小学奥数同余问答
党员转正意见-贯的组词
,.
同余问题（一）
在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的
问题。如：现在时刻
是
7
时
30
分，再过
52
小时是
几时几分？我们知道一天是
24
小时，
，
也就是说
52
小时里包含两个整天再
加上
4
小时，
这样就在
7
时
30
分的基础上加上
4
小时，
就是
11
时
30
分。
很
明显这个问题的着眼点是放
在余数上了。
1.
同余的表达式和特殊符号
37
和
44
同除以
7
，余数都是
2
，把除数
7
称作“模<
/p>
7
”，
37
、<
/p>
44
对于模
7
同
余。
记作：
（
mod7
）
“
”读作同余。
一般地，
两个整数
a
和
b
，
除以大于
1
的自然数
m
所得的余数相同，
就称
a
、
b
对于模
m
同余，记作：
2.
同余的性质
（
1
）
（
2
）若
（
3
）若
性）
（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
，那么
，
，则
（这称作同
余的对称性）
（这称为同余的传递
,.
（
4
）若
余的可加性、可减性）
，
，则
（
）（这称为同
（称为同余的可乘性）
（
5
）若
有趣的现象：
如果
那么
（
，则
，
n
为正整数，同余还有一个非常
的差一定能被
k
整除）
这是为什么呢？
k
也就是
的公约数，所以有
下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
,.
例
1.
用
4
12
、
133
和
257
除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然
数
最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是
a
，因为
412
、
133
和
257
除以
a
所得的余数相同，所
以
，
，说明
a
是以上三个数中任意两数差
的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以
a
最大是
31
< br>。
例
2.
分析与解答：
除以
19
，
余数是几？
如果把三个数相
乘的积求出来再除以
19
，就太麻烦了，利用同余思想解决就<
/p>
容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
,.
例
3.
有一个
1997
位数，它的每个数位都是
2
，
的第
100
< br>位是几？最后余数是几？
分析与解答：
这个数除以
13
，商
这个数
除以
13
，商是有规律的。
商是
170940
六个数循环，那么
，即
，我们
从左向右数“
1709
40
”
的第
4
个数就是我们找的那个数“
9
”，所以商的第
< br>100
位是
9
。
余数是几呢？
则
所以商的个位数字应是
“
170940
”
中的第
4
个，
商应是
9
< br>，
相应的余数是
5
。
【模拟试题】
（答题时间：
20
分钟）
1.
求下列算式中的余数。
,.
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2. 6254
与
37
的积除以
7
，余数是几？
3.
如果某数除
482
，
992
，
1094
都余
74
，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例
1.
除以
7
，余数是几？
分析与解答：
例
2.
一个自然数除以
3
余
< br>2
，除以
5
余
< br>3
，除以
7
余
< br>1
，这个自然数最小是
几？
,.
分析：
假设这个自然数为
a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，
使它们的余数相同，
利用整除的知识
，
便容易考虑了，
先看下面一道题：
一个自然数除以
3
余
< br>2
，除以
5
余
< br>2
，除以
7
余
< br>2
，那么，这个自然数若减
去
2
，便同时是
3
，
5
，
7
的倍数，这样的自然数有：<
/p>
105
，
21
0
，
315
，……
分别被
3
，
5
，
7
除余
2
的数是
2
，
107
，
212
< br>，
317
，……
最小的自然数是
2
。
回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？
稍加变式，可以写成：
这样同时是
3
，
5
，
7
倍数的数有
10
5
，
210
，
315
，……
那么同时被
3
，
5
，
7
余
8
的数有：
8
，
113
，
218
，
323
，……
其中最小的自然数为
< br>8
。
,.
< br>例
3.
在求
51173526<
/p>
被
7
除的余数时，小明这样做：
所以余数是
5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？
分析与解答：
看了下面的算式，你就会明白的。
< br>小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几
除的余
数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直
可以“置之不理
”，这样可以使解答过程简化。
例
4.
分析与解答：
在上式的加项中，
显然可以被
3
整除，因此只须计算
被
3
除余数是
几。
由于
因此
<
/p>
除以
3
的余数是几？为什么？
,.
由此可知，只须计算
被
3
除的余数。由于
所以余数是
1
【模拟试题】
1.
今天是星期日，再过
2.
求
被
3
除的余数，它又等于
，所以
天又是星期几？
除以
3
所得的余数。
3.
某数除
680
，
9
70
和
1521
，余数相同，这个数最
大是几？
4.
有一列数排成一行，
其中第一个数是
3
，第二个数是
7
，从第三个数开始，每
个数恰好是前两个数的和，那么，第
1997
个数被
3
除，
余数是几？
5.
若将一批货物共<
/p>
千克装入纸箱，每箱装
10
千克，最后余
多少千克？若每
箱装
17
千克，最后还
余多少千克？
6
、
< br>1309
被一个质数相除，余数是
21
< br>，求这个质数。
7
、
1796
被一个质数相除，余数是
24
，求这个质数。
8
、求
2001
×
2
000
除以
7
的余数。
,.
9
、求<
/p>
123
×
345+234
×
456
除以
11
的余数。
10
、有一个大于
< br>1
的整数，它除
1000
、
1975
、
2001
都得到相同的余数，那么这个整数是
多少？
11
、有
三个数
1989
、
901
和
306
被同一个自然数除，得到相同的余数，求这
个自然数。
12
、两个自然数相除，商
15
，
余
3
，被除数、除数、商、余数的和是
853
，求被除数。
8
、两数相除商
40
余
7
，被除数、除数、余数和
商的和是
710
，求被除数。
13<
/p>
、有一个数除以
3
余
1
，除以
4
余
2
，问这个数除以
12
，余数是几
？