香菱学诗教案-网络俏皮话

全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题7分，满分42分。每小题 均给出了代号为
A
，
B
，
C
，
D
的四个结 论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的
括号里）
1、
a
，
b
，
c
为有理数，且等式
ab2c3526
成 立，则
2a999b1001c
的
值是（ ）
A
、1999
B
、2000
C
、2001
D
、不能
确定
2 、若
ab1
，且有
5a
2
2011a90
及
9b
2
2001b50
，则的值是（ ）
a
b
A
、
B
、
C
、

9
5< br>5
9
20012001

D
、


59
3、已知在
ABC
中，< br>ACB90
，
ABC15
，
BC1
，则
AC
的长为（ ）
A
、
23

B
、
23

C
、
03

D
、
32

4、如图，在
ABC
中，
D
是边
AC
上的一点，下面四种情况中，
ABD
∽
AC B
不
一定成立的情况是（ ）
A
、
ADBCABBD

B
、
AB
2
ADAC

C
、
ABDACB

D
、
ABBCACBD

bb
2
4a c
5、①在实数范围内，一元二次方程
axbxc0
的根为
x
；②在
2a
2
若
AC
2
BC
2
AB
2
，则
A
③在
ABC
和
A
1
B
1
C
1
中，
a
，
b
，
AB C
中，
BC
是锐角三角形；
c
分别为
ABC
的三 边，若
aa
1
，bb
1
，cc
1
，则
A
a
1
，b
1
，c
1
分别为
A1
B
1
C
1
的三边，
BC
的面积
S< br>大于
A
1
B
1
C
1
的面积
S1
。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
A
、0
B
、1
C
、2
D
、3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折 扣；
②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超
过 500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某
人两次去购物， 分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付
款是（ ）
A
、522.8元
B
、510.4元
C
、560.4元
D
、
472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点
P
在直角坐标系中的坐标 为（0，1），
O
为坐标原点，
QPO15
，且

P
到
Q
的距离为2，则
Q
的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点
P
，则点
P
到两圆外公 切线的距离
为 。
3、已知
x，y
是正整数 ，并且
xyxy23，x
2y
xy
2
120
，则
x
2
y
2

.
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整
数为 .

三、解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点
A
（0 ，1），
B
（1，3），
C
（2，6）；已知直线
yaxb上
横坐标为0、1、2的点分别为
D
、
E
、
F
。试求
a，b
的值使得
AD
2
BE
2
CF2
达到最大
值。（20分）













2、（1）证 明：若
x
取任意整数时，二次函数
yax
2
bxc
总 取整数值，那么
2a，ab，c
都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）

3、如图，
D< br>，
E
是
ABC
边
BC
上的两点，
F
是
BC
延长线上的一点，
DAECAF
.
（1）判断ABD
的外接圆与
AEC
的外接圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）若
ABD
的外接圆的半径的2倍，
BC6
，
AB4，求
BE
的长。


F

A


B
D E
C












四、解答题：
1、如图，
EFGH
是正方形
ABCD
的内接四边形，两条对角线
E G
和
FH
所夹的锐角
为θ，且∠
BEG
与∠
CFH
都是锐角。已知
EGk
，
FH
，四边形
EFGH的面积为
S
。
（1）求证：
sin


2S
；
kl
（2）试用
k，，S
来表示正方形的面积。




A
E
θ
O
H
D
G
B
F
C

2、求所有的正整数
a
，
b
，
c
，使得关于
x
的方程
x
2
3ax2b0
，
x
2
3bx2c0
，
x
2
3cx2a0
的所有的根都是正 整数。

















3、在锐角< br>ABC
中，
ADBC
，
D
为垂足，
DEAC< br>，
E
为垂足，
DFAB
，
F
为
垂足。O
为
ABC
的外心。
求证：（1）
AEF
∽ABC
；（2）
AOEF

4、如图，在四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O
，直线
l
平行于
B D
，且与
AB
、
DC
、
BC
、
AD
及
AC
的延长线分别相交于点
M
、
N
、
R
、
S
和
P
。
求证：
PMPNPRPS

