完整word版将军饮马问题的11个模型及例题
英语小诗歌-家乡的春天
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周
长最小等一系列最值问题
方法原理
2.
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
1.
两点之间，线段最短；
短
3.
中垂
线上的点到线段两端点的距离相等；
4.
基本模型
1.
.
垂线段最
已知
：如图，定点
A
、
B
< br>分布在定直线
l
两侧；
要求：在直线
l
上找一点
< br>P
，使
PA+PB
的值最小
,
即为所求，点
PP
解：连接
AB
交直线
l<
/p>
于点
PA+PB
的最小值即为线段
AB
的长度
理由：在
l
上任取异于点
P
的一点
P
′，连接
AP
′、
BP
′，<
/p>
< br>在△
ABP'
中，
AP
′
+BP
′
>AB
，即
AP
′
+BP
′
>AP+BP
∴
P
为直线
AB
与直线
l
的交点时，
PA+PB
最小
.
2.
已知：如图，定点
A
和定点
B
在定直线
l
的同侧
要求：在直线
l
上
找一点
P
，使得
PA+PB
值最小
（或△
ABP
的周长最小）
解：作点
A
关于直线
l
的对称点<
/p>
A
′，连接
A
′
B
交
l
于
P
，
点
P
即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线
l
为线
段
AA
′的中垂线，
由中垂线的性质得：
PA=PA
′，要使
PA+PB
最小，则
需
PA
′
+PB
值最小，从而转化为模型
1.
3.
两的同侧（
A
< br>、
B
已知：如图，定点
A
、
B
分布在定直线
l
的距离不相等）点到
l
︱的值最大
P
，
使
PA-PB
︱
要求：
在
直线
l
上找一点
P
，
点
P<
/p>
即为所求；
解：连接
BA
并延长，交直线
l
于点
，由三角形的三边关系
的一点
P
′，︱
=AB
，在
l
上任取异于点
< br>P
此时︱理由：
PA-PB
︱
A-P <
，
知︱
P
′
A-P
′
B
′连接
AP
、
BP
′
︱
PA-PB
︱′
′
B
︱
即︱
P
两
B
分布在定直线
l
的两侧（
A
、
已知：
如图，定点
A
、
B
4.
的距离不相等）点到
l
︱的值最大
上找一点
P
，使
︱
PA-
PB
要求：在直线
l
并延长交连接<
/p>
B
′
A
解：作点
B
关于直线
l
的对称点
B
′，
P
于点，点
P
即为所求；
为线段
BB
′的中垂线，由中垂理由：根据对称的性质知
l
′，
要使︱
PA-
PB
︱最大，则需线的性质得：
PB=PB3.
′︱值最大
，从而转化为模型︱
PA-PB
1-1
典型例题
2
分
DA
和点
B
，点
Cx+4
如图，直线
y=
与
x
轴、
y
轴分别交于点
3
最小时
，为
OA
上一动点，当
PC+PD
、别为线段
ABOB
的中点，点
P_________.
_________
，
此时的最小值为
PC+PD
点
P
的坐标
为
，连轴
的对称点
D'
的特征，作点【
分析
】符合基本模型
2D
关于
< br>x
为
CDx
轴于点
P
，此时
PC+PD
值最小
，由条件知
CD'
接交长，从
OPCD
D'
的中位线，易求△的中位线，△
BAOOP
为
长，可用勾股定理
C
D'PC+PD
而求出
P
点坐标；的最
小值即
.
（或两点之间的距离公式，
实质相同）
计算轴
x
′交
CD
′，
连接
D
轴的对称点
x
关于
D<
/p>
，
作点
CD
】<
/p>
连接
解答
【．
2
x=0
，
则
y=4
，于点
P
，此时
PC+PD
值最小．令
y=
x+4
中
322
的坐标，∴点
Ay=0
∴点
B
坐标（
0
，
4
）
；令
y=x+4
中，则
x+4=0
，解得：
x=
﹣
6
33
的中位线，
BAO
的中点，∴
CD
为△为（﹣
6
，
< br>0
）
．∵点
C
< br>、
D
分别为线段
AB
、
OB
1
AO=3CD=
，∴
CD
∥
x
轴，且
2
′的中点，
O
为
DDD
∵点′和
点
D
关于
x
轴对称，∴
31
OP=CD=-1D
′（
< br>0
，
）
，∴
OP
为△
CDD
′的中位线，∴，
22
3
△<
/p>
CDD
′中，∴
点
P
的坐标为（﹣，
0
）
．在
Rt
2
2222
?
4
DDCD
3
??
5.
CD
′
=
的最小值为
=5
< br>，即
=PC+PD
坐标；若题型变、点
P
【
小结
】还可用中点坐标
公式先后求出
点
C CD
′的解析不
是化，
C
、
DAB
和
OB
中点时，则先求直线
.
