古塔的变形-数学建模论文

巡山小妖精
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2021年03月03日 16:56
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本文由作者推荐

study的过去式和过去分词-爱情名句

2021年3月3日发(作者：念念不想忘)



2013


高教社杯全国大学生数学建模竞赛< /p>




承




诺




书




我们仔 细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参


赛规则》


（以下简称为


“竞赛章程和参赛规则”


，< /p>


可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）


。



我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网< /p>


上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。



我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的 成果或


其他公开的资料（包括网上查到的资料）


，必须按照规定 的参考文献的表述方式在正文


引用处和参考文献中明确列出。



我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有


违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。


< p>
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展

< br>示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）


。< /p>




我们参赛选择的题号是（从


A/B/C/D


中选择一项填写）


：

< p>











C
























我


们的参赛报名号为（如果赛区设置 报名号的话）


：






























所属学校（请填写完整的全名）


：












山西建筑职业技术学院




























参赛队员



(


打印并签名


)


：


1.



















王晋鹏





























































2.



















李




帅




















































3.



















徐




进






























指导教师或指导教师组负责人




(


打印并签名


)


：











原二保

























（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中 无需签名。以上内容


请仔细核对，


提交后将不再允许做任何修改 。


如填写错误，


论文可能被取消评奖资格。

）





日期：


2013


年


9


月



日





赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：





2013


高教社杯全国大学生数学建模竞赛




编



号



专



用



页







评



阅



人






评



分






备



注





赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：






赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：



































全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：








全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）


:










C


题


古塔的 变形


摘要






文物保护是一件非常重要的事情，如何根据对古塔的测量数据 了解其倾斜、弯曲、


扭曲等情况并能够确定变形趋势是本文要解决的问题。针对问题一， 本文将各层八个观


n


x


i


x


i



1

< br>(


x



x


)



i


i



1


y


i


y


i



1


i



1


测


点


看


作


同


一

< br>平


面


上


一


个


八


边


形


的


角


点


，


利


用


公


式


x



，


n


x


x


i



1

< br>3



i


y


i



1


i



1


y


i



(


y


i



y


i



1


)


y



i

< br>


1


n


x


i


y


i


x


i



1


y


i



1


x


i



1


y


i



1


并编写


C++


程序计算其中心坐标，


有较高的精确度。


问题二 要求确


3



i



1


n


x


i< /p>


y


i


d


定古塔的


倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，结合测量专业知识，利用公式




arctan


计算

< br>h


得到四年各层中心相对于下一层中心的偏心距


（合位移 ）


与


倾斜角度以及四年古塔整体倾斜


的 合位移与倾斜角度：




1986


年



1996


年



2009


年



2011


年



合位移（


m


）



0.3779



0.3739


0.3778


0.3285


倾斜角


（弧度）



0.0129


0.0121


0.0113


0.0103


；


利用公式




ar ctan(



z


/

d


)


计算反映各段的弯曲，利用


d




x


k



x


1



2




y


k



y


1

< br>


2


y


k



y


1


1


n


1




2




3






n




最终确定出各年古塔整体



k



arctan



k



及




x


k



x


1


n< /p>



1


k



2


n



1

< p>
扭曲情况：




扭曲方向（度）



扭曲位移（


m


）



1986


年



-34.3


0.3752


1996


年



-31.66


0.3159


2009


年



-36.52


0.3035


2011


年



-34.34


0.2713


数据分 析表明四年中底部


1-3


层及顶部


11 -13


层扭曲现象严重，而中段


4-10


扭曲


较平缓。应加强对底部及顶部的观测与维护。弯曲方面，四年相对变化不大，主要 体现


在各年不同层次的弯曲有一些变异，整体倾斜度不大且减小趋势。

< br>


关键词：重心（中心）


，倾斜、弯曲、扭曲

< p>
C++ MATLAB EXCEL




1



一



问题重述




由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，


古塔会产 生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古


塔进行观测， 了解各种变形量，以制定必要的保护措施。



某古塔已有上千年 历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于


1986

年


7


月、


1996


年


8


月、


2009

< p>
年


3


月和


2011


年


3


月对该塔进行了


4


次观测。



请根据附件


1


提供的


4


次观测数据，讨 论以下问题：



1


.

