小学奥数教程之-几何计数
不折不扣的意思-学习感想
7-8-3.
几何计数（三）
教学目标
1.
掌握计数常用方法；
2.
熟记一些计数公式及其推导方法；
3.
根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法
等，并渗透分类计数和用
容斥原理的计数思想．
知识要点
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图
分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可
以找到一些
处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．<
/p>
n
条直线最多将平面分成
1
n
个圆最多分平面的部分数为
n
(
n
-1)+2
；
n
个三角形将平面最多分成
2
2
3<
/p>
……
n
(
n
2
n
2)
个部分；
2
3
n
(
n
-1)+2
部分；
n
个四边形将平面最多分成
4
n
(
n
-1)+2
部分
……
在其它
计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、
< br>综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的
事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先
后顺序无关，
只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条
线段上有
n
+1
个点
< br>(
包括两个端点
)
（或含有
n
个
“
基本线段<
/p>
”
）
，那么这
n
+1
个点把这条
线段一共分成的线段总
数为
n
+(
n
-
1)+…+2+1
条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法）
，因为<
/p>
DE
上有
15
条
线段，每条线段的
两端点与点
A
相连，
可构成一个三角形，共有
15
个三角形，同样一边在
BC
上的三角形也有
15
个，所以图
中共有
30
个三角形．
A
D
B
E
C
数长方形、平行
四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形）
，若其横边上共有
n
条线段，
纵边上共有
m
条线段，则图中共有长方形（平行四边形）
mn
个．
例题精讲
模块一、立体几何计数
7
-
8
-3.
几何计数（三
）
.
题库
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12
【例
1
】
用同样
大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了
__________
块小正方体。
【考点】立体图形几何计数
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
一
共有：
4
3
1
4<
/p>
9
50
（块）
。
【关键词】迎春杯，中年级，初试，
6
题，走美杯，
4
年级，决赛，第
8
题
【答案】<
/p>
50
块
【例
2
】
将
32
个相同的小正方体拼成一个体积为
32
立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中
有
2
个面涂红的小正方体有
24
个，则有
1
个面涂红的小正方体有
个。
【考点】立体图形几何计数
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
4
年级，第
7
题
32
2
5
，所以这个长方体的尺寸只有
1
1
32
，
1
2
16
，
1
4
8
< br>，
2
2
8
，
2
4
4
五种情
况，
【解析】
其中只有尺寸为
2
2
8
的长方体的表面染色后，有
24
个正方体有
2
个面涂红，所以有
1
个面涂红的
小正方体有
0
个。
【答案】
0
【例
3
】
如图是
一个由
27
个棱长为
1
的白色小正方体木块粘成的棱长为
3
的正方体木块，现
任意挖去其中
的
3
个棱长为
1
的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的
24
个棱长为
1
的
小正方体中恰好有
3
面涂蓝漆的最多能有
____
个
.
【考点】立体图形几何计数
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
5
年级，第
12
题
【解析】
1
）角块本身为
3
面暴露在外的小
方块；
2
）挖去外侧面中部的小方块
，能够增加
4
块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成
8
块
3
面涂
漆的小方块，为最优方案
3
）因此挖去对称的
2
块外侧中部的小方块后，将产生<
/p>
16
块
3
面暴露
在外的小方块
4
）然后再挖去任意一
个外侧面中部的小方块，将增加
3
块
3
面暴露在外的小方块，但同时破坏原
来的
2
块
3
面
在外的小方块
.
5
）所以最多有
17
块
3
面涂漆的
小方块
【答案】
17
模块二、几何计数的应用
【例
4
】
如图，
每个小正方形的面积都是
l
平方厘米。
则在此图中最多可以画出
__________
个面积是
2
平方
厘米的格点正
方形
(
顶点都在图中交叉点上的正方形
)
。
【考点】几何计数的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
7
-
8
-3.
几何计数（三）
.
