浙江师范大学研究生院-工作心得体会范文

习题
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴ 中国有四大发明。
⑵ 计算机有空吗?
⑶ 不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸ 老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺ 小李在宿舍里。
⑻ 这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼ 请勿随地吐痰!
⑽ 圆的面积等于半径的平方乘以。
⑾ 只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿ 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹ ⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺
⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是 命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴ 李辛与李末是兄弟。
⑵ 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶ 天正在下雨或湿度很高。
⑷ 刘英与李进上山。
⑸ 王强与刘威都学过法语。
⑹ 如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻ 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；
⑵
p：
天气冷；
q：
我穿羽绒服；
⑶
p：
天在下雨；
q：
湿度很高；
⑷
p
：刘英上山；
q
：李进上山
；

⑸
p
：王强学过法语；
q
：刘威学过法语；
⑹
p
：你看电影；
q
：我看电影；
⑺
p
：我看电视；
q
：我外出；
r
：我睡觉；
⑻
p：
天下大雨；
q
：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴ 他一面吃饭，一面听音乐。

⑵ 3是素数或2是素数。

⑶ 若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3
整除。
⑸ 停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹ 四边形
ABCD
是平行四边形当且仅当
它的对边平行。
⑺ 如果
a
和
b
是偶数，则
a
+
b
是偶数。
解：⑴
p
：他吃饭；
q
：他听音乐；原命题符号化为：
p
∧
q

⑵
p
：3是素数；
q
：2是素数 ；原命题符号化为：
p
∨
q

⑶
p
：地球上有树 木；
q
：人类能生存；原命题符号化为：
p
→
q

⑷
p
：8是偶数；
q
：8能被3整除；原命题符号化为：
p
↔
q

⑸
p
：停机；
q
：语法错误；
r
：程序错误；原命题符号化为：
q
∨
r
→
p
⑹
p
：四边形ABCD是平行四边形；
q
：四边形ABCD 的对边平行；原命题符号化为：
p
↔
q。

⑺
p
：a是偶数；
q
：b是偶数；
r
：a+b是偶数；原命题符号化为：
p
∧
q
→
r

4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴ 如果3+3=6，则雪是白的。
⑵ 如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶ 如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷ 如果3+3≠6，则雪不是白的。
⑸
3
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹ 2+3=5的充要条件是
3
是无理数。(假定是10进制)
⑺ 若两圆
O
1
，
O
2
的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻ 当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设
p
：3＋3＝6。
q
：雪是白的。
⑴ 原命题符号化为：
p
→
q
；该命题是真命题。
⑵ 原命题符号化为：
p
→
q
；该命题是真命题。
⑶ 原命题符号化为：
p
→
q
；该命题是假命题。
⑷ 原命题符号化为：
p
→
q
；该命题是真命题。
⑸
p：
3
是无理数；
q
：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：
p↔
q；
该命题是假命题。
⑹
p
：2+3＝5；
q< br>：
3
是无理数；原命题符号化为：
p
↔
q；
该命题是 真命题。
⑺
p
：两圆O
1
,O
2
的面积相等；
q
：两圆O
1
,O
2
的半径相等；原命题符号化为：
p
↔
q；
该
命题是真命题。
⑻
p：
王小红心 情愉快；
q
：王小红唱歌；原命题符号化为：
p
↔
q；
该命 题是真命题。


习题

1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴ (
p
∧
q
→
r
)
⑵ (
p
∧(
q
→
r
)
⑶ ((
p
→
q
)↔(
r
∨
s
))
⑷ (
p
∧
q
→
rs
)
⑸ ((
p
→(
q
→
r
))→((
q
→
p
)↔
q
∨
r
))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设
p
：天下雪。
q
：我将进城。
r
：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴ 天没有下雪，我也没有进城。
⑵ 如果我有时间，我将进城。
⑶ 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴
p
∧
q

