四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第6讲：数列(教师版)
-
第
6
讲
数列
（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）
（不用添加内容，也不做修改）
1
、
数列
：按一定
顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称
为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
2
、
等差数列与公差
< br>：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这
样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3
、
常用公式
等差数
列的总和
=
（首项
+
< br>末项）
项数
2
项数
=
（末项
-<
/p>
首项）
公差
+
1
末项<
/p>
=
首项
+
公差<
/p>
（项数
-1
）
首项
=
末项
-
公差
（项数
-1
）
公差
=
（末
项
-
首项）
（项数
-1
）
等差数
列（奇数个数）的总和
=
中间项
项数
1
、重点是对数列常用公式的理解掌握
2
、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用
（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）
例
1
、在数列
3
、<
/p>
6
、
9
……，<
/p>
201
中，共有多少数？如果继续写下去，第
201
个数是多少？
答案
：共
有
67
个数，第
201
个数是
603
解析：
（
1
）因为在这个等差数列中，首项
=3
，
末项
=201
，公差
=3
，所以根据公式：
项数
=<
/p>
（末项
-
首项）
公差
+1,
便可求出。
（
2
）根据
公式：末项
=
首项
+
< br>公差
（项数
-1
）
解<
/p>
：
项数
=
（
201-3
）
3
+1=67
< br>末项
=3+3
（
201-1
）
=603
答：共有
67
个数，第
201
个数是
603
例
2
、全部
三位数的和是多少？
答案
：全部三位数的和是
494550
解析
：所
有的三位数就是从
100~999
共
9
00
个数，观察
100
、
101
、
102
、……、<
/p>
998
、
999
这
一数列，发现这是一个公差为
1<
/p>
的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来
解答。
解
：
（
100+999
< br>）
900
< br>2
=1099
900
2
=49455
答：全部三位
数的和是
494550
。
例
3
、求自
然数中被
10
除余
1
< br>的所有两位数的和。
答案：
459
解析
< br>：在两位数中，被
10
除余
1<
/p>
最小的是
11
，最大的是
91
。从题意可知，本题是求等差
数列
11
、
21
、
31
、……、
91
的和。它的
项数是
9
，我们可以根据求和公式来计算。
解：
11+21+31+
……
+91
=
（
11+
91
）
9
2
=459
例
4
、
求下列方阵
中所有各数的和：
1
、
2
、
3
、
4
、……
49
、
50
；
2
、
3
、
4
、
5
、……
50
、
51
；
3
、
4
、
5
、
6
、……
51
、
52
；
……
49
、
50
、
51
、
52
、……
97
、
98
；
50
、
51
、
52
、
53
、……
98
、
99
。
答案
：
125000
解析
：这个方阵的每一横行（
或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖
行）数列之和，再求出这个
方阵的和。
解：每一横行数列之和：
第一行：
（
1+50
）
50
2=1275
第二行：
（
2+51
）
50
2=1325
第三行：
（
3+51
）
50
2=1375
……
第四十九行：
（
49+98
）
50
2=3675
第五十行：
（
50+99
）
50
2=3725
方阵所有数之和：
1275+1325+1375+
……
+3675+3725
=
（
1275+3725
< br>）
50
2
=125000
例
5
、
班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳
了
105
次，那么共有多少男生参加了这项比赛
?
答案：
n=
15,
即共有
15
个男生参加了比赛<
/p>
解析：
设共有几个选手参加比赛，分别
是
A
1
、
A2
、
A3
A
1
、……
An
。从
A
1
开始按顺序
分析比赛场次：<
/p>
A
1
必须和
A2
、
A
3
、
A4
、……，
An
逐一比赛
1
场，共计（
n-1
）场；
A2
已和
A
1
赛过
，他只需要和
A 3
、
A4
、
A5
、……、
An
各赛
1
场，共计（
n-2
）场
A
3
已和
A
1
A2
赛过、他只需要和
A4
、
A5
、
A6
、……、
An
< br>、各赛
1
场，共计（
n-3
）
场。
以此类推
，最后
An-1
只能和
An
赛
1
场
解：
S
n=
（
n-1
）
+
（
n-2
）
+
……
+2+1
=
1
1
（
1+n-1
）
（
n-1
）
=
n
(n-1)
（
场）
2
2
根
据题意，
Sn=105(
场
)
，则
n
（
n-1
）
=210
，因为
n
是正整数，通过试算法，可知
15<
/p>
14=210.
则
n=1
5,
即共有
15
个男生参加了比赛。<
/p>
答：有
15
个男生参加了比赛。
例
6
、
若干人围成
16
圈，
一圈套一圈，
从外向内圈人数依次少
6
人，
如果共有
912
人，
问最外圈有多少人
？最内圈有多少人？
答案：
最外圈有
102
人，最内圈有
12
人
解析：
从已知条件
912
人围成
16
圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少
6
人，也就
是告诉我们这个等差数列的和是
912
，项
数是
16
，公差是
6
< br>。题目要求的是等差
数列末项
a
n
- a
1
=d
(n-1)=6
(16-1)=90(
人
)
解：
< br>a
n
+a
1
=S
2
n=912
2
< br>16=114
（人）
外圈人数
=
（
90+114
）
< br>
2=102
（人）
内圈人
数
=
（
114-90
< br>）
2=12
（人）
答：
最外圈有
102
人，最内圈有
12
人。
A
1
、<
/p>
有一串数，
已知第一个数是
6
，
而后面的每一个数都比它前面的数大
4
，
这串数中第
2003
个数是
。
答案：
8014
2
、
等差数列
0
< br>、
3
、
6
、
9
、
12
、……、
45
是这个数列的第
项。
<
/p>
从
2
开始的连续
100
个偶数的和是
。
答案：
16
3
、
一个剧院共有
25
排座位，从第一
排起，以后每排都比前一排多
2
个座位，第
25
排有
70
个座位，这个剧院共
有
个座位。
答案：
10100