【解 析】
三棱锥的高
hDG
2
OG
2
2510xx< br>2
x2510x

【解析】
S
△ABC
23 3x
1
33x
2

2
1
2
【解析】
则
VS
△ABC
h3x2510x
=325x
4
10x
5
3

5
4534
【解析】
令
f

x

25x10x
，
x(0,)
，
f


x

100x50x

2
【解析】
令
f


x

0
，即
x
4
2x
3
0
，
x2

【 解析】
则
f

x

≤f

2
< br>80

【解析】
则
V≤38045

【解析】
∴
体积最大值为
415cm
3

【解析】


三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。第
17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考
生 根据要求作答。

四、
（一）必考题：共60分。

39.

△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
△A BC
的面积为
a
2
．
3sinA
40.

（1）求
sinBsinC
；
41.

（2）若
6cosBcosC1
，
a3
，求
△ABC
的周长．

【解析】
本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识
的综合应用 .
1
a
2
【解析】
（1）
∵
△ABC
面 积
S
.且
SbcsinA

2
3sinA
a
2
1
bcsinA

【 解析】
∴
3sinA2
3
22
【解析】
∴
abc sinA

2
3
22
【解析】
∵
由正弦定理得sinAsinBsinCsinA
，

2
由
sinA0
得
sinBsinC
2
. < br>3
（2）由（1）得
sinBsinC
21
cosBcosC，
36
∵
ABCπ

∴
cos Acos

πBC

cos

BC

sinBsinCcosBcosC
1

2
又
∵
A

0，π


∴A60
，
sinA
1
3
，
cosA

2
2
由余弦定理得
a
2
b
2
c
2
bc9
①
由正弦定理得
b
aa
sin B
，
csinC

sinAsinA
a
2
∴< br>bc
2
sinBsinC8
②
sinA
由①②得
bc33

∴
abc333
，即
△ABC
周长为
333


42.

（12分）如图，在四棱锥
PABCD
中，
AB∥CD
中，且BAPCDP90
．
43.


44.

（1）证明：平面
PAB
平面
PAD
；
45.

（2）若
PAPDABDC
，
APD9 0
，求二面角
APBC
的余弦值．

【解析】
（1）证明：∵
BAPCDP90

【解析】
∴
PAAB
，
PDCD

【解析】
又∵
AB∥CD
，∴
PDAB

【解析 】
又∵
PDPAP
，
PD
、
PA
平面
PAD

【解析】
∴
AB
平面
PAD
，又
AB
平面
PAB

【解析】
∴平面
PAB
平面
PAD

【解析】< br>（2）取
AD
中点
O
，
BC
中点
E
，连接
PO
，
【解析】
∵
AB
CD

【解析】
∴四边形
ABCD
为平行四边形
【解析】
∴
OE
AB

【解析】
由（1）知，
AB
平面
PAD

【解析 】
∴
OE
平面
PAD
，又
PO
、
AD
平面
PAD

【解析】
∴
OEPO
，
OEAD

【解析】
又∵
PAPD
，∴
POAD

【解析】
∴
PO
、
OE
、
AD
两两垂直
OE

【解析】
∴以
O
为坐标原点，建立如 图所示的空间直角坐标系
Oxyz

0，0
【解析】
设
P A2
，∴
D2，

、
B

2，2，002< br>
、
C



、
P

0， ，2，2，0

，
0，2
【解析】
∴
PD2，
、
PB

2，2，2

、
BC
22，0，0


【解析】
设
n
x,y,z

为平面
PBC
的法向量



nPB0

2x2y2z0
【解析】
由

，得


nBC0
22x0



【解析】
令
y1
，则
z2
，
x0，可得平面
PBC
的一个法向量
n0,1,2


【解析】
∵
APD90
，∴
PDPA

【 解析】
又知
AB
平面
PAD
，
PD
平面
PAD

【解析】
∴
PDAB
，又
PAABA

【解析】
∴
PD
平面
PAB

【解析】
即
PD
是平面
PAB
的一个法向量，
PD2,0,2


【解析】
∴
cosPD,n
PDn
PDn
2
23

3
3

【解析】
由图 知二面角
APBC
为钝角，所以它的余弦值为

3

3

46.

（12分）
47.

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线
上随机抽取16个零件，并测量其尺 寸（单位：
cm
）．根据长期生产经
验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的 尺寸服从正态分布
N


，

2

．
48.

（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零 件中其尺寸
在


3

，

3


之外的零件数，求
P

X≥1

及
X
的数学期望；
49.

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在

3

，

3


之 外的零件，
就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当
天的生产过程进 行检查．
50.

（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：
51.

（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
52.