P
的坐标式，再求其与
x
轴的交点
1-2
典型例题
B
，点
< br>1
）如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
的坐标为（
0
，
3
最，
点的坐标为（，﹣
2
）
P
在直线
y=
﹣
x
上运动，当
|PA
﹣
PB
|
2
_________. PB|
的
最大值是
P
大时点的坐标为
_____
____
，
|PA
﹣
< br>
，
y=
【
< br>分析
】符合基本模型
4
的特征，
作
A
关于直线﹣
x
对称点
C x
连接
BC
，可得直线
BC
的方程；求得
< br>BC
与直线
y=
﹣的
交点
P
的坐标；此时<
/p>
|PA
﹣
PB|=|PC
﹣
PB|=BC
取得最大值，
.
再用两点之间的距离公式求此最大值
BCBC
，可得直线；连接的坐标为（﹣
1
，
0
）
C
解答
【】作
A
关于直线
y=
﹣
x
对称点，易得
C
44
|PA
）
；此时
4P
为（
4
，﹣的方程为
y=
﹣
xy=
﹣，与直线﹣
x
联立
解得交点坐标
552241
)(
?
2(
?
1)
?
3
PB|=|PC
﹣
PB|=BCBC==
取得最大值，最大值；﹣
22
.
，需作一次对称点，连线得交点
2
和
4
】
【
小结
“两点一线”大多考查基本模型
1-1
变式训练
）
，
，已知菱形
OABC<
/p>
在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点
A
（
50
，
当
CP+DPOBOB=4
5
，
点
P
是对角线上的一个动点，
√
时，
点
< br>P
的坐标为
（
）
最短
0D
（，
1
）
510361
，
．
）
1
．
00
．
A
（，
）<
/p>
B
（，
C
（
（．
）
D
，
）
77552
．
1-2
变式训练
AC=2
，和如图，菱形
ABCD
中，
对角线
ACBD
交于点
O
，
的上一动点，则
PE
+PB
3
,E
为
AB
的
中点，
P
为对角线
BD=2AC
√
____
______.
最小值为
1-3
变式训练
11
与直线交于
x+bx+
cD
，抛物线
y=x+1
如图，已知直
线
y=
与
y
轴
交于点
A
，与
x
轴交
2
于点
22
．
01
，
）
A
、
E
两
点，与
x
轴交于
B
、
C
两点，
且
B
点坐标为
（
< br>）
求该抛物线的解析式；
（
1.
的值最大，求出点
MC|M
的坐标（<
/p>
2
）在抛物线的对称轴上找一点
M
，使
|AM
﹣
拓展模型
1.
已知：如图，
A
为锐角∠
MON
外一定点；
，使上找一点
Q
上找一点
P
，在射线
ON
要求：在射线
OM
.
AP+PQ
的值最小
解：过
点
A
作
AQ
⊥
ON
于点
Q
，
AQ
与
OM
相交于点
P
，此
时，
AP+PQ
最小；
理由：
AP+PQ
≧
AQ
，当且仅当
A
、
P
、
Q
三点共线时，
AP+PQ
取得最小值
AQ
，根据垂线段最短，当
AQ
⊥
ON<
/p>
时，
AQ
最小
.
2.
已知：如图，
A
为锐角∠
MON
内一定点；
，使上找一点
ONQ
，在射线上找一点要求：在射线
OMP
.
的值最小
AP+PQ
．
ON
AQ
⊥的对称点
A
′，<
/p>
过点
A
′作
解：
作点
A
关
于
OM
AP+PQ
最小；
交
OM
于点
P
，
此时于点
Q
，
A
′
Q
AP+PQ
最小，
AP=A
′
P
，要使理由：
由轴对称的性质知
1 P+PQ
最小，从而转化为拓展模型只需
A
′
为锐
角∠
MON
内一定点；
已知：如图，
A
3.
，使，在射线
ON
上找一点
Q
要求：在射线
OM
上找一点
P
的周长最小
△
APQ
的
对
,
关于
ON
解：分别作
A
点关于直线
OM
的对称点
A
1
于点
ONQ
，点
A
交
OM
于点
P
，交称点
A
，连接
A
此时△
APQ
周长最小，
最小值
P
和点<
/p>
Q
AA
的长度；
即为线段
21
，
< br>△
APQ
的周
AP=AP
，
221
即为所求，
AQ=AQ
理由：由轴对称的性质
知
21
A
四点共线、
P
、
Q
、
< br>P+PQ+A
长
AP+PQ+AQ=AQ
，当
A
2112
.
时，其值最小
< br>内两个定点；
B
为锐角∠
MON
、
已知：如图，
A
4.