< br>给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心


坐标 。



2.



分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。



3.



分析该塔的变形趋势。



二



模型假设




1.


古塔变形测量的监测点选取符合变形观测的原则，测量数据有效。

< br>


2


．楼层平面质地均匀。



3.


在古塔各层选定的


8

< p>
（或


7


个）个监测点在同一平面内。




三



符号约定



(


x


,


y


)


1< /p>


．


i


i


：第


i


个观测点的坐标。



2.


△


x


： 各层中心相对于下一层中心在


x


轴方向的位移量。



2.


△


y


：各层中心相对于下一层中心在


y


轴方向的位移量。



3


．


d


：各层中心相对于底层中心的合位移。



4


．


k


：各层中心相对于底层中心的扭曲方向。



5

< br>．



：各层中心扭曲方向的平均值，反映建筑物主体的扭 曲方向。



6


．


h


：各层中心相对于第一层中心的高度值。



四



模型分析建立与求解



问题一：确定古塔各层中心



分析


:


附件给出了测绘公司先后于


1986


年


7


月、


1996


年


8


月、


20 09


年


3


月和


2011


年


3


月


对古塔进行


4


次观测结果，即古塔十三层及塔尖各监测测点的 坐标值。



在建筑物的变形测量中每次都选取固定监测点观测。 按附件提供的测测点的坐标


值作图（图一），显现出正八边形形状，所以可以假设古塔为 八角形，各层所设


8


个（


7

< p>
个）监测点为各层八角形的塔角。各层所设


8


个（


7


个）监测点坐标值的


z


坐标值虽有所


不同，但差值最大仅为


0.194m< /p>


，可以忽略高度变化，故各层中心计算时假设


8

< br>个（


7


个）


塔角在同一平面内。



查阅测量相关资料知道：对于外轮廓为正八边形的塔形垂直的 建筑物，需对


8


条棱


进行观测，每层观 测


8


个角点（在同一平面内），从


8< /p>


个角点构成八边形得到的几何中心


就是该层中心。



在附件给出的


4


次观测数据 中，还发现


1986


年和


1996


年数据中十三层却监测点


5


。


根据古塔已上千年历史，可推断古塔


1986


年和< /p>


1996


年进行测量时，


13

< p>
层塔角


5


处于损


毁状态， 到2009年第三次测量前已经修复。




2



图


1


13


层塔角


5


在两次测量无数据，故对


1986


年和


1996


年


13


层数据计算得到中心坐


标误差较大，这对后面计算会产生影响。




模型建立：


在高等数学中已知物理学 中求平面薄片重心的公式为：



x


< /p>


(


x


,


y


)


d



x

< p>


(


x


,


y


)


d








x


D


，


y



D







(


x


,


y


)


d







(


x


,


y

< p>
)


d



D


D


当薄片质量分布均匀，


即密度为一常数时，


分式上下



(


x


,


y


)


可约分，此时 分母转化


为平面图形的面积，公式简化为：


< br>yd



xd


< br>





，


y

< br>


D



x



D


S


S


此 时平面薄片的重心完全由平面图形形状决定，即为平面图形的中心。利用这组公


式进行计 算，计算难度决定于图形形状，但即使是正八边形，要确定边界表达式困难也


很大，使得 积分计算难度增加。



工程计算中，对于非圆形建（构）筑物的 几何中心，通常为通过测定其外廓的对称


于几何中心的棱角点的坐标并取其平均值的办法 来求得其几何中心的坐标，


即使用公式



，


y




n


n


本公式使用简单，一般能满足计算需要 ，但文献表明，由于


(


x


i

< p>
,


y


i


)


是测量数据，本身存


x



< /p>


x


i



1


n


i



y

< p>
i



1


n


i



(


x

i



x


i



1


)


