘米，其周长为：
(80
×
20+80
×
16)
×
2=-5760(
厘米
)
整理文本
.
答：摆好后的这个图形的周长是
5760
厘米。
例
6
如图，阴影部分
BCGF
是个正方形，线段
FH
长
18
厘米，线段
AC
长
24
厘米。问：大长方形
ADHE
的周长是多少
?
【分析与解】
因为
FG=HD
，
GH=CD
，所以
HD
与
CD
的和也
是
18
厘米，因此，大长方形长与宽的和是
42
厘米即
(24+18)
，从
而利用长方形的周长计算公式
就可以求出大长方形
ADHE
的周长
为
：
(24+18)
×
2=84(
厘米
)
<
/p>
答：大长方形
ADHE
的周长是
84
厘米。
例
7
图
l<
/p>
中，每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，
小正方形的
边长为
4
厘米，且边长相互平行，试求出这个图形的
周长是多少厘米
?
【分析与解】
利用平移的方法，将
图
1
变成图
2
，不难
看出，图
1
的周长等于平移后的
正方形周长，而正方形的边长是
(4
÷
2)
×
7+4=180
（厘米）
，利用正方形的周长计算公式就可以求
出其周长。
< br>
．
(4
÷
2)
×
7
十
4=18(
厘米
) 18
×
4=72(
厘米
)
答：这个图形的周长是
72
厘米。
三、随堂练习
1
、某人以每分钟
150
米的速度
绕右图所示跑一圈，需要多
少分钟
?
整理文本
.
2
、<
/p>
如右图，
把一个长是
12
厘米、
宽是
10
厘米的长方形
横切
3
刀，
竖切
2
刀，共切成了
12
个小长方形。所
有这些小长方形的周长之
和是多少
?
3
、如右
图，一个正方形被分成了
4
个同样大小的长方形
,
每个长
方形的周长都是
60
厘米
,
求正方形的周长是多少厘米
?
4
、有一
批长
20
厘米，宽
12
厘米的长方形纸片按图中所示方法一
层、二层、三层的摆下去，共要摆成四层，
求摆好后图形的周长。
如果摆成
10
层
，其周长又是多少呢
?
5
、如图
，长方形
ABCD
中，已知
AF=15
厘米，
EB=9
厘米，四边形
EFGH
为正方形，试求出长方形
ABCD
的周长。
6
、如图，一个大长方形被分成了四
个小长方形，这四个小长方形
的周长之和为
40
厘米，则它们共同组成的大长方形的周长是多少
厘米
?
整理文本
.
7
、如
图，这是三个边长为
10
厘米的正方形纸片。从
(1)
和
(2)
中
各剪去一个面积是
4
平方厘米的小正方形，从
(3)
中剪去一个面积
是
< br>4
平方厘米的小长方形，比较
(1)
、
(2)
、
(3)
，剩下部分周长最
小的是
它的周长是
厘米。
8
、如右图，这是一所学校教学楼的
平面图，求其周长。
9
、如右图，求多边形的周长。
(
单位：厘米
)
10
、如图所示，图①与图②都是由
完全相同的相同的小正方形拼
成的。如果图①得周长是
32
厘米，那么图②的周长是多少厘米？
11
、一
个长方形的长是
20
厘米，宽是
16<
/p>
厘米，把它沿水平方向
横切
3
刀，沿垂直方向竖切
3
刀，分成了
16
个小正方形，求所有
这些小长方形的周长。
整理文本
.
12
、长
方形的长是
50
厘米，截去一个最大的正方形后，余下一个
长方形，这个长方形的周长是多少厘米
?
13
、如图，已知阴影部分
BEFD
是正方形，线段
BH
< br>长
15
厘米，线
段
CF
长
20
厘米。求长方形
AHGC
的周长。
整理文本
.
第三讲
平均数问题
一、知识要点
解答平均数问题常用的关系式如下：
平均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
总份数
=
总数量÷平均数
二、范例分析
例
1
小明的语文、数学的平均成绩是
90
分，语文、数学、英语三
科的平均
成绩是
93
分，由此可知小明的英语成绩是多少分
?