A
B
O
D
C
l
M
N P R
S

全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（本题共6小题，每小题 7分，满分42分。每小题均给出了代号为
A
，
B
，
C
，< br>D
的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的
括号里） 1、
a
，
b
，
c
为有理数，且等式
ab2 c3526
成立，则
2a999b1001c
的
值是（ ）
A
、1999
B
、2000
C
、2001
D
、不能
确定
2 、若
ab1
，且有
5a
2
2011a90
及
9b
2
2001b50
，则的值是（ ）
a
b
A
、
B
、
C
、

9
5< br>5
9
20012001

D
、


59
3、已知在
ABC
中，< br>ACB90
，
ABC15
，
BC1
，则
AC
的长为（ ）
A
、
23

B
、
23

C
、
03

D
、
32

4、如图，在
ABC
中，
D
是边
AC
上的一点，下面四种情况中，
ABD
∽
AC B
不
一定成立的情况是（ ）
A
、
ADBCABBD

B
、
AB
2
ADAC

C
、
ABDACB

D
、
ABBCACBD

bb
2
4a c
5、①在实数范围内，一元二次方程
axbxc0
的根为
x
；②在
2a
2
若
AC
2
BC
2
AB
2
，则
A
③在
ABC
和
A
1
B
1
C
1
中，
a
，
b
，
AB C
中，
BC
是锐角三角形；
c
分别为
ABC
的三 边，若
aa
1
，bb
1
，cc
1
，则
A
a
1
，b
1
，c
1
分别为
A1
B
1
C
1
的三边，
BC
的面积
S< br>大于
A
1
B
1
C
1
的面积
S1
。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）
A
、0
B
、1
C
、2
D
、3
6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折 扣；
②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超
过 500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某
人两次去购物， 分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付
款是（ ）
A
、522.8元
B
、510.4元
C
、560.4元
D
、
472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）
1、已知点
P
在直角坐标系中的坐标 为（0，1），
O
为坐标原点，
QPO15
，且

P
到
Q
的距离为2，则
Q
的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点
P
，则点
P
到两圆外公 切线的距离
为 。
3、已知
x，y
是正整数 ，并且
xyxy23，x
2y
xy
2
120
，则
x
2
y
2

.
4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整
数为 .

三、解答题（共70分）
1、在直角坐标系中有三点
A
（0 ，1），
B
（1，3），
C
（2，6）；已知直线
yaxb上
横坐标为0、1、2的点分别为
D
、
E
、
F
。试求
a，b
的值使得
AD
2
BE
2
CF2
达到最大
值。（20分）













2、（1）证 明：若
x
取任意整数时，二次函数
yax
2
bxc
总 取整数值，那么
2a，ab，c
都是整数；
（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）

3、如图，
D< br>，
E
是
ABC
边
BC
上的两点，
F
是
BC
延长线上的一点，
DAECAF
.
（1）判断ABD
的外接圆与
AEC
的外接圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）若
ABD
的外接圆的半径的2倍，
BC6
，
AB4，求
BE
的长。


F

A


B
D E
C












四、解答题：
1、如图，
EFGH
是正方形
ABCD
的内接四边形，两条对角线
E G
和
FH
所夹的锐角
为θ，且∠
BEG
与∠
CFH
都是锐角。已知
EGk
，
FH
，四边形
EFGH的面积为
S
。
（1）求证：
sin


2S
；
kl
（2）试用
k，，S
来表示正方形的面积。




A
E
θ
O
H
D
G
B
F
C

2、求所有的正整数
a
，
b
，
c
，使得关于
x
的方程
x
2
3ax2b0
，
x
2
3bx2c0
，
x
2
3cx2a0
的所有的根都是正 整数。

















3、在锐角< br>ABC
中，
ADBC
，
D
为垂足，
DEAC< br>，
E
为垂足，
DFAB
，
F
为
垂足。O
为
ABC
的外心。
求证：（1）
AEF
∽ABC
；（2）
AOEF

4、如图，在四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O
，直线
l
平行于
B D
，且与
AB
、
DC
、
BC
、
AD
及
AC
的延长线分别相交于点
M
、
N
、
R
、
S
和
P
。
求证：
PMPNPRPS

A
B
O
D
C
l
M
N P R
S