小学三年级矩形图法分析应用题详解
关于西湖的古诗-战台风古筝
.
第十四讲矩形图法
一、本讲容：
矩形图中的经典模型
矩形图的其它应用
二、前铺知识
鸡兔同笼综合
/
盈亏问题题进阶
三、后续知识
平均数进阶
四、课前测试：
4.1
鸡兔同笼，头共
46
，足共
128
，鸡兔各几只？
解题思路分析：
1
）
从头<
/p>
46
可以确定鸡兔一共
46
只
2
）
从
足共
128
，可以确定鸡和兔的脚一共有<
/p>
128
条
,
按照
常识
,
一只兔子有
4
< br>条腿，
一只鸡
2
条腿
3
）
从
题中可以确定总只数和总腿数数量知道，并知道每只鸡和兔的腿数，因此可<
/p>
考虑使用
假设法
或者
方程
来计算
假设法解题方法分析：
A
）
假设<
/p>
46
头全部为鸡，则一共有的腿数量为
4
6X2=92
条，
发现腿数量比实际少：
128-92=36
< br>条，因此需要考虑需要将部分鸡变为
兔，才能增加总的腿条数，从图中可以看出，
每当一只鸡变成兔时，
总腿
数会增加两条，因此要补足缺的
36
条腿，需要有多少只鸡变成兔呢？
<
/p>
就
是
36
÷
2=18
只，也就是有
18
只鸡变成兔子后，总腿数满足要求
假设法解题过程：
解：假设
46
只全部为鸡，总腿数为
46 X 2=
92
条，比总腿数少
128-92=36
条
<
/p>
当一只鸡换成兔子时，总腿数增加
2
条，
因此要增加
36
条腿，需要将
36
÷
2=18
只
鸡
换成兔
子才可以，因此兔子有
18
只，鸡有
4
6
–
18=28
只
答：兔子
18
只，鸡
28
只
word
资料
.
验证：
18 X 4
+ 28 X 2 = 72 + 56 =128
条
方程法解题方法分析：
由于总腿数可
以使用只数
X
每只的腿数来表示，并知道总只数，因此考虑假设
兔只有
y
只，则鸡有
< br>46-y
只，总腿数为：
4y+
（
46-y
）
X 2=128
方程法解题过程
：
解：假设兔只有
y
< br>只，则鸡有
46-y
只，
总腿数为：
4y+<
/p>
（
46-y
）
X
2=128
4y+46 X 2 -2y=128
4y + 92 -2y=128
2y=128-92
y= 36
÷
2
y= 18
鸡：
46-y=46-18=28
答：兔子
18
只，鸡
28
只
验证：
18 X 4 + 28 X 2 = 72 + 56
=128
条
4.2
某校安排学生宿舍，如果每间住
5
人则有
14
人没有床位；如果每间
住
7
人，则多出
4
个床位，问宿舍几间？住宿几人？
分析法解题方法分析：
从
如果每间住
7
人，则多出
4
个床位，
可以判断最后一间房住了三个人，
< br>我们用圆圈
表示人，按照提议可以画出如下示意图
从上图可以看出或者推断出原先没有床位的
< br>14
人已经最后一个房间中的两个人，一共
16
人在第二次分床位时，分到前面的房间了，如果假定前面房间原先的人保持不动，
则每个房间能够增加两个人，因此可以算出
16
个人需
要几间房
：
16
÷
2=8
个房间，因
此加上最后一个房间，一共是
8 + 1 =9
个房间，房间数量计算出来后可以计算住宿的
人数
5 X 9 +14=59
人
分析法解题过程：
解：
word
资料
.