9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

53.


10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

54.

经计算得
x

x
i
9.97
，
s
i1
16
1
16
1

1 6
2
2
2

xxx16x

其中
x
i

i

i

0.212
，
16
i1
16


i1

16
． 为 抽取的第
i
个零件的尺寸，
i1，2，，

ˆ
，ˆ
，
55.

用样本平均数
x
作为

的估计值

用样本标准差
s
作为

的估计值
< br>利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除
ˆ
3

ˆ< br>，

ˆ
3

ˆ

之外的数据，用剩下的数 据估计

和

（精确到
0.01
）

< br>．

2

,则56.

附：若随机变量
Z
服从正态分布
N


，
P


 3

Z

3


0.9974
．
57.


0.9974
16
0.9592
，< br>0.0080.09
．



3

< br>之内的概率为
0.9974
，落在
【解析】
（1）由题可知尺寸落在< br>

3

，


3

，

3


之外的概率为
0.0026
． 0
【解析】
P

X0

C
16

10.9974

0.9974
16
0.9592
< br>0
【解析】
P

X1

1P

X0

10.95920.0408

0.0026


【解析】
由题可知
X~B
16，
【解析】
E

X

160.00260 .0416


3


之外的概率为
0.0026
，
【解析】
（2）（i）尺寸落在


3

，
由正 态分布知尺寸落在


3

，

3


之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理．

（ii）


3

9.9730.2129.334



3

9.9730.21210.606

10.606




3

，

3




9.334，

9.2 2

9.334，10.606

，

需对当天的生产过 程检查．
因此剔除
9.22

剔除数据之后：


9.97169.22
10.02
． < br>15

2
[

9.9510.02



10.1210.02



9.9610.02< br>


9.9610.02



10. 0110.02

2222
22222
2


9 .9210.02



9.9810.02


10.0410.02



10.2610.02


9.9110.02

2222


10.1310.02



10.0210.02



10.0410.02



10.05 10.02



9.9510.02

]
 0.008
2
1
15



0.0080.09

58.

（12分）

3

x
2
y
2
P 1，
ab0P1，1P0，1

，四点
1

，2

，
3

59.

已知椭圆
C
：
2

2
1


，
2
ab


3

P
4

1，


中恰有三点在椭圆
C
上．
2

60.

（1）求
C
的方程；

61.

（2）
B
两点，设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
、若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为
1，证明：
l
过定点．

【解析】
（1）根据椭圆对称性，必过< br>P
3
、
P
4

【解析】
又
P
4
横坐标为1，椭圆必不过
P
1
，所以过
P
2
， P
3
，P
4
三点

3

P0，1，P1，


代入椭圆方程得
【解析】
将
23


2



1

b
2
1

【解析】

，解 得
a
2
4
，
b
2
1

3
1
1

2

4
b
2
< br>a
【解析】
∴椭圆
C
的方程为：
x
2
y< br>2
1
．
4
【解析】
（2）
①
当斜率不存 在时，设
l:xm，A

m，y
A

，B
m，y
A


【解析】
k
P
2
A< br>k
P
2
B

y
A
1y
A1
2
1

mmm
【解析】
得
m 2
，此时
l
过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
【解析】
②
当斜率存在时，设
l∶ykxb

b1


【解析】
A

x
1
，y
1

，B

x
2
，y
2



ykxb【解析】
联立

2
，整理得

14k
2
x
2
8kbx4b
2
40

2
x4y40

8kb
【解析】
x
1x
2

14k
2
4b
2
4
，< br>x
1
x
2


14k
2
【解析 】
则
k
P
2
A
k
P
2
B

y
1
1y
2
1
x
2

k x
1
b

x
2
x
1

kx
2
b

x
1


x
1
x
2
x
1
x
2

8kb
2
8 k8kb
2
8kb
2
14k
【解析】

4b
2
4
14k
2

【解析】

8k
b1

4

b1

b1

1，
又
b1

【解析】
b2k1
， 此时
64k
，存在
k
使得
0
成立．

∴直线
l
的方程为
ykx2k1

当
x2
时，
y1

所以
l
过定点

2，1

．

62.

（12分）
2xx
63.

已知函数< br>f

x

ae

a2

e x
．
64.

（1）讨论
f

x

的单调性；
65.