⑵
r
→
q

⑶
p
∧
r
→
q

3.设
p、q、r
所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴
r
∧
q

⑵ ¬ (
r
∨
q
)
⑶
q
↔ (
r
∧¬
p
)
⑷ (
q
→
r
)∧(
r
→
q
)
解：⑴ 我有时间并且我将进城。
⑵ 我没有时间并且我也没有进城。
⑶ 我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷ 如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为
p、q、r
等，将下列命题符号化。
⑴ 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵ 如果张三和李四都不去，他就去。
⑶ 我们不能既划船又跑步。
⑷ 如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解：⑴
p
：你给我写信；
q
：信在途中丢失；原命题符号化为：(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)。
⑵
p
：张三去；
q
：李四去；
r
：他去；原命题符号化为：< br>p
∧
q
→
r
。
⑶
p
：我们划船 ；
q
：我们跑步；原命题符号化为：（
p
∧
q
）。
⑷
p
：你来了；
q
：他唱歌；
r
：你伴奏；原命 题符号化为：
p
→（
q
↔
r
）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴
p
：上午下雨；
q
：我去看电影；
r
：我在家读书；
s：
我在 家看报；原命题符

号化为：（
p
→
q
）∧（
p
→
r
∨
s
）。
⑵
p
：我今天进城；
q
：天下雨；原命题符号化为：
q
→
p
。
⑶ < br>p
：你走；
q
：我留下；原命题符号化为：
q
→
p< br>。











习题
1.设
A
、
B
、
C
是任意命题公式，证明：

⑴
AA

⑵若
AB
，则
BA

⑶若
AB
，
BC
，则
AC

证明：⑴由双 条件的定义可知
A
↔
A
是一个永真式，由等价式的定义可知
AA成立。
⑵因为
AB
，由等价的定义可知
A
↔
B
是一个永真式，再由双条件的定义可知
B
↔A也是
一个永真式，所以，
B< br>A成立。
⑶对
A
、
B
、C的任一赋值，因为A
B< br>，则
A
↔
B
是永真式， 即
A
与
B
具有相同的真值，
又因为
BC
，则
B
↔
C
是永真式 ， 即
B
与
C
也具有相同的真值，所以
A
与
C也具有相同的
真值；即
AC
成立。
2.设
A
、
B
、
C
是任意命题公式，
⑴若
A
∨
CB
∨
C
,
AB
一定成立吗？
⑵若
A
∧
CB
∧
C
,
AB
一定成立吗？
⑶若¬
A
¬
B
，
AB
一定成立吗？
解： ⑴不一定有
AB
。若A为真，B为假，C为真，则A∨
CB
∨C成立，但AB
不
成立。
⑵不一定有
AB
。若A为真，B为假，C为假， 则A∧
CB
∧C成立，但
AB
不成立。
⑶一定有
AB
。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴
q
∧(
p
→
q
)→
p

⑵
p
→(
q
∨
r
)
⑶ (
p
∨
q
)↔(
q
∨
p
)
⑷ (
p
∧
q
)∨(
r
∧
q
)→
r< br>
⑸ ((¬
p
→(
p
∧¬
q
))→r
)∨(
q
∧¬
r
)
解：⑴
q
∧(
p
→
q
)→
p
的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

0
1
0
1
p
→
q

1
1
0
1
q
∧(
p
→
q
)
q
∧(
p
→
q
)→
p

0
1
0
1
1
0
1
1

使得公式
q
∧(
p
→
q
)→
p
成真的赋 值是：00，10，11，使得公式
q
∧(
p
→
q
)→p
成假的
赋值是：01。
⑵
p
→(
q
∨
r
) 的真值表如表所示。

表
p

0
q

0
r

0
q
∨
r

0
p
→(
q
∨
r
)
1

0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1

使得公式
p
→(q
∨
r
)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，1 11，使得公式
p
→(
q
∨
r
)成假的赋值是：100。
⑶ (
p
∨
q
)↔(
q
∨
p
) 的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

0
1
0
1
p
∨
q

0
1
1
1
q
∨
p

0
1
1
1
(
p
∨
q
)↔(
q
∨
p
)
1
1
1
1

所有的赋值均使得公式(
p< br>∨
q
)↔(
q
∨
p
)成真，即(
p
∨
q
)↔(
q
∨
p
)是一个永真式。
⑷ (p
∧
q
)∨(
r
∧
q
)→
r
的真值表如表所示。

表
p

0
0
0
0
1
1
1
q

0
0
1
1
0
0
1
r

0
1
0
1
0
1
0
q

1
1
0
0
1
1
0
p
∧
q

0
0
0
0
1
1
0
r
∧
q

0
0
0
1
0
0
0
(
p
∧
q
)∨ (
r
∧
q
)
0
0
0
1
1
1
0
(
p
∧
q
)∨(
r
∧
q
)→
r

1
1
1
1
0
1
1
1 1 1 0 0 1 1 1
使得公式(
p
∧
q
)∨(
r
∧
q
)→
r
成 真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，
使得公式(
p∧
q
)∨(
r
∧
q
)→
r
成假的赋值 是：100。
⑸((
p
→(
p
∧
q
))→
r
)∨(
q
∧
r
) 的真值表如表所示。