在误差，而减小误差也是操作中 需要注意的，故选取公式


[1]


x


< /p>


i



1


n


x


i


y


i

< p>
x


i



1


y


i



1

x


i



1


y


i



1


，< /p>


3



i



1


n


x


i

< p>
y


i



3




(


y


i



y


i



1


)


y



i



1

< br>n


x


i


y


i


x


i



1


y


i



1


x


i



1


y


i



1


，约定


x


n



1



x


1

< br>，


y


n



1



y


1


进 行求解。



3



i



1


n


x


i


y


i



模型计算：


利用上述公式计算各层古塔中心，通过编制


C++


程序实现。


（附件一）


，


计算结果为表


1



表


1


各年中



心坐标



层数



1


2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


塔尖



6


567.247


3


x


566.664


9


566.721


8


566.777


5


566.809


2


566.868


4


566.916


8


566.951


1


566.984


5


567.018


2


567.049


1


567.102


1


567.155


0


567.149< /p>


1986


年中心坐标



y


522.7092


522.6108


522.6332


522.6141


522.5713


522.5399


522.5231


522.5066


522.4900


522.4759


522.4356


522.3954


522.5437


522.2438


z


1.7874


7.3203


12.7553


14.7896


21.7205


26.2351


29.8369


33.3509


36.8549


40.1721


44.4409


48.7119


52.8343


55.1233


x


566.6651


566.7227


566.7453


566.8234


566.8711


566.9202


566.9552


566.9686


567.0229


567.0542


567.1078


567.1391


567.1558


567.2544


1996


年中心坐标



y


522.7089


522.6698


522.6794


522.6012


522.5685


522.5365


522.5181


522.5023


522.4850


522.4706


522.4298


522.3991


522.5375


522.2367


z


1.7830


7.3146


12.7508


14.7858


21.7160


26.2295


29.8323


33.3454


36.8483


40.1676


44.4354


48.7074


52.8300


55.1198



各年中



心坐标



层数



1


2


3



2009


年中心坐标



x


566.7378


566.7760


566.8094


y


522.6979


522.6712


522.6437


z


1.7645


7.3090


12.7323


4


x


566.7413


566.7762


566.8098


2011


年中心坐标



y


522.7004


522.6710


522.6441


z


1.7633


7.2905


12.7269



4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


塔尖



566.8368


566.8655


566.9540


566.9871


567.0252


567.0915


567.1463


567.1890


567.2313


567.2801


567.3360


522.6208


522.5970


522.5475


522.5254


522.4756


522.4604


522.4068


522.3668


522.3273


522.2814


522.2148


14.7734


21.7094


26.2110


29.8246


33.3399


36.8438


40.1611


44.4326


48.6998


52.8184


55.0910


566.8561


566.8706


566.9547


567.0282


567.0402


567.0925


567.1474


567.2131


567.2326


566.7762


567.3375


522.6536


522.6019


522.5467


522.6162


522.4923


522.4595


522.4056


522.3930


522.3260


522.6710


522.2135


14.7622


21.7039


26.2045


29.8170


33.3366


36.8223


40.1441


44.4249


48.6839


52.8131


55.0870



问题二：古塔的倾斜、弯曲、扭曲



分 析


：


问题一对


每次测量得到了古塔各层 的中心坐标，


分析古塔的倾斜、弯曲、扭曲


等情况时，


首先考虑视各层中心连线近似于一条直线，所以首先通过中心连线与铅垂直


线夹角计算初步了解古塔的变形情况。



初解


：


利用最小二乘拟合方法能够确定已知数据点


(


x


i


,


y

< p>
i


),


i



1


,


2


,

< br>


,


n


的平面拟合曲线。


对于已知空间数据点


(


x

i


,


y


i


,


z


i


),


i



1


,


2


,



,


n


，


若数据点近似分布在一条直线附近，


亦可进行 空



x



az



b


间直线拟合，因空间直线



可视为两个平面相交所成的直线，故分别对两个方程进


y



cz


< br>d



行平面数据拟合从而确定


a


,


b


,


c


,


d


的取值


[2]