从题目分析可以确认当每个房间分
7
个人时最后一个房间分了
3
个人，也就是，最后
一个房间中出来两人和第一次分配没有床位的
14
人
，一共
16
个人一起被分配到前面
房间
，考虑原先房间的人不动，因此每个房间可以在分配
2
人
分完需要房间数量为
16
< br>÷
2=8
个房间，
加上最后一个没有住满的房间，一共是
8 + 1
=9
个房间，
住宿的人数：
5 X 9 +14=59
人
答：房
间数量为
9
间，住宿人数为
59
人。
盈亏解题方法分析：
从题目中
如果每间住
7
人，则多出
4
个床位，
这句话可以确定，假如每间房都分满
7
个人，则少
4
个人，这
相当于亏为
4
，相当于在原先多余
14
个人基础上再增加
4
个
人，就可以每个房间都增加两人，刚好分完。
如果每
间住
5
人则有
14
人没有床位，
这句话可以确定盈为
14
人，按照提议，假设再
增加
4
个人
，则可以将这
18
个人平均每个房间可以分
2
个人刚好分完，按照盈亏计算
方法：
(
盈数
+
亏数
)
÷
两次每份分配之差（
7-5<
/p>
）
=
份数
，
也就是房间数量，计算出房间
数量后，就可以计算人数
盈亏方式解题过程：
解：从题目可以确定每个房间分
5<
/p>
人时，多
14
人，每个房间分
7
人时，少
4
人
因此房间数量为：（
14+4
）
÷
（
7-5
）
=9
间
住宿人数：
9 X 5 + 14
=59
人
答：房间数量为
9
间，住宿人数为
59
人
方程解题方法分析：
从题目看，房间
数量没有发生变化，总人数没有发生变化，总人数可以利用房间数量
乘上每个房间住的人
数来得到，然后根据两次分法人数不变来写方程等式。因此可以
设置房间数量为
Y
，第一次分法的总人数为
5Y+14
，第二次分配总人数为
7Y-4
，两次
总人数相等
5Y+14=7Y-4
方程法解题过程：
解：设房间数量为
Y
间，住宿人数
7Y-4
5Y+14=7Y-4
14+4=7Y-5Y
18=2Y
Y=18
÷
2=9
间
word
资料
.
住宿人数：
7Y-4=7X9-4=59
人
答：房间数量为
< br>9
间，住宿人数为
59
人
4.3
小强由
家里到学校，如果每分钟走
50
米，上课就要迟到
3
分钟，如果每分
钟走
60
米，就可以比正常上课时间提前
2
分钟
到校。小强家到学校的路程是
多少米？
分析法解题思路：
从题目看，需要求
路程，题目中告诉了两个速度，按照路程计算公式：
路程
=
速度
X
时间
，因此
我们需要先求出小强走的时间，这样就可以算路程了
题目中告
诉了两个速度，想到可能会用到：
速度差
X
时间
=
路程差
，速度差我们知道<
/p>
是
60-50=10
米
< br>/
分钟，如果能算出两次的距离差，是否就可以求出时间呢，那我们看
看能否通过线段图发现距离差
从题目中的比上课时间迟到
3
分钟和比上课时间早
2
分钟，可以判断如果按照某个速
度从家到
学校时刚刚好，不迟到，不早到，这个时间我们可以假定为
t
，
因此按照
50
米
/
分钟速度。在走了
t
这么长时间后，小强来到了
A
点，
A
点到学校还需要
3
分钟，
其距离为
50X3=150
米
同时，如果
按照
60
米
/
分钟的速度，如果小强到学校还没有到上课时间，如果他继续
走完
t
分钟时，他应该到了
B
点，
B
点离学校的距离为
2
分钟走的距离
60X2=120
米
在相同的
t
分钟时间，前后两次的距离
差为
A
到
B
的
距离，距离为
120+150=270
米，
因此按
照
距离差
=
时间
X
速度差
的公式得到
270
米
=t
分钟
X10
米
/
分钟，可以
看出
t=27
分钟，所以按照
50
米
/
分钟的速度去学校时，
27
分钟后小强来到了
A
点，
所以
按照
50
米
/
分钟的速度，小强到学校的时间需要
t+3=27+3=3
0
分钟，那么家到学校
的距离为
50<
/p>
米
/
分钟
X30
分钟
=1500
米
word
资料
.
分析法解题过程
解：
从题目来看，两次的速度差为
6
0
米
/
分钟
-
50
米
/
分钟
=10
米
/
分钟
假设两次走的时间一样时，两次的距离差可以从下图看出来为：
50X3+60X2=270
米
按照距离差
=
速度差
X
时间，从知道了速度差
10
米
/
分钟以及距离差
270
< br>米，我们可
以计算出走的时间：
时间
=
距离差
÷
速度差
=
270
÷
10=27
分钟
因此家到学校的距离为
50X27+50X3=50X
（
27+3
）
=50X30=1500
米
答：小强家到学校距离为
15
00
米
方程解题方法分析：
从题目中的比上
课时间迟到
3
分钟和比上课时间早
2<
/p>
分钟，可以判断如果按照某个速
度从家到学校时刚刚好，不迟到，
不早到，这个时间我们可以假定为
t
分钟，因此我
们考虑使用时间
t
来表示小强家到学校的距离：
如果速度为
50
米
/
分钟时，要迟到
3
分钟，因此时间为
t+3
分钟，家到学校距离为
50X
（
t+
3
）
如果速度为
60
米
/
分钟时。要找到
2
分钟，因此时间为
t-2
分钟，家到学校距离为
60X
（
t-2
）
按照距离
=
速度
X
< br>时间，利用小强家到学校距离不变来写方程
50X
（
t+3
）
=60X
（
t-
2
）
然后去括号解方程
方程法解题过程：
解：根据图示，设
按照
50
米
/
分钟的速度走，到上课时间时，用了
t
分钟，来到了
A
点，因此按照
60
米<
/p>
/
分钟的速度来到学校时，使用的时间为（
t-2
）分钟
word
资料
.