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
0
1
1
0
0
1
1
r

0
1
0
1
0
1
0
1
p
∧
q

0
0
0
0
1
1
0
0
p
→(
p
∧(
p
→ (
p
∧
q
))→
q
)
0
0
0
0
1
1
1
1
((
p
→(
p
∧
q
))→
r
)∨(
q
∧
1
1
1
1
0
1
1
1
r

1
1
1
1
0
1
0
1
q
∧
r

0
0
1
0
0
0
1
0
r
)

使得公式((
p
→(
p
∧
q
))→
r
)∨ (
q
∧
r
)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((
p
→(
p
∧
q
))→< br>r
)∨(
q
∧
r
)成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式：
⑴(
p
→
q
)
p
∧
q

证明：证明(
p
→
q
)
p
∧
q
的真值表如 表所示。

表
p

0
q

p
→
q

0 1
1
0
1
(
p
→
q
)
0
0
1
0
q

p
∧
q

1
0
1
0
0
0
1
0
0 1
1 0
1 1

由上表可见：(
p
→
q
)和
p
∧
q
的真值表完全相同，所以(
p
→
q
)
p
∧
⑵
p
→
qq
→
p

证明：证明
p
→
qq
→
p
的真值表如表所示。

表
q。

p

0
0
1
1
q

p
→
q

0
1
0
1
1
1
0
1
p

1
1
0
0
q

1
0
1
0
q
→
p

1
1
0
1
由上表可见：
p
→
q
和
⑶(p
↔
q
)
p
↔
q

q
→p
的真值表完全相同，所以
p
→
qq
→
p
。

证明：证明(
p
↔
q
)和
p
↔q
的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

0
1
0
1
p
↔
q

1
0
0
1
(
p
↔
q
)
0
1
1
0
q

1
0
1
0
p
↔
q

0
1
1
0
< br>由上表可见：(
p
↔
q
)和
p
↔
q
的真值表完全相同，所以(
p
↔
q
)
⑷
p
→(q
→
r
)(
p
∧
q
)→
r

证明：证明
p
→(
q
→
r
)和(
p
∧
q
)→
r
的真值表如表所示。

表
p
↔
q
。
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
r

q
→
r

p
→(
q
→
r
)
p
∧
q
(
p
∧
q)→
r

0 1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0 1
1
1
0
0
0
1
0
1
1 0
1 1
由上表可见：
p
→(
q
→
r
)和(
p
∧
q)→
r
的真值表完全相同，所以
p
→(
q
→
r
)(
p
∧
q
)→
r
。
⑸
p→(
q
→
p
)
p
→(
p
→
q
)
证明：证明
p
→(
q
→
p
)和
p
→(
p
→
q
)的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

q
→
p

p
→(
q
→
p
)
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
p
→
p

1
1
0
0
q

1
0
1
0
q

1
1
1
0
p
→(
p
→
q
)
1
1
1
1

由上表可见：
p
→(
q
→
p
)和
p
→(
p
→
q
)的真值表完全相同，且都是永真式， 所以
p
→(
q
→
p
)
p
→(
p< br>→
q
)。
⑹(
p
↔
q
)(
p∨
q
)∧(
p
∧
q
)

证明： 证明(
p
↔
q
)和(
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
)的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

p
↔
q

0
1
0
1
1
0
0
1
(
p
↔
q
)
p< br>∨
q

p
∧
q

0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
(
p
∧(
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
)
1
1
1
0
q
)
0
1
1
0

由上表可见： (
p
↔
q
)和(
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
)的真值表完全相同，所以
∧(
p
∧
q
)
⑺(
p
↔
q
)(
p
∧
q
) ∨(
p
∧
q
)
证明：证明(
p
↔
q< br>)和(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)的真 值表如表所示。

表
(
p
↔
q
)(
p
∨
q
)
p

0
0
1
1
q

p
↔
q

0
1
0
1
1
0
0
1
(
p
↔
q
)
0
1
1
0
p
∧
q

0
0
1
0
p< br>∧
q
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)
0
1
0
0
0
1
1
0