。



运行如下


matlab


程序，得到各年各层中心对应的空间拟合直线。



function nh


x1=input('input x1:');


x=x1';


y1=input('input y1:');


y=y1';


z1=input('input z1:');


z=z1';


F=[z;1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];


M=F*F';


N=F*x';


O=F*y';


A=(MN)'


B=(MO)'


A


B


zz=1:10:60;xx=A(1)*zz+A(2) ;yy=B(1)*zz+B(2);subplot(2,2,3);plot3(xx,yy,zz,'r'


);hold on,plot3(x,y,z,'+');title('2009'),grid on


直线方程为：



1986


年：


x=0.01023z+566.6475


，< /p>


y=-0.0058z+522.6969


1996

< p>
年：


x=0.0103z+566.6435


，< /p>


y=-0.0064z+522.7193


2009

< p>
年：


x=0.0115z+566.6699


，< /p>


y=-0.0088z+522.7555


2011

< p>
年：


x=0.0085z+566.7331


，< /p>


y=-0.0066z+522.79



5



接下来应用空间两条直线夹角公式



x



x


1


y



y


1


z



z


1


x



x


2


y

< br>


y


2


z



z


2


L


1


:






，


L


2


:



m


1


n


1


p


1

< br>m


2


n


2


p


2


cos(


L

1


,


L


2


)