列方程如下：
50t+50X3
=60
（
t-2
）
50t+150=60t-120
150+120=60t-50t
10t=270
t=27
分钟
距离：
60 X
（
< br>27-2
）
=60X25=1500
米
答：小强家到学校的路程是
1
500
米。
五、模块一：矩形图中的经典模型
例
1
：某个长方形原本的长是
10cm<
/p>
，如果它的宽减少
3cm
，长增加
5cm
，面积
保持不变，那么原本长方形的面
积为多少？
矩形分析法解题思路分析：
按照题意
，画出下图，原长方形为图中斜线部分
+A
部分，变化后的图形
为图中斜线部
分
+B
部分，由于两个图
形的面积相等，因此图中
A
部分和
B<
/p>
部分的面积相等
按照题中出现面积关键
点，因此想到长方形的面积公式：长方形面积
=
长
X
宽
按照公式可以计算出
A
的面积为
10X5=50
平方厘米，因此图形
B
的面积也为
50
平方
厘米，按照长方的面积公式
< br> 50=5X
？？，因此可以计算出
B
< br>的一边长度为
10cm
这样就可以求出原长方形
B
的宽
+5cm
，计
算结果为
10+5=15cm
，然后按照长方形的
面积计算公式计算面积为
10X15=150
平方厘
米
矩形分析法解题过程：
解：按照题意
，画出如下图形，根据面积相等可知
A
的面积
< br>=B
的面积
A
的面积为：
10X5=50
平方厘米
< br>
计算
B
长方不知道的一边宽度
：
50
÷
5=10cm
word
资料
.
按照图形可以知道原长方形的宽度为
5+10=15cm
原长方的面积为：
10X15=150
cm
2
答
：原长方形面积为
150
平方厘米
方程法题思路分析：
按照题中要求面
积，因此需要知道长方形的长和宽，长度题目告诉为
10cm
，
因此可以
设宽为
Ycm
，因此原长方形
面积为
10Y
平方厘米
我们来看变化后长方的长度为
15cm
，宽度为（<
/p>
Y-5
）
cm
，
那么面积为
15X
（
Y-5
）平方
厘米，按照面积相等建立方程
10Y=15 X
（
Y-5
），然后解方程
方程法解题过程：
解：设原长方形的
宽为
Ycm
，缩短后的新长方形宽度为（
Y-5
）
cm
按照面积相等列方程如下：
10Y=15
X
（
Y-5
）
10Y=15Y-15X5
75=15Y-10Y
5Y=75
Y=15 cm
面积为：
10X15=150 cm
2
答：原长方形面积为
150
平方厘米<
/p>
六、模块二
：经典模型的应用
在小学阶段各种应
用题的学习中，我们学习了很多不同的公式，大部分的公式都可以
总结为：一个数
X
另一个数
=
乘积。
例如在平均数问题中有“平均数
X<
/p>
数量
=
总数”，在行程问题中有“速度<
/p>
X
时间
=
路
程”
,
鸡兔同笼问题中有“每只鸡的腿数
X
鸡的只数
=
鸡的总共腿数”……
而长方形的面积公式恰好也是类似的公式
“长
X
宽
=
面
积”，那么我们就类比这个公
式可以将其它问题都转化为长方形的面积来处理，从而实现
了将具体的应用题转化为
几何方面
的面积问题
例
1
：早上
8:00,
小明从家里去学
校，如果小明每分钟走
60
米，恰好能不迟到，如果
每分钟少走
10
米，那么就会迟到
6
分钟，那么小明家距离学校多少米？
方程法解题思路分析
word
资料
.