由上表可见：(
p
↔
q
)和(
p< br>∧
q
)∨(
p
∧
q
)的真值表完全相同，所以(p
↔
q
)(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)。
⑻
p
→(
q
∨
r
)(
p
∧
q
)→
r

证明：证明
p
→ (
q
∨
r
)和(
p
∧
q
)→
r< br>的真值表如表所示。

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

r

q
∨
r

p
→(
q
∨
r
)
0 0 0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0 1
1
1
0
0
0
1
0
1
(
p
∧
q
)< br>q

p
∧
q

1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
→
r

1
1
1
1
0
1
1
1
1 0
1 1

由上表可见：
p
→(
q
∨
r
)和(
p
∧
q
)→
r
的真值表完全相 同，所以
p
→(
q
∨
r
)(
p
∧
q
)
→
r
。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑴(
p
→
q
)
(
p
∨
q
)
p
∧
q
⑵
q
→
p

q
∨
p
q
∨
p
p
∨
q
p
→
q
⑶(
p
↔
q
)
((
p
→
q
)∧(
q
→
p
))
((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
))
(
p
∧
q
)∨(
q
∧
p
) ((
p
∧
q
)∨
q
)∧((
p
∧q
)∨
p
)
(
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)
(
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)
(
p
→
q
)∧(
q
→
p
)
p
↔
q
⑷
p
→(
q
→
r
)
p
∨(
q
∨
r
)
(
p
∨
q
)∨
r
(
p
∧
q
)∨
r
(
p
∧
q
)→
r
⑸
p
→(
q
→
p
)
p
∨(
q
∨
p
)
T
p
→(
p
→
q
)
p
∨(
p
∨
q
)
T
所以
p< br>→(
q
→
p
)
p
→(
p
→
q
)
⑹(
p
↔
q
)
((
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
))
(
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
)
(
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
) 所以(
p
↔
q
)(
p
∨
q
)∧(p
∧
q
)
⑺(
p
↔
q
)
((
p
→
q
)∧(
q
→
p
))
(条件等价式)
(德·摩根律)
(条件等价式)
(双重否定律)
(交换律)
(条件等价式)
(双条件等价式)
(条件等价式)
(德·摩根律)
(分配律)
(分配律)
(交换律)
(条件等价式)
(双条件等价式)
(条件等价式)
(结合律)
(德·摩根律)
(条件等价式)
(条件等价式)
(条件等价式)
(例
(德·摩根律)
(德·摩根律)
(双条件等价式)

((
p
∨q
)∧(
q
∨
p
))
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)
⑻
p
→(
q
∨
r
)
p
∨(
q
∨
r
)
(
p
∨
q
)∨
r
(
p
∧
q
)∨
r
(
p
∧
q
)→
r

6.试用真值表证明下列命题定律。
⑴结合律：(
p
∨
q
)∨
rp
∨(
q
∨
r
)，(
p
∧
q
)∧
r
证明：证明结合律的真值表如表和表所示。

表
(条件等价式)
(德·摩根律)
(条件等价式)
(结合律)
(德·摩根律)
(条件等价式)
p
∧(
q
∧
r
)
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
r

p
∨
q
(
p
∨
q
)∨
r

q
∨
r
p
∨(
q
∨
r
)
0 0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0 1
1
1
0
0
0
1
0
1
1 0
1 1

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
0
1
1
0
0
1
1
r

p
∧
q
(
p
∧
q
)∧
r
q
∧
r

p
∧(
q
∧
r
)
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1


由真值表可知结合律成立。
⑵分配律：
p
∧(
q
∨
r
)(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
)，
p
∨(
q
∧
r
)(
p< br>∨
q
)∧(
p
∨
r
)
证明：证明合取对析 取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表

如表所示。


表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
r

0
q
∨
r

0
1
1
1
0
1
1
1
p
∧(
q
∨
r
)
0
0
0
0
0
1
1
1
p
∧
q

0
0
0
0
0
0
1
1
p
∧
r

0
0
0
0
0
1
0
1
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
)
0
0
0
0
0
1
1
1
0 1
1
1
0
0
0
1
0
1
1 0
1 1