m


1< /p>


m


2



n


1


n


2


< p>
p


1


p


2


m



n


p


2


1


2


1


2


1


m


< /p>


n



p


2


2


2


2


2

< p>
2



运用


matlab< /p>


计算


各条直线与铅垂线夹角如表


2


。





表


2


1986


年



1996


年



2009


年



2011


年




角度（度）



0.6704


0.6948


0.8296


0.6166



初步结论：


对表


1


、表


2


数据初步分析可知塔身既有倾斜又有扭曲。幅度并不大。



进一步求解



首先计算各层中心与底层 中心相比得到的


x


偏移与


y

< p>
偏移，得到表


4


：




表


4


层


数



1986


年



△


x


△


y


1996


年



△


x


△


y


2009


年



△


x


△


y


2011


年



△


x


△


y


2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


塔


尖



平


均


值



0.0569



-0.0984



0.0576



-0.0391



0.1126



-0.0760



0.0802



-0.0295



0.1443



-0.0951



0.1583



-0.1077



0.2035



-0.1379



0.2060



-0.1404



0.2519



-0.1693



0.2551



-0.1724



0.2862



-0.1861



0.2901



-0.1908



0.3196



-0.2026



0.3035



-0.2066



0.3533



-0.2192



0.3578



-0.2239



0.3842



-0.2333



0.3891



-0.2383



0.4372



-0.2736



0.4427



-0.2791



0.4901



-0.3138



0.4740



-0.3098



0.4847



-0.1655



0.4907



-0.1714



0.0382



0.0716



0.0990



0.1277



0.2162



0.2493



0.2874



0.3537



0.4085



0.4512



0.4935



0.5423



-0.0267



0.0349



-0.0542



0.0685



-0.0771



0.1148



-0.1009



0.1293



-0.1504



0.2134



-0.1725



0.2869



-0.2223



0.2989



-0.2375



0.3512



-0.2911



0.4061



-0.3311



0.4718



-0.3706



0.4913



-0.4165



0.0349



-0.0294



-0.0563



-0.0468



-0.0985



-0.1537



-0.0842



-0.2081



-0.2409



-0.2948



-0.3074



-0.3744



-0.0294



0.5824



-0.4655



0.5892



-0.4723



0.5982



-0.4831



0.5962



-0.4869



0.3159



-0.2028



0.3149



-0.1986



0.3028



-0.2257



0.2691



-0.1854



1


．倾斜



1986


层数




1


2


3



合位移


d


倾斜角


α





0.1137


0.1358




0.0205


0.0124


1996


合位移


d


倾斜角


α





0.0696


0.0855




0.0126


0.0078


2009


倾斜角


合位移


d


α







0.0466


0.0898


0.0084


0.0082


2011


合位移


d




0.0456


0.0887


倾斜角


α





0.0083


0.0081


6



4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


塔尖



平均值



0.1728


0.2458


0.3035


0.3414


0.3784


0.4158


0.4495


0.5158


0.5820


0.5122


0.7455


0.3779


0.0133


0.0123


0.0124


0.0122


0.0120


0.0119


0.0117


0.0121


0.0124


0.0100


0.0140


0.0129


0.1915


0.2493


0.3079


0.3472


0.3671


0.4221


0.4563


0.5233


0.5663


0.5198


0.7551


0.3739


0.0147


0.0125


0.0126


0.0124


0.0116


0.0120


0.0119


0.0123


0.0121


0.0102


0.0142


0.0121


0.1255


0.1628


0.2634


0.3032


0.3633


0.4260


0.5016


0.5597


0.6172


0.6838


0.7689


0.3778


0.0097


0.0082


0.0108


0.0108


0.0115


0.0122


0.0131


0.0131


0.0132


0.0134


0.0144


0.0113


0.1240


0.1625


0.2630


0.2990


0.3642


0.4259


0.5018


0.5631


0.6177


0.0456


0.7698


0.3285


0.0096


0.0082


0.0108


0.0107


0.0115


0.0122


0.0131


0.0132


0.0132


0.0009


0.0144


0.0103


倾斜是 建筑中心线或其墙、柱等，在不同高度的点对其相应底部点的偏移现象。高层建


筑由于地 基不均匀沉降而产生倾斜，可利用相互垂直的两个量来描述如图二所示，根据建筑


物的设 计，


底层中心


A


点与顶层中心


B


点位于同一竖直直线上，


当建筑物发生倾斜时 ，


则


B


点


d< /p>


相对


A


点移动了某一数值


d


，


则建筑物的倾斜角为


< /p>



arctan


。


计算得到其它年份各层中心


h


与


19 86


年各层中心的位移量


d


及高度


h


，


求出倾斜角弧度数如表


5


，


而各年份塔的合位移和倾


斜度数如表


6


。




表


5




表


6



合位移（


m


）



倾斜角（弧度）



1986


年



0.3779



0.0129


1996


年



0.3739


0.0121


2009


年



0.3778


0.0113


2011


年



0.3285


0.0103



2.


弯曲



观 测古塔的弯曲变形就是考察古塔在外力作用下，其中心轴线由直线变成了曲线的情


况。为 此，计算各层中心相对于下一层中心的合位移


d




x


2


< br>


y


2


以及各层中心相对于下< /p>



z


一层中心的倾斜

角




arctan


（



z


k

< br>


z


k



z


1


）


，通过比较

< br>合位移、倾斜


角变化预测


古


d< /p>


塔的弯曲变形。


见表


7

< br>。





表


7


层数



2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


12


13


△


x


k



0.0569


0.1126


0.1443


0.2035


0.2519


0.2862


0.3196


0.3533


0.3842


0.4372


0.4901


0.4847


△


y


k



-0.0984


-0.0760


-0.0951


-0.1379


-0.1693


-0.1861


-0.2026


-0.2192


-0.2333


-0.2736


-0.3138


-0.1655


7


△


z


k



5.5329



5.4350



2.0343



6.9309



4.5146



3.6018



3.5140



3.5040



3.3172



4.2688



4.2710



4.1224



合位移


d


0.1137


0.1358


0.1728


0.2458


0.3035


0.3414


0.3784


0.4158


0.4495


0.5158


0.5820


0.5122


角


α


（


rad


）



1.5503



1.5458



1.4860



1.5353



1.5037



1.4763



1.4635



1.4527



1.4361



1.4506



1.4354



1.4472



1


9


8


6


年



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