从题目看小明家到学校的距离没法发生变化，但速度在前后两次发生了变化，导致到
学校的时间发生了变化，由于有距离、速度、时间出现，可以想到
距离
=
速度
X
时
间，
从题目看速度知道，
时间和距
离
不知道，考虑计算方便，
我们可以设置刚好不迟
到的时间为
t
分钟
，那么小
明家到学校的距离可以表示为
60t
，当速度减少
10
米
/
分钟
时，那么小明到学校的时间需要花（
t+6
）分钟，
因为降低速度后会迟到
6
分钟，那么
小
明家到学校的距离也可以表示为（
60-10
）
X
（
t+6
）
=50t+300
，因为距离没有发生
变化，前后两
次速度表示的距离应该相等，因此可以用等式表示
60t=50X
（
t+6
）
,
然
后解方程
方程法解题过程：
解：设小明按照<
/p>
60
米
/
分钟速
度到学校的时间为
t
分钟
根据距离不变，写方程如下：
60t
=
（
60-10
）
X
（
t+6
）
60t=50t+50X6
10t=300
t=30
分钟
距离为：
60t=60X30=1800
米
答：小明家到学校距离为
1800
< br>米
矩形图分析法解题思路分析：
由于距
离
=
时间
X
速
度，和长方形的面积公式：面积
=
长
X
宽
类型，因此可以考虑将
时间看为长，速度看为宽，距离看作面积，这样我们可以画下图图形
速度为
60
米
/<
/p>
分钟：，可以画出如下长方形
如果每分钟少走
10
米，相当于宽减少
10
米
/
分钟，迟到
6
分钟，可以认为长度增加了
6
分钟，按照距离不变，也就是
A+
斜线部分
的面积和斜线部分
+B
的面积相等，也就
是
A=B
的面积，从图可以看出
B<
/p>
的面积等于
50X6=300
，，因此<
/p>
A
的面积也等于
300
< br>，
A
的面积等于
10XA
的长，因此
10XA
的长
=300
，
A
的长度也就是时间<
/p>
=30
，
现在速度和时间都有了，计算距
离就方便了：距离
=
速度
X
时间
距离
=60X3
0=1800
米
word
资料
.
矩形图分析法解题过程：
解：
按照题意，可以考虑假定长方形
的长为时间，宽为速度，这样可以画出下图
由于距离保持不变，也就是面积不变，因此
A
图形面积
等于
B
图形面积
B
的面积为
50X6=300
，因
此
A
的长度为面积
÷
< br>宽
=300
÷
10=30
30
就是按照
60
米
/
分钟到学校不迟到的时间，
因此家到学校的距离为
60X30=1800
米
答：小明家到学校距离为
180
0
米
例
2<
/p>
：养猪专业户王大伯说：“如果卖掉
75
头猪，那么饲料可维持
20
夭，如果买进
100
头猪，那
么饲料只能维持<
/p>
15
天。”问：王大伯一共养了多少头猪？
方程解题法解题分析：
从题目看
，饲料总数没有发生变化，但猪的数量和能够喂的天数在变化，因此考虑每
天每头猪吃的
饲料是一样的，从题目问有多少头猪考虑，我们可以假设猪的数量为
Y
< br>头，因此卖掉
75
头时，可以用下面的等式表示总饲料：
卖掉后剩下的猪（
Y-75
）头
X
喂的天数，也就是
20X
（
Y-75
）
如果是利用买家
100
头猪后表示总饲料：买进后总的猪（
Y+100
）头
X
喂的天数，也<
/p>
就是
15X
（
Y
+100
）
根据总饲料不变得等式：
20X
（
Y-75
）
=15X
（
Y+100
），然后解方程
方程解题法
解题过程：
word
资料
.