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
0
1
1
0
0
1
1
r

0
1
0
1
0
1
0
1
q
∧
r

0
0
0
1
0
0
0
1
p
∨(
q
∧
r
)
0
0
0
1
1
1
1
1
p
∨
q

0
0
1
1
1
1
1
1
p
∨
r

0
1
0
1
1
1
1
1
(
p
∨
q
)∧(
p
∨
r
)
0
0
0
1
1
1
1
1

由真值表可知分配律成立。
⑶假言易位式：
p
→
qq
→
p

证明：证明假言易位式的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

0
1
0
1
p
→
q

1
1
0
1
q

1
0
1
0
p

1
1
0
0
q
→
p

1
1
0
1

由真值表可知假言易位律成立。
⑷双条件否定等价式：
p
↔
qp
↔
q

证明：证明双条件否定的真值表如表所示。

表
p

0
0
1
1
q

0
1
0
1
p
↔
q

1
0
0
1
p

1
1
0
0
q

1
0
1
0
p
↔
q

1
0
0
1

由真值表可知双条件否定等价式成立。

习题
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。
⑴(
p
∨
q
)→
q

(
p
∨
q
)∨
q
(
p
∧
q
)∨
q
q
（可满足式）
⑵(
p
→
q
)∧
q

(
p
∨
q
)∧
q
(
p
∧
q
)∧
q
F
（永假式）
⑶(
p
→
q
)∧
p
→
q

(
p
∨
q
)∧
p
→
q
(
p
∧
p
)∨(
q
∧
p
)→
q
(
q
∧
p
)→
q
(
q
∧
p
)∨
q
(
q
∨
p
)∨
q
T
(永真式)
⑷(
p
→
q
)∧
q

(
p
∨
q
)∧
q
q
（可满足式）

⑸(
p
→
q
)→(
q
→
p
)
(
p
→
q
)→(
p
→
q
)
T
(永真式)
⑹((
p
→
q
)∧(
q< br>→
r
))→(
p
→
r
)
((
p< br>∨
q
)∧(
q
∨
r
))∨(
p
∨< br>r
)
(
p
∧
q
)∨(
q
∧
r
)∨(
p
∨
r
)
(
p
∧
q
)∨((
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
r
∨
r
))
(
p
∧
q
)∨(< br>p
∨
q
∨
r
)
(
p
∨
q
∨
r
∨
p
)∧(
p
∨
q
∨
r
∨
q
)
T
(永真式)
⑺
p
→(
p
→
q
)
p
∨(
p
∨
q
)
T
(永真式)
⑻
p
→(
p
∨
q
∨
r
)
p
∨(
p
∨
q
∨
r
)
T
(永真式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。
⑴(
p
∧(
p
→
q
))→
q

（条件等价式）
（德·摩根律）
（吸收律）
（条件等价式）
（德·摩根律）
（结合律、矛盾律）
（条件等价式）
（分配律）
（同一律、矛盾律）
（条件等价式）
（德·摩根律）
（零律、排中律）
（条件等价式）
（吸收律）
（假言易位式）
（条件等价式）
（德·摩根律）
（分配律）
（同一律、排中律、零律）
（分配律）
（条件等价式）
（条件等价式）

(
p
∧(
p
→
q
))→
q
的真值表如表所示。由表可以看出(< br>p
∧(
p
→
q
))→
q
是重言式。

表
p

0
0
1
1
q

p
→
q

p
∧(
p
→
q
)
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
(
p
∧(
p
→
q
))→
q< br>
1
1
1
1

⑵(
q
∧(
p
→
q
))→
p
< br>(
q
∧(
p
→
q
))→
p
的真值表 如表所示。由表可以看出(
q
∧(
p
→
q
))→
p
是重言
式。

表
p

0
0
1
1
q

p
→
q

0
1
0
1
1
1
0
1
q
∧(
p
→
q

1
0
1
0
(
q
∧(
p
→
q
))→
p< br>
1
1
1
1
q
)
1
0
0
0
p

1
1
0
0

⑶(
p
∧(
p
∨
q
))→
q
< br>(
p
∧(
p
∨
q
))→
q
的真值表 如表所示。由表可以看出(

表
p
∧(
p
∨
q
))→
q
是重言式。
p

0
0
1
1
q

p
∨
q

0
1
0
1
0
1
1
1
p
∧(
p
∨
p

1
1
0
0
q
)
0
1
0
0
(
p
∧(
p
∨
q< br>))→
q

1
1
1
1

⑷ ((
p
→
q
)∧(
q
→
r
))→(
p
→
r
)
((
p
→
q
)∧(
q
→
r
))→(
p
→
r
)的真值表如表所示。由表 可以看出((
p
→
q
)∧(
q
→
r
))→ (
p
→
r
)是重言式。