【分析与解】
由语文、数学的平均成绩是
90
分可以算出
语
文、数学的总分是
90
×
2=180(
分
)
，又由
语文、数学、英语三科的
平均成绩是
93
分可以算出语文、数学、英语的总分是
93
×
3=279(
分
)
，因此小明
的英语成绩是
279
－
180=99(
分
)
<
/p>
答：小明的英语成绩是
99
分。
例
2
把五个数按从小到大排列，其平均数是
38
。已知前
三个数的
平均数是
28
，后三个数的平
均数是
47
。问：中间一个数是多少
?
【分析与解】
先求出五个数的和是<
/p>
38
×
5=190
，
再求出前三个
数的和是
28
×
3=84
，后三个数的和是
47
×
3=141
。用前三个
数之
和加上后三个数之和，这样，中间的那个数就计算了两次，必然
比
190
多，而多出的部分就是所要求的中间的那个数为：
28
×
3+
47
×
3
－
3
8
×
5=35
答：中间一个数是
35
。
例
3
五名评委给一名歌唱演员评分，去掉一个最高分和一个最低
分后平均得
9
．
58
分；若只去掉一个最高分，平均得
9
．
46
分；
若只去掉一个最低分，平均得
9
．
66
分。这名演
员所得的最高分
与最低分的平均分为多少分
?
【分析与解】
去掉一个最高分和一个最低分后的总分是
9
．
58
×
3
；只去掉一个最
高分后的总分是
9
．
46
×
4
；只去掉一个
最低分后
的总分是
9
．
66
×
4
，所以一个最高分与一个最低分的和
< br>是
9
．
46
×
4+9
．
66
< br>×
4
－
9
．
58
×
3
×
2
，这样就可以求出最高分与
最低
分的平均分。
列式为：
(9
．
46
×
4+9
．
66
×
4
－
9
．
58
×
3
×
2)
÷
2=9
．
50(
分
)
整理文本
.
例
4 <
/p>
小明看着自己的数学成绩表预测，如果下次考
100
分，那么
总平均分是
91
分
；如果下次考
80
分，那么数学总平均分就只有
86
分。小明数学成绩表中已有几次成绩？
【分析与解】
当下次考试成绩降低
20
分时，总分也会降低
20
分。而平均成绩降低
91
－
86=5
（分）
，那么下次
考完后他有
20
÷
5=4
（次
)
成绩，因此已有
3<
/p>
次成绩。
答：小明数学成绩表中已有
3
次成绩。
例
5
六一儿童节那天，小华去爬山，
上山时每分钟行
50
米，原路
返回时每
分钟行
75
米。求小华往返的平均速度。
【分析与解】
往返的平均速度应
该用往返的总路程除以往返
的总时间。由于题中没有告诉我们全程是多少米，因此我们可
以
假设全程为
150
米
(
也可以假设为其他数
)
，这
样，就可以求出往
返的总时间是
150
÷
50+150
÷
75=5(
分钟
)
，而往返的总路程是
150
×
2=300(
米
)
，从而就可以顺利求出小明往返的平均速度。
(150
×
2)
÷
(150
÷
50+150
÷
75)=
60(
米／分
)
答：小华往返的平均速度是每分钟
60
米。
’
例
6
育才小学四
(1)
班女同学的人数是男同学的
2
倍，
女同学的平
均身高是
150
厘米，男同学的平均身高是
147
厘米。全
班同学的
平均身高是多少厘米
?
【分析与解】
题目中没有直接告诉我
们男、女生的人数，怎
么办
?
我们不妨
把男、女同学的人数假设出来，这样问题就好解决
了。假设男同学有
10
人，女同学有
20
人。
(150
×
20+147
×
10)
÷
(10+20)=149
（厘米）
答：全班同学的平均身高是
149
厘米。
三、随堂练习
1
、在期末考试中，小华的语文、数学、英语三科的平均成绩
是
94
分，其中语文、数学两科的平均成绩是
92
分。小华的英语
成绩是多少分？
2
、五个数的平均数是
32
。如果把这五个数
按从小到大排列，
那么前三个数的平均数是
28
，后三个数的平均数是
35
。中间那个
整理文本
.
数是多少
?
3
、某五个数的平均数是
70
，若把其中一个数改为
90
< br>，则这五
个数的平均数变为
80
。改动前这个数是多少
?
4
、五年级
(1)
班有
40
个同学参加考试，其中
2
个同学
缺考，
平均成绩为
89
分。缺考的两个
同学补考后各得
99
分，则这个班
最后
平均分为多少分
?