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12
【关键词】希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
每
两行正方形可确定
3
个面积是
2
平方厘米的格点正方形
,
总共有
:3×
3=9(
个
)
【答案】
9
【巩固】
图
中的每个小方格都是面积为
1
的正方形，面积为
2
的矩形有
个。
【考点】几何计数的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，二试，第
8
题
【解析】
4
×
4+3×
5=31
【答案】
31
个
【巩固】
下
图是由
25
个面积等于
1
的小正方形组成的大正方形，图中面积是
6
的长方形
有
个。
【考点】几何计数的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，四
年级，二试，第
4
题
【解析】
每
两行正方形可确定
3
个面积是
2
平方厘米的格点正方形
,
< br>总共有
:
3
< br>4
2
24
(
个
)
【答案】
24
个
【例
5
】
如图所
示，在边长为
1
的小正方形组成的
4×
4
方格图中，共有
25
个格点。在以格点为顶点的直角
三角形中，两条直角边长分别是
1
和
3
的直角三角形共有
个。
【考点】几何计数的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】华杯赛，决
赛，第
2
题
【解析】
我
们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形
< br>的个数就得到所求的总数：
4×
2×
2×
4
＝
64
（个）
【答案】
64
【例
6
】
用
9
个钉子钉成相互间隔为
1
厘米的正方阵
(
如右图
)
．
如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来
就得到一个三角形，
这样得到的三角形中，
面积等于
1
平方厘米的三角形的个数有多少？
面积等于
2
平方厘米的三角形有多少个？
【解析】
面
积等于
1
平方厘
米的三角形有
32
个．
面积等于
2
平方厘米的三角形有
8
个．
(1)
< br>面积等于
1
平方厘米的分类统计如下：
< br>
7
-
8
-3.
几何计数（三）
.
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12
底为<
/p>
2
，高为
1
底为
2
，高为
1
底为
1
，高为
2
3×2=6(
个
)
3×2=6(
个
)
3×2=6(
个
)
①
②
③
底为
1<
/p>
，高为
2
底为
2
，高为
1
底为
1
，高为
2
3×2=6(
个
)
2×2=4(
个
)
2×2=4(
个
)
< br>所以，面积等于
1
平方厘米的三角形的个数有：
6+6+6+6+4+4=32(
个
)
．
(2)
面积等于<
/p>
2
平方厘米的分类统计如下：
④
⑤
⑥
3×2=6(
个
)
1×2=2(
个
)
所以，面积等于
2
< br>平方厘米的三角形的个数有：
6+2=8(
个
)
．
【例
7
】
下图中
的正方形被分成
9
个相同的小正方形，它们一共有
16
个顶点（共同的顶点算一个）
，以其
中不在一条直线上的
3
个点为顶点，可以构成三角
形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小
面积的有多少个？
【考点】几何计数的应用
【难度】
3
星
【题型】解答
【
解
析
】
1
．显然应先求出阴影三角形的面积
设原正方形的边长是
3
，则小正方形的边长是
1
，阴影三角形的面积是
½×
2×
3=3
2
．思考图中怎样的三角形的面积等于
3
（
1
）一边长
2
，这边上的高是
3
的三角形的面
积等于
3
（即形如图中阴影三角形）
．
这时，长为
2
的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有
2×
4×
4=32
（个）
；
（
2
）一边长
3
，这边上的高是
2
的三角形的面积等
于
3
．
这时
，长为
3
的边是原正方形的一边或平
行于一边的分割线．这样的三角形有
8×
2=16
（个）注意：不能与（
1
）
中的三角形重复，所以这样
的三角形共有
32+16=48
（个）
．
【答案
】
48
个
【巩固】
图
中每个小正方形的边长都是
l
厘米，则在图中最多可以画出面积
是
3
平方厘米的格点三角形
(
顶点
在图中交叉点上的三角形
)____
个。
【考点】几何计数的应用
【难度】
3
星
【题型】填空
7
-
8
-3.
几何计数（三）
.