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

r

p
→
q

0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
(
p
→
q
)∧(
q
→
q
→
r

1
1
0
1
1
1
0
1
r
)
1
1
0
1
0
0
0
1
p
→
r

1
1
1
1
0
1
0
1
((
p
→
q
)∧(
q
→
r
))→(
p
→
r
)
1
1
1
1
1
1
1
1

⑸((
p
∨
q
)∧(
p
→
r
)∧(q
→
r
))→
r

((
p
∨
q
)∧(
p
→
r
)∧(
q
→
r
) )→
r
的真值表如表所示。由表可以看出((
p
∨
q
)∧(
p
→
r
)
∧(
q
→
r
))→r
是重言式。

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

r

0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
(
p
∨
q
)∧(
p
→< br>r
)∧(
q
((
p
∨
q
)∧(
p< br>→
r
)∧(
q
→
r
))
p
∨
q

0
0
1
1
1
1
1
1
p
→
r

1
1
1
1
0
1
0
1
q
→
r

1
1
0
1
1
1
0
1
→
r
)
0
0
0
1
0
1
0
1
→
r

1
1
1
1
1
1
1
1

⑹((
p
→
q
)∧(
r
→
s
))→((
p
∧
r
)→(
q
∧
s
))
((
p
→
q
)∧(
r
→
s
))→((
p
∧
r
)→(
q
∧
s
))的真值表如表所示。由表 可以看出((
p
→
q
)∧
(
r
→
s
))→((
p
∧
r
)→(
q
∧
s
))是 重言式。

表

p

0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
q

r

0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1 (
p
→
q
)∧(
r
→(
p
∧
r
)→(
q
∧
s

p
→
q
r
→
s

0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
s
)
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
p
∧
r

q
∧
s

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
s
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
原公式
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

⑺((
p
↔
q
) ∧(
q
↔
r
))→(
p
↔
r
)
((
p
↔
q
)∧(
q
↔
r
))→(
p
↔
r
)的真值表如表所示。由表可以看出((
p
↔
q< br>)∧(
q
↔
r
))→(
p
↔
r
)是
重言式。

表
p

0
0
0
0
1
1
q

0
0
1
1
0
0
r

0
1
0
1
0
1
p
↔
q

1
1
0
0
0
0
q
↔
r

1
0
0
1
1
0
(
p
↔
q
)∧(
q
↔
r
)
1
0
0
0
0
0
p
↔
r

1
0
1
0
0
1
((
p
↔
q
)∧(
q
↔
r< br>))→(
p
↔
r
)
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1

3. 用等价演算证明题2中的命题公式是重言式。
⑴(
p
∧(
p
→
q
))→
q

(
p
∧(
p
∨
q
))∨
q

(
p
∨(
p
∧
q
))∨
q
((
p
∨
p
)∧(
p
∨
q
))∨q

(
p
∨
q
)∨
q

T

⑵(
q
∧(
p
→
q
))→
p

(
q
∧(
p
∨
q
))→
p

(
q
∧(
p
∨
q
))∨
p

(
q
∨(
p
∧
q
))∨
p

(
p
∨
q
)∨(
p
∧
q
)
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)
T

⑶(
p
∧(
p
∨
q
))→
q
(
p
∧
q
)→
q

(
p
∧
q
)∨
q

p
∨
q
∨
q

T
⑷((
p→
q
)∧(
q
→
r
))→(
p
→r
)
((
p
∨
q
)∧(
q
∨
r
))∨(
p
∨
r
)
(
p
∧
q
)∨(
q
∧
r
)∨(
p
∨
r
)
(
p
∧
q
)∨((
p
∨
q
∨r
)∧(
p
∨
r
∨
r
))
(
p
∧
q
)∨(
p
∨
q
∨
r
)
(
p
∨
q
∨
r
∨
p
)∧(
p
∨
q
∨
r
∨
q
)
T
⑸((
p
∨
q
)∧(
p
→
r
)∧(< br>q
→
r
))→
r