5
、小强从甲地去乙地，先骑自行车行完全程的一半，每小时
行
12
千米。剩下的步行，每小时走
4
千米。小强行完全程的平均
速度是多少
?
6
、在全国“希望杯”数学竞赛中，
某校男生参加的人数是女
生的
3
倍。比
赛结果出来后发现，男生的平均成绩是
80
分，女生
的平均成绩是
84
分。那么该校学生的平均成绩是
多少分？
7
、小红
的期末考试成绩单不小心被弄污了，你能帮她算出数
学成绩来吗？
语文
数学
英语
平均分
85
90
91
整理文本
.
8
、一辆东风牌卡车，前
3
小时共行
了
138
千米，后
2
< br>小时每
小时行
36
千米。求这辆
卡车的平均速度是多少
?
9
、三个数的平均数是
120
，加上多少后，则四个数的平均数
是
150
？
10
、有五个数，平均值是
100
。添上一个数后，平均值增加
2
。
再添上第七个数，平均值又增加
2
。第七个数是多少
?
11<
/p>
、小青这学期前几次数学测验的平均分是
80
分，最近这次
测验得
100
分，平
均分提高到
85
分。那么这次测验是第几次
?
12
、某班统计数学考试成绩，平均
成绩是
84
．
1
分。后来发现
小红的成绩是
96
分，
被错记成
69
分。重新计算后，平均成绩是
84
．
7
分。那么这个班有多少名
学生
?
13
、甲
、乙两数的平均数是
34
，乙、丙两数的平均数是
31
，
甲、丙两数的平均数是
32
。甲、乙、丙三数各是多少
?
14
、一辆汽车从甲城到乙城，去时每小时行
60
千米，返回时
每小时行
40
千米，求这辆汽车往返的平均速度。
整理文本
.
第四讲
图形的计数
一、知识要点
图形的计数就是数平面
图形或立体图形中线段、角、三角形、
长方形、正方形或小立方体等的个数。对于一些简
单图形的计数
可能比较容易，而对于一些稍复杂的图形，要对其计数就比较繁
琐，稍不留神就会多数或少数图形的个数。
<
/p>
因此，要准确地数出图形的个数，就要掌握一些数图形的方
法，<
/p>
最基本的要求就是
“不重复，
不遗漏”<
/p>
，
按照一定的顺序去数。
二、范例分析
例
1
数出图中正方形的个数。
【分析与解
】
假定每个小正方形的边长为
1
，
采用分类的方法，
分别数出边长为
1
，
2
，
3
一的正方形的个数，其和就是图中所有
正方形的个数。
边长为
1
< br>的正方形有：
4
×
4=16(<
/p>
个
)
<
/p>
边长为
2
的正方形有：
< br>3
×
3=9(
个
)
边长为
3
的正方形有：
2
×
2=4(
个
)
边长为
4
的正方形有
1
个
一共有
l+4+9+16=30(
个
)
例
2
图中共
有多少个长方形
?
【分析与解】
长方形是由长和宽决定
的，要知道有多少个长
方形，
就应该算出长方形
“长”
的条数和
“宽”
的条数
。
一条
“长”
与一条“宽”就对应着一
个长方形，
“长”的条数和“宽”的条数
的乘积就是长方形的总
个数。
大
长
方
形
中
长
边
共
有
：
1+2+3+4+5=15(
条
)
，
宽
边
共
有
：
1+2+3=6(
条
)
，因此，长方形的总个数有：
< br>15
×
6=90(
个
)
整理文本
.
例
3
图中有多少个三角形
?
【分析与解】
(
1)
在三角形
ABC
中，以
A
为顶点的三角形有
(1+2+3)
×
3=18(
个
)
。
(2)
以
B
< br>为顶点的三角形还有
3
×
3=9
(
个
)
。因此，图中一
共有三角形
18+9=27(
个
)
。
例
4
如图
(1)
，平面上有
12
个点，可任意取其中四个点围成一个
正方形，这样的正方形有多少个
?
【分析与解】
把相邻的两点连接起来可以得到图
(2)
，
从图
(2)
中可
以看出：
(1)
最小的正方形有
6
个。
(2)<
/p>
由
4
个小正方形组合而成的正方形有
2
个。
(3)<
/p>
中间还可围成
2
个正方形。
因此，围成的正方形共有
6+2+2=10(
个
)
。
例
5
图中有多少个正方体
?