题库
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12
【关键词】希望杯，五年级，一试，第
11
题
【解析】
< br>由
三角形面积为
3
平方厘米
,
可知三角形的底
×
高为
6
，
6=1×
< br>6=2×
3
，
因为图形中长方形
的长为
3
厘米，
宽为
< br>2
厘米。
当三角形的底
=3
厘米时，
有
4×
2
=8
种情况，
；
当底
< br>=2
厘米时，
有
1×
2=2
种情况。
所以，
一
共有
8+2=10
个。
【答案】
10
个
【例
8
】
在一个
圆周上有
8
个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形
，可以作出
个等
腰三角形
．
【考点】几何计数的应用
【难度】
4
星
【题型】解答
【
解
析
】
由
于
8
个点正好把圆周八等分，所以以
其中的任何
3
个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任
意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有
8
个顶点，所以一
共有
3<
/p>
8
24
个等腰三角形，
而且这些等腰三角形互不相同
(
否则，
假设其中有两个等腰三角形相同，
< br>这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，
只能是不同的顶点，
这样这个等腰三角形必定是正三角形，
与前面的分析不合
)
，所以可以作出
24
个等腰三角形．<
/p>
【答案】
24
个等腰三角形
【例
9
】
圆周上
十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？
【考点】几何计数的应用
【难度】
4
星
【题型】解答
【
解
析
】
圆
周上
4
点构成一个四边形，四边形两
条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为
“
圆周上
10
个
点可以组成多少个以他们为定点的四边形
？
”
利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：
10
9
8
7
< br>
4
3
2
1
210
个．所以交点有
210
个．
【答案】
210
个
【例
10
】
圆<
/p>
周上有
8
个点，两点所连的线段叫
“
弦
”
，每两点连一
条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各
弦互不相交的连法共有
________
种．
【考点】几何计数与找规律
【难度】
4
星
【题型】解答
【
解
析
】
本
题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有
2
个点，只有
1
种连法；
若圆周上只有
4
个点，先选中
1
个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有
1
种连
法，所以此时有
1
2
2
种连法；
若圆周上只有
6
个点，先选中
1
个点，此时它可以
与相邻的
2
个点相连，也可以相对的
1
个点相连，
若与相邻的点相连，剩下的
4
个点有
2
种连法；若与相对的点相连
，剩下的
4
个点只有
1
种连法，
所以此时有
2
2
1
5
种连法；
若圆周上
只有
8
个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的
2
个点相连，也可以与与它相隔
2
< br>个点
的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的
6<
/p>
个点有
5
种连法；若与相隔两个点的点相
连，剩
下的
6
个点被分成两边，一边<
/p>
2
个点，只有一种连法，一边
4
个点，有
2
种连法．所以此时共有
5
2
< br>2
2
14
种连法．
【答案】
14
种连接法
【例
11
】
九<
/p>
个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点
A
走到点
B
，每次只能沿着小正方形的对角线从一
个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）
．那
么从点
A
走到点
B
共有
________
种不同的走法．
7
-
8
-3.
几何计数（三）
.
题库
教师版
page
5
of
12
【考点】
几何计数的应用
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，五
年级，初试，
10
题
【
解
析
】
路
线相当于右
图中从
A
到
B
的不同路线（不走重复路线），从
A
到
C
、
D
到
B<
/p>
方法都唯一，从
C
出
发有
3
种方向，从
D
出发也有
3
种方向（不一定是最短路线），根据乘法
原理，共有
3
3
9
种不同
走法。
【答案】
9
种
【例
12
】
国<
/p>
际象棋中
“
马
”
的走法如图所示，位于
○
位置的
“
马
”
只能走到标有
×
的格中．在
5×
5
个方格的国际
象棋棋盘上（如右图）放入四枚白马（用<
/p>
○
表示）和四枚黑马（用
●
表示）
．要求将四枚白马移至四
枚黑马的位置，将四
枚黑马移至四枚白马的位置，而且必须按照国际象棋的规则，棋子只能移动到
空格中，每
个格最多放一枚棋子．那么最少需要
__________
步．
×
×
○
×
×
×
×
×
×
○
○
○
○
【考点】
几何计数的应
用
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，四
年级，初赛，
4
题
【
解
析
】
需
要移动
8
枚棋子，任意棋子只移动一步是无法到达目的空格当中的，所以，
最少需要
8
2
16
步，
具体方案：如下图，用四
步交换两枚棋子到目的空格当中．用同样的方法处理其他
6
枚棋
子．一共
需要
16
步．
3
1
2
4
【答案】
16
步
【例
13
】
请<
/p>
将三个
“
数
”<
/p>
、三个
“
学
”<
/p>
、三个
“
美
”<
/p>
填入右图中，使得每一横排、每一竖排都有这三个字，如果
在左上
角摆上
“
数
”
，那么可能有
_______
几种不同的摆法。
【考点】复杂乘法原理
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，五
年级，初赛，第
9
题
【解析】
由
于有一个
“
数
”
已经填在左上角的方格内，所以剩下的
2
< br>个
“
数
”
只有两种填法，如下图所示：
对于上面的两个
3
3
方格，
只要任何一个空
白方格中填入一个字，
则这个
3
3
方格都只有唯一
填法，比如对于上左图，
在第二行第一列填入
“
学
”
，则第三行第一列和第二行第三列都只能填
“
美<
/p>
”
；则第三行第二列和第一行第三列都只能填
“
学
”
，第一行第二列只能填
“
美
”
。所以只要
确
定某一个空白方格中填的字，
也就确定了整个
3
3
方格的填法。
而现在每个空白方格中可以填
7
-
8
-3.
几何计数（三）
.
题库
教师版
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12