((
p
∨
q
)∧(
p
∨
r
)∧(
q
∨
r
))→
r

((
p
∨
q
)∧((
p
∨
q
)∨
r
))→
r

((
p
∨
q
)∧
r
)→
r

((
p
∨
q
)∧
r
)∨
r

(
p
∨
q
)∨
r
∨
r

T

⑹((
p
→
q
)∧(
r
→< br>s
))→((
p
∧
r
)→(
q
∧
s
))
((
p
∨
q
)∧(
r
∨
s
))∨((
p
∧
r
)∨(
q
∧
s
))
((
p
∧
q
)∨(
r
∧
s
))∨((
p
∨
r
)∨(
q
∧
s
)) < /p>

((
p
∧
q
)∨(
r
∧
s< br>))∨((
p
∨
r
∨
q
)∧(
p
∨
r
∨
s
))
((
p
∧
q
)∨(
r
∧
s
)∨(
p
∨
r
∨
q
))∧((
p
∧
q
)∨(
r
∧
s
)∨(
p
∨
s
))
((
r
∧
s
)∨( (
p
∨
r
∨
q
∨
p
)∧(
p∨
r
∨
q
∨
q
)))∧((
r
∧s
)∨
((
p
∨
r
∨
s
∨
p
)∧(
p
∨
r
∨
s
∨
q
)))
((
r
∧
s
)∨
T
)∧((
r
∧
s
)∨(
p
∨
q
∨
r
∨
s
))
(
r
∧
s
)∨(
p
∨
q
∨
r
∨
s
)
(
p
∨
q
∨
r
∨
s
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨< br>r
∨
s
∨
s
)
T

⑺((
p
↔
q
)∧(
q
↔
r
))→(
p
↔
r
)
((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)∧(
q
∨
r
)∧(
r
∨
q
))→(
p
↔
r
)
((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)∧(
q
∨
r
)∧ (
r
∨
q
))∨(
p
∧
r
)∨(
p
∧
r
)
(
p
∧
q
)∨(
p< br>∧
r
)∨(
r
∧
q
)∨(
q
∧r
)∨(
q
∧
p
)∨(
p
∧
r
)
((
p
∧(
q
∨
r
))∨(
q∨
r
))∨(
r
∧
q
)∨(
q
∧p
)∨(
p
∧
r
)
(((
q
∨r
)∨(
q
∨
r
))∧(
p
∨(
q< br>∨
r
)))∨(
r
∧
q
)∨(
q
∧
p
)∨(
r
)
(
T
∧(
p
∨(
q
∨
r
)))∨(
r
∧
q
)∨(
q
∧
p
)∨(
p
∧
r
)
p
∨(
q
∧
r
)∨(
r
∧
q
)∨(
q< br>∧
p
)∨(
p
∧
r
)
p
∨(q
∧
r
)∨((
q
∧
p
)∨(
p∧
r
))∨(
r
∧
q
)
p
∨(q
∧
r
)∨((
p
∧(
q
∨
r
))∨(
q
∨
r
))
p
∨(
q
∧r
)∨
p
∨(
q
∧
r
)
T

4.证明下列等价式：
⑴((
p
→
r
)∧(
q
→
r
))
(
p
∨
r
)∧(
q
∨
r
)
(
p
∧
q
)∨
r

(
p
∨
q
)∨
r

(
p
∨
q
)→
r

⑵(
p
→
q
)∧(
p
→
q
)
(
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
)
p
∨(
q
∧
q
)
p
∨F
p

⑶
p
∧(
p
→
q
)
p
∧(
p
∨
q
)
(
p
∧
p
)∨(
p
∧
q
)
F∨(
p
∧
q
)
p
∧
q

r
∨
p
∧

习题
1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(
p
∧
q
)→
r

(
p
∧
q
)∨
r

p
∨
q
∨
r

⑵(
p
→
q
)→
r

(
p
∨
q
)∨
r

(
p
∨
q
)∨
r

p
∨
q
∨
r

⑶
p
∧(
p
→
q
)
p
∧(
p
∨
q
)
(
p
∧
p
)∨(
p
∧
q
)
p
∧
q

⑷(
p
→
q
)∧(
q
∨
r
)
(
p
∨
q
)∧(
q
∨
r
)
q
∨(
p
∧
r
)
⑸(
p
∨
q
)∧(
r
→
t
)
(
p
∧
q
)∧(
r
∨
t
) (
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
t
)
2. 求下列命题公式的合取范式。
⑴(
p
→
q
)
(
p
∨
q
)
p
∧
q