【分析与解】假设最小的正方体棱长为
l
，那么棱长为
1
的
正方体有
4
×
4
×
4=64(
个
)
，
棱长为
2
的正方体有
3
×
3
×
3=27(
个
)
，
棱长为
3
的正方体有
< br>2
×
2
×
2=8(
个
)
，棱长为
4
的正方体
(
即最大
的正方体
)
有
1
个。
所以，图中一共有正方体<
/p>
64+27+8+1=100(
个
)
。
例
6
由
35
个单位小正方形组成的长方形中，
如图所示有两个
“★”
。
整理文本
.
问：包含两个“★”在内的由小正方形组成的长方形
(
含正方形
)
共有多
少个
?
【分析与解】
将含有两个
“☆”
的横行
放在一起看成一行
A
，
将含有两个
“☆”
的纵行放在一起看成一列
B
，
凡含有这两个
“☆”
的长方形，要么由
A
向上或向下数行，要么由
< br>B
向左或向右数列。
由
A
行向上数有
2<
/p>
种方法，由
A
行向下数有
3
种方法；由
B
列向
左数有
3
种方法，
由
B
列向右数有
4
种方法。
所以，
包含两个
“☆”
的长方形共有：
2
×
3
×
3
×
4
=72(
种
)
。
三、随堂练习
1
、数一数，下图中共有多少个正方形。
2
、求出图中共有多少个长方形
?
3
、图中有多少个三角形
?
4
、
右图中共有
6
个点，
连接其中的三个点围成一个正三角形，
一共能围成多少个正三角形
?
整理文本
.
5
、右图中有多少个正方体
?
6
、右图中带“☆”的长方形有多少个
?
7
、在
(
)
里填上合适的数。
8
、下
面三个图中，都有一些三角形，在图
A
中有（
< br>
）个；
在图
B
中有
( )
个；在图
C
中有
(
)
个。
9
、图中有多少个正方形
?
10
、图中有多少个长方形
?
整理文本
.
11
、右图中有多少个三角形
?
12
、数一数，右图中有多少个三角形
?
13
、右图中共出现了多少个长方形
?
14
、在右图中，包含“※”的大、
小三角形一共有多少个
?
15
、
把一
个大正方体的表面全部涂上颜色，
然后再锯成小正方
体
(
如右图所示
)
。
那么
3
个面有颜色的有
( )
块，
2
个面有颜色<
/p>
的有
( )
块，
< br>1
个面有颜色的有
(
)
块。
16
、
由<
/p>
20
个边长为
1
的小正方形拼成的一个
4
×
5
的长方形中
有一格有“☆”
。图中含有“☆”的
所有长方形
(
含正方形
)
一共有
多少个
?
整理文本
.
第五讲
定义新运算
一、知识要点
掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严
格按照规定的法则运算，
最后达到解决问题的目的。
二、范例分析
例
1
符号“
*
”表示一种运算，
a * b
表示的
含义是
a
与
b
中较大
数与较小数之差，例如
(2+3)*(2
×
3) =5 * 6=6
－
5=1
，求
(13
×
< br>2)*(6+40)
。
【分析与解】此题的新运算被定义为：
a * b
等于
a
与
b
中
较大数与较小数之差。这里的“
*
< br>”就代表一种新运算。
(13
×
2)*(6+40)=26*46=46
－
26=20
。
例
2
设
p<
/p>
、
q
是两个数，规定：
< br>p
△
q=4
×
< br>q
－
(p+q)
÷
2
。求
5
△
(2
△
8)
。
【分析与解】在这里，
“
△”是定义新运算的运算符号。根据
此题的规定，用“△”这个特殊符号连接起来的两个
数所组成的
式子表示：第二个数的
4
倍
减去这两个数的平均数，求差是多少。
另外，在定义新运算中，同样规定了要先算小括号
里面的，再算
中括号里面的。
5
△
(2
△
8)
=5
△
[4
×
8
－
(2+8)
÷
2]
=5
△
27=4
×
27
－
(5+27)
÷
2
=108
－
16
=92
。
例
3
对于任意自然数，定义
n
！
=1
×
2
×
3
×…×
n
如
4
！
=1
×
2
×
3
×
4
，那么
1
！
+2
！
+3
！
+4
！
+5
！
=
。
【分析与解】经过观察可以发现：
1
！
+2
！
+3
！
+4
！
+5
！
=1+1
×
2+1
×
2
×
3+l
×
2
×
3
< br>×
4+1
×
2
< br>×
3
×
4
×
5
=1+2+6+24+120
整理文本
.