四边形
上找一点
Q
，使要求：在
OM
上找一点
P
，在
ON
APQB
的周长最小
，作点
B
关于直线
A
关于直线
OM
的对称点
A
′解：作点
Q
，
P
，交
ON
于交的对称点
ONB
′，连接
A
′
B
′
OM
于
周
长的、点
Q
即为所求，此时四边形
APQB
则点
P
′′<
/p>
B
的长度之和；最小值即为线段
AB
和
A ,
将
PA<
/p>
理由：
AB
长为定值，由基本模型将
PA
转
化为′
B
′四点共线时，
、
、′
QB
转化为
QB
，当
A
′
P
、
Q
.
QBPQPA
′<
/p>
+
′
+
PAPQ
QB
的值最小，即
++
的值最小
下方的定分别为
m
上方和
n
已知：如图，直线
m
∥
n,A
、
B
5.
搭桥模型
垂直）
（直线
AB
不与
m
点，
.
最小
PQ
，使得
AP+PQ+BQ
之间求作垂线段要求：在
m
、
n
最小，可通过平移，使
PQ
为
定值，只需
AP+BQ
分析：
，转化为基本模型、
Q
“
接头”
P
的方向，向下平移至
A
沿着平行于
PQ
解：如图，将点
交直线
n
于点′
AA
′
=PQ
，连接
AB
点
A
′，
使得
，
线段
PQ
即⊥
n
，交直线
m
于点
PQ
，过点
Q
作
PQ.
为所求，此时
AP+PQ+BQ
最小
′
=PA
，理由：易
知四边形
QPAA
′为平行四边形，则
QA
+BQ
最小，
即、
A
′三点共线时，
QA
′当
B
、
Q.
AP+PQ+BQ
最小
AP+BQ
最小
，
PQ
长为定值，此时
a
l
两侧，长度为
A
、
B
分布于直线
6.
已知：如图，定点
左边）上移动（
P
在
< br>Q (a
为定值
)
的线段
PQ
在
l
最小
要求：确定
PQ
的位置，使得
AP+P
Q+QB
的值最小，可通过平移，
P
Q
为定值，只需
AP+QB
分析：
，转化为基本模型、
Q
< br>“接头”使
P
A
′，使解：将点
A
沿着平行于
l
的方向，向右移至
在
AA
′
=
PQ=a,
连接
A
′
PQ<
/p>
即为所求，
此时在
Q
左边）
，
则线段
PQ=a
l
上截取交直线
B
l
于点
Q
，
（
PB+a
′′
B+PQ
，即
AAP+PQ+QB
的最小值为
A
′为平行四边形，则
PA=QA
< br>，理由：易知四边形
APQA
′
PA+QB +QB
最小，即、
QB
三
点共线时，
QA
′
A
< br>当′、
.
值最小最小，又
P
Q
长为定值此时
PA+PQ+QB
a
l
的同侧，长度、
7.
已知：如图，定点
AB
分布于直线
左边）
Q
在
P
上移动（
l
在
PQ
的线段
)
为定值
(a
< br>周长最小
要求：
确定
PQ
的位置，
使得
四边形
APQB
点分析：
AB
长度确定，
只需
AP+PQ+QB
< br>最小，
通过作
A3
的对称点，转化为上述模型关于
l
l
Al
的对称点
A
′，将点′沿着平行于解：
作
A
点关于
B
′
A
′′
=PQ=a
，
连接
A
′′的方向，
向右
移至
A
′′，使
A
（
P
在<
/p>
Q
左边）
，线段交
l
于
Q
，在
l
上截取
QP=a APQB
周长的最
小值为
PQ
即
为所求，此时四边形
B+AB+a
A
′′′′
B+AB+PQ
，即
A
2-1
典型例题
AC
、
N
分别是线段如图，
在矩形
ABCD
中，
AB=10
，
BC=5
，
若点
M
．
上的两个动点，
则
ABBM+MN
、
的最小值为
< br>，再过
EAC
的对称点关于【
分
析
】符合拓展模型
2
的特征，作点
B
的最小值，借
BM+MNAB
的垂线
段，该垂线段的长即点
E
< br>作
.
助等面积法和相似可求其长度
，
BM+MN=EM+MN
作
EN
⊥
AB
于
N
，则
E
解答
【】作点
B
关于
AC
的对称点
E
，再过点
，其最小值即
EN
长；∵
AB=10
，
BC=5
22
BCAB
?
5
，∴
=5AC=
510
?
55
，
=2
等面积法求得
AC
BE=4
边上的高为，∴
55
，∴∽△
ABCENBEN=8
．
易知△，代入数据解得
8
．即
BM+MN
的最小值为】该类题的思路是通过
作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作【
小结
有些题则作动点的定点或动
点关于定直线的对称点，有些题作定点的
对称点易解，
.