（2）若
f

x

有两个零点，求
a
的取 值范围．

2xx
【解析】
（1）由于
f

x
ae

a2

ex

2xxxx
【解析】
故
f


x

2 ae

a2

e1

ae1

2e1


【解析】
①
当
a0
时，
ae
x
10
，
2e
x
10
．从而
f


x

0
恒成立．
【解析】
f

x

在
R
上单调递减 【解析】
②
当
a0
时，令
f


x

0
，从而
ae
x
10
，得
x lna
．

x


，lna


lna


lna，


f′

x




0



f

x


单调减

极小
值

单调增

综上，当
a0
时，
f(x)
在
R
上单调递减；

当
a0
时，
f(x)
在
(,lna)
上单调递减，在
(lna,)
上单
调递增

（2）由（1）知，

当
a0
时，
f

x

在
R
上单调减，故
f

x

在
R
上至多一个零点，不满
足条件．

当
a0时，
f
min
f

lna

1ln a
．
1
a
令
g

a

1 lna
．
1
a
令
g

a

1 lna

a0

，则
g'

a
< br>
1
a
11


上
0
．从而
g

a

在

0，
a
2
a
单调增，而
g

1

0
．故当
0a 1
时，
g

a

0
．当
a1
时
g

a

0
．当
a1
时
g

a

0

若
a1
，则
f
min
1lnag

a

0
，故
f

x

0
恒成立，从而
f

x
无
零点，不满足条件．
1
a
若
a1
，则
f
min
1lna0
，故
f

x

0
仅有一个实根
xlna0
，
不满足条件．
1
a
若
0a1
，则
f
min
1lna0
，注意到
lna0
．
f

1

< br>aa2
10
．
2
eee
1
a
故< br>f

x

在

1，lna

上 有一个实根，而又
ln

a
1

ln
a
lna
．

3



1
且

3

3


1


ln

1


3

ln


3


a

a

f

ln( 1)

eaea2

ln

1



a

a



3
3

3

3



1



3aa2

ln

 1



1

ln

1

0
．

a

a

a

a


故
f

x

在

lna，ln

a
1


上有一个实根．



3





又
f

x

在

，lna

上单调减，在

lna，

单调增，故
f

x

在
R
上
至多两个实根．
又
f
x

在

1，lna

及

l na，ln

a
1


上均至少有一个实数根，故



3





f

x

在
R
上恰有两个实根．
综上，
0a1
．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、 23题中任选一题作答。如果多
做，则按所做的第一题计分。

66.

[选修4-4：坐标系与参考方程]

x3cos

，
xOy
C
67.
< br>在直角坐标系中，曲线的参数方程为

ysin

，
（

为参数），直
线
l
的参数方程为

y1 t，
（
t
为参数）．


xa4t，
68.

（1）若
a1
，求
C
与
l
的交点坐标；
69.

（2）若
C
上的点到
l
距离的最大值为< br>17
，求
a
．

【解析】
（1）
a1< br>时，直线
l
的方程为
x4y30
．

x
2
【解析】
曲线
C
的标准方程是
y
2
 1
，
9
21


x4y30
x


x3

2

25
【解析】
联立方 程

x


，解得：或，
2
y0
24
y1


y


9

25


2124

【解析】
则
C
与
l
交点坐标是

3，0

和

，


2525

【解析】
（2）直线
l
一般式 方程是
x4y4a0
．
【解析】
设曲线
C
上点< br>p

3cos

，sin


．
【解析】
则
P
到
l
距离
d
3cos
< br>4sin

4a
17

5sin





4a
17
，其中
tan

3
．
4
【解析】
依题意得：
d
max17
，解得
a16
或
a8

70.

[选修4-5：不等式选讲]
71.

已知函数
f

x

x
2
ax4，g

x

x1x1
．
72.

（1）当
a1
时，求不等式
f

x

≥g

x

的解集；
1

，求
a
的取值范围．

73.
（2）若不等式
f

x

≥g

x

的解集包含

1，
2
【解析】
（1）当
a1< br>时，
f

x

xx4
，是开口向下，对称轴
x
1
的二次
2
函数．

2x，x1

【解析】
g

x

x1x1

2，1≤x≤1
，


2x，x1

当
x(1,)
时，令
x
2
x42x
，解得
x
171


2
g

x

在
1，

上单调递增，
f

x

在

1，

上单调递减
∴此时

171< br>
1，
f

x

≥g

x

解集为


．

2

1

时，
g

x

2
，
f

x

≥f

1

2
． 当
x
1，
当
x

，1

时，
g

x

单调递减，
f

x

单 调递增，且
g

1

f

1
2
．

综上所述，

171

f< br>
x

≥g

x

解集

1，

2

．
1

恒成立． （2）依题意 得：
x
2
ax4≥2
在

1，
1

恒成立． 即
x
2
ax2≤0
在

1，< br>则只须


1
2
a12≤

0



1

2
a

1

2≤0
，解出：
故
a
取值范围是

1，1
．

1≤a≤1
．