=153
例
4
若
x<
/p>
⊙
y=x+(x+1)+( x+2)+
…
+(x+y
－
1)
< br>，其中
x,y
都为自然
数。试求
l
⊙
50
的值
。
【分析与解】通过观察不难发现
，用“⊙’
’这个特殊符号连
接起来的两个数
< br>x
和
y
所组成的式子表示：从<
/p>
x
开始的
y
个连
续
自然数的和。
1
⊙
50
=1+(1+1) +(1+2)+
…
+(1+50
－
1)
=1+2+3+
…
+50
=
（
1+50
< br>）×
50
÷
2
< br>
=1275
例
5
规定一种运算是
m
▽
n=m
×
n+m
－
n
，另一种运算是<
/p>
m
△
n=m
×<
/p>
n
－
m+n
。请
计算：
6
△
7
－
7
▽
6
。<
/p>
【分析与解】此题规定了两种定义新
运算。请同学们务必分
清两种运算符号。只要把两种运算转化成统一的四则运算，即可<
/p>
求出结果。
6
△
7
－
7
▽
6
=(6
×
7
－
6+7)
－
(7
×
6+7
－
6)
=43
－
43
=0
例
6
定义
a
☆
b=a
×
b
－
(a+b)
，试求：
(1)5
☆
7
；
7
☆
5
(2)12
☆
(3
☆
4)
；
(12
☆
3)
☆
4
(3)
请问：这个运算有交换律、结合律吗
?
【分析与解】
可以根据规定的运算
法则求出各题的结果，
然后根据计算出来的结果回答是否有交换律与结合律。
(1)5
☆
7=5
×
7
－
(5+
7) =35
－
12=23
7
☆
5=7
< br>×
5
－
(7+5)
=35
－
12=23
(2)12
☆
(3
☆
4) (12
☆
3)
☆
4
=12
☆
[3
< br>×
4
－
(3+4)]
=[12
×
3
－
(12+3)]
☆
4
=12
☆
5
=21
☆
4
=12
×
5
－
(12+5) =21
×
4
－
(21+4)
=43 =59
(3)
这个运算有交换律，没有结合律。
整理文本
.
三、随堂练习
< br>1
、如果规定
a
※
b=13
×
a
－
b
÷
8
，那么
17
※
24
的最后结果是
( )
2
、如果规定
a
※
b=a
×
3
－
b
÷
2
，那么
(10
※
6)
※
8
等于多少
< br>?
3
、
如果
1
◎
5=1+
11+111+1111+11111
，
2
◎
4=2+22+222+2222
，
3
◎
3=3+33+333
……那
么
4
◎
4
等于
多少
?
4
、若
a
⊙
b=a+
(a+1)+(a+2)+
…
+(a+b
－
1)
，其中
a
，
b
都为自
然数。试求
1
⊙
25
的值。
5
、已知：一种运算是
a
< br>▽
b=a
×
b+a
－
b
，另一种运算是
a
△
b=a
×
b
－
a+b
。试求
5
△
6
—
6
▽
5
的值。
6
、定义
一种新运算“△”
，规定
a
△
b=3
×
a
－
2
×
b
。
(1)
求
3
△
2
；
2
△
3
。
(2)
这个运算有交换律吗
?
整理文本
.
7<
/p>
、定义
a
※
b=
4
×
b+a
÷
5
。求
20
※
12
。
8
、规定：
A
△
B=A
×
2
－
B
×
3+
A
×
B
，那么
5
△
3=?
9
、设
P
▲
Q=(P
+Q)
÷
2
，求
2009
▲
(2006
▲
2008)=
10
、若规定
a
※
b=a+b
÷
< br>a
，那么
(1
※
2)
※
3=
11<
/p>
、如果
2
？
3=
2+3+4
，
5
？
4=5+6+7+8
，那么请计算
7
？
5
的
结果。
12<
/p>
、若
a
▽
b=2
×
a+3
×
b
，其中
a
，
b
表示两个自然数，那么
(2
▽
3)
▽
4=
（
）
。
13
、
如果
○表示两个数中取较大数的运算，
△表示在两个数中
取较小数的
运算，那么请计算
(2005
△
200
6)
×
(2006
○
< br>2005)
。
14
，若规定
a
△
b=a
×
a+b
×
b
，
a
▽
b=a
×
a
－
b
×
b
，那么
(2
△
3)
▽
4=
？
整理文本
.