对称点易解
2-2
典型例题
（的动点，
OB
上异于点
O
则
分别、
NAOB
内的定点且
OP=
，点
MP
如图，∠
AOB=60
°，点
是∠
）
△
PMN
周长的最小值是
、是射线
OA
．
AB
．
．
6 D3
C
．
分别
交
D
，连接
CDOA
< br>、
OB
的对称点
C
、
【分析】符合拓展模型
3
的特征；作
P
点分别关于，
OC
、
OD
，此时△
PM
N
周长最小，其值为
CD
长；根据对称
性连接
OA
、
OB
于
M
、
NCD.
是顶角为
120
°的等腰三角形，作底边上高，易求
底边分析条件知△
OCD
N
，如图，
、
OB
于
M<
/p>
、的
对称点
OA
、
OBC
、
D
，连接
CD
分别交
OA
【解答】作
P
点分别关于
，
BOD
，
∠
AOP=
∠
AOC
< br>则
MP=MC
，
NP=ND
，
OP=OD=OC=
，∠
BOP=
∠
°，∠
AOC=2
∠
AOB=120PN+PM+MN
=ND+MN+NC=DC
，∠
COD=
∠
BOP+
∠
BOD+
∠
AOP+
∴
，⊥
CD
于
H
∴此时△
PMN
周长最
小
，作
OH
OC=OH=
，则
CH=DH
，∵∠
OCH=30
°，∴
CD=2CH=3<
/p>
．
CH=OH=
，∴
即△
PMN
周长的最小值是
3
；
故选：
D
．
【小结】根据对称的性质，
发现△
OC
D
是顶角为
120
°的
等腰三角形，是解题的关键，也是难点
.
2-3
典型例题
，
OC=6D
，
AD=2
轴于点为
x
轴，建
所在的直
线为原点，
OCABCO
，以点
O
如图，已知平行四边形，
立直角坐标系，
A
B
交
y
为点
P
所在的直线为
OD
的垂直平分线，
∠
A=60
°，
线
段
EF
轴
x
与
E
′关
于线段
EF
上的动点，
PM
⊥
x
轴于点
M
点，点
E
′
M
．对称，连接<
/p>
BP
、
E
；
（
1
）请直接
写出点
A
< br>坐标为
，点
B
坐标为
.
的坐标
BP+PM+ME
′的长度最小时，请求出点
P
（
2
）当
的长即可解决；
，
BD
【分析】
（
1
）解直
角三角形求出
OD
，可得
OP=EM
符合（
2
）
“搭桥模型”的特征；首先证明四
边形
OPME
′是平行四
边形，点为<
/p>
P
′的长度最小，此时
PM
是定值，
PB+ME
′
=O
P+PB
的值最小时，
BP+PM+ME
点坐标；
OB
与
EF
的交点，结合
OB
的解析式可得
P
直线
ADO
中，∵∠
A=60
°，
AD=2
，
（
【解答】
1
）在
Rt
△
）°
OD
=2?tan60=2
，∴
A
（﹣
2
，
2
∴
，∵四边形
ABCO
是平行四边形，∴
AB=OC=6
，
，∵如图，
（
2
）连接
OP
．
EF
垂直平分线段
ODPM
⊥
OC PEO=
是矩
）
4B
（，
22=4
∴
DB=6
< br>﹣，∴
，
形，°，∴四边形∠
∠
EOM=PMO=90OMPE
∴∠
′，∴，∵∴
PM=OE=OE=O
EPM=OE
′，
OE
∥′，
PM,
′是平行四边形
OPME
∴四边形．
′的长度
最小，∴
OP=EM
，∵
PM
是定值，∴
PB+ME
′
=OP+PB
的值最小时，
BP+PM+ME
B
共线时，
BP+PM+
ME
′的长度最小，∵直线
OB
的解析
式为
y=
，
x
∴当
O
、
P
、
）
（∴
P
（构
造平行四边求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移
．
2
，
【
小结
】
.
形）的方法，转化为基本模型
2-4
典型例题
的顶点坐标分△
AOB
如图所示，在平面直角坐标系
中，
Rt
，把△绕点）
（﹣
2
，
0
，
O
（
0
，
0
）
，
B
（
0
，别为
A
90
°，得到△
COD
．按顺时针方向旋转
OAOB4
）
C
、
D
两点的坐标；
（
1
）求
三点的抛物线的解析式；
、
D
（
2
）求经过
A
、
BFE
< br>在点
E
（
3
）在（
2
）
中抛物线的对称轴上取
两点、
F
（点、求出
E
的上方）
，且
EF=1
，
使四边形
ACEF
的周长最小，
两
点的坐标．
F
点，结合直线的
F
【
分析
】符合拓展模型
7
的特征，通过作
对称、平移、连线，可
找出
E
、
、
解析式和抛物线的对称轴可解出
EF
坐标
.
解答
】
（
1
）
由旋转的性质可知：
OC=OA=2
，