解：设王大伯一共养了
Y
头猪
根据猪饲料总数不变，等方程
20X
（
Y-75
）
=1
5X
（
Y+100
）
< br>
20Y-20X75=15Y+15X100
5Y=1500+20X75
5Y=3000
Y=600
（头）
答：王大伯一共养了
600
头猪
矩形图分
析法
解题分析
：
从题目看，饲料总数没有发生变化，但猪的数量和能够喂的天数在变化，因此考虑每
天每头猪吃的饲料是一样的，都为
1
份，那
么总饲料份数
=
猪的数量
X
喂的天数；这
个和长方形面积公式一致，我们考虑将
猪的数量看为长，喂的天数看为宽；
可以得如
下长方形，如果
不买不卖猪的数量为
AI
线段表示，天数为
AC
，饲料总数为
ACKI
的
面积
AIXAC
；如果卖掉
75
头猪，则剩余猪的数量为
AH
，线段
HI=75
头，喂的天数
为
AD
，
20
天
（
AD=20
天），饲料总数为
AHE
D
的面积；如果买进
100
头猪，则猪
的数量为
AL
，增加的
100
头用
IL
表示
IL=100
头：买进猪后的天数为
ML
天，按照题
目中条件天数为
15
天，因此
ML=15
天，总饲料数量为
ALMB
长方形的面积，由于总
饲料没有变化，因此
长方形
AHED
和长方形
ALMB
的面积相等，从图中可以看出长方
形
BGE
D
的面积和长方形
HLMG
的面积相等
，长方形
HLMG
的面积
=HL X
ML=
（
75+100
）
X 15
；
长方形
BGFD
的面积
=BGXBD=BGX
（
AD-AB
）
=B
GX
（
20-15
）
< br>=5BG
根据面积相当
BG=
面积
÷
BD=
面积
÷
5=
（
75+100
）
X 15
÷
5=525
BG
就是卖掉
75
头后剩余的猪数量
525
头，所以总猪的数量为
AI=AH+HI=525+75=600
头
矩形图分析法解题过程：
解：
根据题意可以画出如下图形，长
方形的长表示猪的头数，宽表示喂的天数，长方形的
面积表示总饲料
word
资料
.
按照总饲料不变，长方形
BDE
G
的面积和长方形
HLMG
的面积相等
长方形
HLMG
的面积为（
100+75
）
X15
=2625
长方形
BDEG
的面积也
为
1625
，该长方形宽
BD=5
，因此长方形长
BG
为
1625
÷
5=525
所以原先
王大伯养的猪数量为
AH+HI=525+75=600
头
答：
王大伯一共养了
600
头猪
盈亏法
解题分析
这个题目我们根据题意可以这么理解，当每头猪分
20
桶饲
料时，有
75
头猪没有分到
饲料，因此
如果要每头猪都分到
20
桶饲料，那么还缺
20X75
桶饲料，这个是亏，如
果每头猪分
15
桶饲料时，还剩饲料，剩的饲料可以分给
100
头猪，因此剩余的饲料为
15X100
桶，所以按照盈亏计算法，前后两次的饲料总数差为：盈
+
亏<
/p>
=15X100+20X75=3000
，导致饲料变化的原因是
每次分的桶数不一样导致的，因此
两次分的桶数差为：
20-1
5=5
桶
所以有猪的头数为
3000
÷
5=600
头
盈亏法
解题过程：
解：
按照题意，如果不买也不买猪考
虑，如果每头猪分
20
份饲料，就有
7
5
头无法分到饲
料；饲料缺份数为：
2
0X75=1500
份
如果每头猪分
15
份饲料，剩余的饲料可以再分给
1
00
头猪，因此饲料多的份数为：
100X15=1500
份
所以按照盈亏法计算养的猪的头数为：
（
20X75+100X15
）
÷
（
20-15
）
=
600
（头）
答：王大伯一共养了
600
头猪
分析法解题法解题分析：
下图上半部
分可以看出，卖掉
75
头猪后，剩余的猪每头猪都可以吃
20
天
当不卖而是
买回
100
头猪时，如下图的下半部分所示，那么每头猪可以吃
15
天
吃<
/p>
15
天时猪比可以吃
20
天时猪的数量多
75+100=175
头猪，这就可以
理解为原先卖
完后剩余的猪，如果每头猪拿出
5
天的饲料，可以满足新增加的
175
头猪吃
15
天，这
word
资料
.
样就可以算出原先卖掉后剩余的猪数量为
175X15
÷
5=525
头，考虑原先卖掉的
75
头，那么一共就是
75+525=600<
/p>
头猪
分析法
解题过程：
解：
按照题意可以用下图表示，猪数量和饲料、吃的天数的关系
从图中看出，前后两次猪的数量不一样，吃
< br>15
天时猪的数量比吃
20
天时
猪数量多
175
头
< br>由于吃的天数相差
5
天，可以计算出第一次卖掉后剩下的
猪数量为：
175X15
÷
5=525
头，考虑原先卖掉的
75
头，那么一共
就是
75+525=600
头猪
答：王大伯一共养了
600
头猪
练一练
一艘远洋轮船
上共有
28
名海员，船上的淡水可以供全体海员用
40
天，轮船离
开港口
10
天后在海上救起了
12
名遇难的外国船
员，剩下的淡水可以供船上的
人用多少天？
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资料