第六讲
简单的逻辑推理
一、知识要点
逻辑推理是小学数学中一项十分重要的内容。
在解决此类
问题时，不需要做过多的计算，甚至一点也不需要计算，它是依
据逻辑规律，从一定
的前提出发，通过一系列的推理来获取某种
结论。
逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论
，
分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正
确的判断。
解决逻辑推理问题常用的方法有：
(1)
巧妙利用有关的逻辑知识进行推理；
(2)
运用列表法进行推理。
二、范例分析
例
1
一个正方体
6
个面上分别写着
1<
/p>
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
。
根据下图摆放的三
种情况，判断每个数字对面面上的数字是几。
【分析与解】
如果直接思考哪个数字的对面是几，恐怕有一
定困难。我们不妨可以这样思考：这个数字的对面不会是几。
应该从重复出现的数字开始思考：从
(1)
、
(2)
两种摆法看，
4
的对面不会是
5
和<
/p>
2
，也不会是
6
和
1
，那么，
4
的对面一定是
3
；
从
(2)
、
(3)
两种摆法看，
l
的对面不会是
4
和
6
，也不会是
2
和
3
，
因此，
1
的对面一定是
5
；最后，剩
下
2
的对面一定是
6
< br>。
所以，
4
的对面是
3
，
1
的对面是
5
，
2
的对面是
6
。
例
2
四对夫妇，分为四组进行围棋
比赛，设
A
、
B
、
C
、
D
为
男士，
E
、
F
、
G
、
H
为女
士。如果比赛的对战情况满足如下描述：
整理文本
.
B
对
E<
/p>
；
A
对
C
的妻子；
F
对
G
的丈夫；
D
对
A<
/p>
的妻子；
G
对
E
的丈
夫。那么
B
的妻子是谁
?
【分析与解】
由
< br>B
对
E
，
A
对
C
的妻子，
D
对
A
的妻子可知
E
不是
A
或
< br>C
盼妻子。
假设
E
是
B
的妻子，
则与
G
对
E
的丈夫矛盾，
所以
E
是
D<
/p>
的妻子。
由
G
对
E
的丈夫可知
D
对
G
，
所以
G
是
A
的妻
子
，再由
F
对
G
的丈夫可知
A
对
F
，所以
F
是
C
的妻子，则
H
是
B
的妻子。
例
3
三个女孩
A
、
B
、
C
进行百米赛跑。裁判
D
、
E
、
F
在赛前
猜测她们之间的名次。
D
说：
“我猜
A
会是第一名。
”
E
说：
“我猜
C
不会是最后一名。
”
F
说：
“我猜
B
不会是第一名。
”
成绩揭晓后知道只有一位裁判的猜测是正
确的，
请问哪位女孩
得第一名
?
【分析与解】解决此类问题可用假设法。
(1)
假设
A
是第一名，则
D
是正确的，
F
也是正确的。与
题目条件不符，所以
A
不是第一名。
(2)
假设
B
是第一名，则只有
E
有可能正确。
(3)
假设
C
是第一名，则
E
、
F<
/p>
都是正确的，也与题目条件
不符。
所以，只有
B
是第一名。
例
4
奥运五福娃贝贝、晶晶、欢欢、
迎迎、妮妮在鸟巢奥运
场馆见面了，每两个福娃都会握一次手
-
当贝贝握了
4
次手，晶晶
握了
3
次手，欢欢握了
2<
/p>
次手，迎迎握了
1
次手时，妮
妮握了
次手。
【分析与解】
可以把题目里所给的条件用图表示出来，
用
A
．
B
、
C
、
D
< br>、
E
五点分别表示奥运五福娃，若两人握了手，则用线段
连接
起来。
(1)
贝贝握了
4
次手，说明贝贝与
晶晶、欢欢、迎迎、妮妮各握了一
次，则
A
应
与
B
、
C
、<
/p>
D
、
E
点相连。
(2)
迎迎握了
1
次手，是与
A
点相连的
。
(3)
晶晶握了
3
次手，
是与<
/p>
A
、
C
、
E
三点相连的。
。
。
．
．
j
整理文本
.
j
C D
(4)
欢欢握了
2
次手，是与
A
、
B
点相连的。从图上
E
点的
连线条数来看，妮妮握了
2
次手。
。
例
5
有红
、黄、蓝、白、绿五种颜色的玻璃弹子各一粒，用
纸包着排成一排，并分别编上号码。有
五个小朋友来猜。
A
说：第
2
包是绿弹子，第
< br>3
包是黄弹子；
j
B
说：第
2
包是蓝弹子，第
5
包是红弹子；
C
说：第
1
包是红弹子，第
4
包是白弹子；
D
说：第
3
包是蓝弹子，第
5
包是白弹子；
E
说：第
2
包是黄弹子，第
4
包是绿弹子。
．
结果
，拆开包一看，每人都恰好只猜对了一半，并且每包只
有一人猜对。你知道各包分别包着
什么颜色的弹子吗
?
【分析与解】解决此类问题可以用假设法。从哪里人手呢
?
< br>通过观察，不难发现，第一包只有
C
说它包着红弹子，便
可假设
这句话是对的，那么
C
说的另一
句话便是错的。
[
注意：可以用铅
笔在
条件上打“√”或打“×”
。例如：第
1
包是红弹子
(
√
)
< br>，第
4
包是白弹子
(
×
)
接着看
B
说的话，
“第
5
包是红弹子”就是错的，
“第
2
包
是蓝弹子”就是对的；同样道理，
D
说的第一句话是错的，第二句
话便是对的；
……像这样，一步一步地“追寻”下去，问题就全
部解决了。未推出的部分请同学们自己
去完成。
最后的答案是：第
1
包是红弹子，第
2
< br>包是蓝弹子，第
3
包是黄弹子，第
4
包是绿弹子，第
5
包是白弹子。<
/p>
例
6 A
、
B
、
C
三人所读学校为甲校、乙校和丙校，但不知哪
个人在哪所学校读书。
三人爱好篮球、足球和排球。已知：
(1)A
不在甲校，
B
在乙校；
(2)
爱
好排球的不在丙校，爱好篮球的在甲
校；
(3)B
不爱好篮球。问：
A
在
(
)
校，爱好
(
)
。
【分
析与解】在条件较复杂难以判断的情况下，我们可以借
助列表的方法，
< br>将条件及推理得出的结论简要记在表格中，
用
“√”
表示肯定，用“×”表示否定。
甲校
乙校
丙校
篮球
足球
排球
×
×
√
A
×
√
×
B
×
整理文本
.
√
×
×
C
根据（
1
）
（
3
）可以
在交叉对应格里分别画“√”
、
“×”来表
示而且可以看出，
C
在甲校，
A<
/p>
在丙校。
既然
C
在甲校，结合条件
(2)
，可以推出
，
C
爱好篮球；而
A
< br>在丙校，根据条件
(2)
又可知，
A
爱好的是足球。
所以，
A
在丙校，爱好足球。
例
7
某年
5
月份恰好有五个星期六和五个星期四，
< br>求这年的
6
月
1
日是星期几
?
【分析与解】
我们知道，
5
月份有
31
天，每周有
7
天，那么
5<
/p>
月份里有几周呢
?
31
÷
7=4(
< br>周
)
……
3(
< br>天
)
由于每周里只有一个
星期四和一个星期六，而题目告诉我们，
5
月份恰好有五个星期
六和五个星期四，
说明余下的
3
天必然
是星
期四至星期六这
3
天，因此，这年
的
6
月
1
日是
星期日。
三．随堂练习
1
< br>、有一个立方体，每个面上分别写有字母
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
。从三个不同的角度看的结果如下图所示。请问：这个立方体的
< br>每个字母的对面分别是什么字母
?
2
、甲、乙、丙三个同学分别参加了美术、音乐、舞蹈课外活
动小组，
而且知道：
A
．甲不喜欢跳舞；
B
．丙是个男孩，个子比参加音乐小组的同学高；
<
/p>
C
．参加舞蹈小组的那个同学是小维的姐姐。
请问：这三个同学分别参加了哪个课外活动小组
?
3
、在学雷锋活动中，学校为表扬好
人好事核实一件事，老师
整理文本
.
找了
A
、
B,
C
三人进行谈话。
A
说：是
B
做的。
B
说：不是我做的。
C
说：不是我做的。
事后经过核实，知道这三人中只有一人说了实话。请问：这
件好事是谁做的
?
4
、
A
、
B
、
C
、
D
四个足球队一起进行比赛，每两队都要
比赛
一场。到目前为止，
A
队已赛了<
/p>
3
场，
B
队已赛
了
2
场，
D
队
已赛
了
1
场。请问：
< br>C
队已赛了几场
?
5
、
．甲、
乙、丙、丁四位运动员的号码各不相同。
赵说：甲是
2
号，乙是
3
号；
，
钱说：乙是
4
号，丙是
2
号；
孙说：丁是
2
号，丙是
3
号；
李说：丁是
1
号，乙
是
3
号。
又
知四人都只说对了一半，那么，甲、乙、丙、丁各是几号
?
6
、李英、赵林、王红三人参加华罗庚金杯赛，他们分别来自
甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖，现在知道：
①李英不是甲校的选手；
②赵林不是乙校的选手；
③甲校的选手不是一等奖；
④乙校的选手得二等奖；
⑤赵林不是三等奖。
根据上述情况，可判断出王红是
(
)
校的选手，
他得的是
(
)
等奖。
7
．某年的
10
月份有五个星期六，四个星期日，问：这年的
10
月
1
日是星期几
?
整理文本
.
8<
/p>
、一个正方体的
6
个面分别涂着红、黄、
蓝、白、黑、绿六
种颜色，根据下面的三种摆法，
判断哪种颜色的对面涂着哪种颜
色。
9
、有一张特殊的靶纸，靶纸上的
l
、
3
、
5
、
7
、
9
表示射中该
靶区的分数。
甲说：
我打了
6
枪，
每枪都中靶得分，
共得了
27
分。
乙
说：我打了
3
枪，每枪都中靶得分，共得了
27
分。已知甲、乙
两人中只有一人说的是真话，那么说假
话的人是谁
?
10
、<
/p>
6
个女同学和小明进行乒乓球单打比赛，已知
7
个人各自
胜的场次之和是
14<
/p>
场，而其中
6
个女生输的场数之和是
8
场，则
小明一共输掉了多少场
?
。
11
、甲、乙、丙、丁同时参加全国希望杯数学竞赛，赛后，他
们四人预测名次的谈话如下：
甲说：丙第一名，我第三名；
乙说：我第一名，丁第四名；
丙说：丁第二名，我第三名；
丁没有说话。
< br>最后公布结果时，
发现他们的预测都只对了一半，
请你说
出
参加这次竞赛的甲、乙、
丙、丁四人的名次。
12
、老师在
3
个
小箱中各放了一个彩色球，让小明、小强、小
整理文本
.
亮、小佳四人猜一猜各个箱子中放了什么颜色的球。
小明说：
“
1
号箱中放的是黄色的，
2
号箱中放
的是黑色的，
3
号箱中放的是红色的。
”
小亮说：
“
1
号箱中放的是橙色的，
2
号箱中放的是黑色的，
3
号箱中放的是绿色
的。
”
小强说：
“
1
号箱中放的是紫色的，<
/p>
2
号箱中放的是黄色的，
3
号箱中放的是蓝色的。
”
小佳说：
“
1
号箱中放的是橙色的，
2
号箱中放的是绿色的，
3
号箱中放的是紫色的。
”
老师说：
“你们中有一个人恰好猜
对了两个，其余三人都只
猜对了一个。
”
那么
3
号箱子中放的是什么颜色的球
?
13
、在
一桩谋杀案中有
A
、
B
、
C
、
D
四名嫌疑犯被拘捕。公安
人员对他们进行了审问，四人口供如下：
< br>
A
说：罪犯在
B
、
C
、
D
< br>三人之中。
B
说：我没杀人，是
C
干的。
C
说：罪犯只能是
A
< br>或
D
。
D
说：只有
B
说的是事实。
经过充分的调查发现，
这四人中有两人说了真
话，
两人说了假
话。请判断罪犯是谁
?
14
、甲
、乙、丙、丁是北京、天津、上海、重庆人。甲和北京
人是工人，乙和天津人是军人，丙
和上海人不同职业，丁不是军
人。乙是
( )
人。
(
填地名
)
15
，王、刘、
李三位老师分别担任语文、数学、英语老师，已
知每人只教一门课，另外还知道下面一些
情况：
A
．王老师上课
全部用汉语；
B
．英语老师是一个学生的哥哥；
C<
/p>
．李老师是女的，
她向数学老师问了一个问题。你能判断出这三位
老师分别教哪门
整理文本