⑵
q
∨(
p
∧
q
∧
r
)
(
q
∨
p
)∧(
q
∨
q
)∧(
q
∨
r
)
(
q
∨
p
)∧(
q
∨
r
)
⑶(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
) < br>((
p
∧
q
)∨
p
)∧((
p
∧< br>q
)∨
q
))
(
p
∨
p
)∧(< br>q
∨
p
)∧(
p
∨
q
)∧(
q∨
(
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
)
⑷(
p
↔
q
)
((
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
))
)
q

(
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
)
⑸(
p
→
q
)→
r

(
p
∨
q
)∨
r

(
p
∨
q
)∨
r

p
∨
q
∨
r

3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。
⑴(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
) < br>作(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
)的真值 表，如表所示。

表
p

0
0
0
0
1
1
1
1
q

0
0
1
1
0
0
1
1
r

p
∧
q

0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
p
∧
r

0
0
0
0
0
1
0
1
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
)
0
0
0
0
0
1
1
1

由真值表可知，原式(
p
∧
q
∧
r
)∨ (
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q∧
r
)(主析取范式)∑
5,6,7
使得命题公式(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
)成真的赋值是：101，110，1 11。
⑵(
p
∨
q
)→(
p
∧
r
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∧
r
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∧
r
) (
p
∨
q
∨
p
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
p
∨
q
∨
r

(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨
(
p
∧
q< br>∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(p
∧
q
∧
r
)(主析取范式)
∑1,2,3,4,5,6,7
使得命题公式(
p
∨
q
) →(
p
∧
r
)成真的赋值是：001，010、011，100，101，1 10，
111。
⑶(
p
∨
q
)→(
p
↔
q
) < br>作(
p
∨
q
)→(
p
↔
q
)的真值 表，如表所示。

表
p

0
q

0
p

1
q

1
p
∨
q

1
p
↔
q

0
(
p
∨
q
)→(
p
↔
q
)
0

0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1

由真值表可知:
原式(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
) (主析取范式)∑1,2,3 使得命题公式(
p
∨
q
)→(
p
↔
q
)成真的赋值是：01，10，11。
⑷(
p
→
q
)→(
p
∨
q
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∨
q
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∨
q
)
(
p
∧
q
)∨(
p
∨
q
) (
p
∨
q
∨
p
)∧(
p
∨
q
∨
q
)
p
∨
q

(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)(主析取范式)
∑0,2,3
使得命题公式(
p
→
q
)→(
p
∨
q
)成真的赋值是：00,10,11。
⑸(
p
→(
q
∧
r
))∧(
p
→(
q
∧
r
))
(
p
∨(
q
∧
r))∧(
p
∨(
q
∧
r
))
(
p< br>∨
q
)∧(
p
∨
r
)∧(
p
∨q
)∧(
p
∨
r
)
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨< br>r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧< br>r
)(主析取范式)
使得命题公式(
p
→(
q
∧< br>r
))∧(
p
→(
q
∧
r
))成真的赋值是 ：000,111。
4. 求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。
⑴(
p
→
q
)∧
r

(
p
∨
q
)∧
r

(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r)∧(
p
∨
r
)∧(
p
∨
r
) (
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(< br>p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
(< br>p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
∏0,2,4,5,6
使得命题公式(
p
→
q< br>)∧
r
成假的赋值是：000,010,100,101,110。
⑵(
p
→
q
)↔(
p
→
q
) < br>作(
p
→
q
)↔(
p
→
q
)的真值 表，如表所示。

表
p

q

p
→
q
(
p
→
q

p
→
q
(
p
→
q
)↔(
p
→
q
)

q
)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1

由真值表可知:
原式(
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
)∏0,1
使得命题公式(
p
→
q
)↔(< br>p
→
q
)成假的赋值是：00,01。
⑶(
p
∨
q
)→(
p
∧
r
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∧
r
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∧
r
) (
p
∨
q
∨
p
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
p
∨
q
∨
r

∏0
使得命题公式(
p
∨
q
)→(
p
∧
r
)成假的赋值是：000。
⑷(
p
→
q
)∧
p

(
p
∨
q
)∧
p

p
∧
q
∧
p

F

∏0,1,2,3
使得命题公式(
p
→
q
)∧
p
成假的赋值是：00,01,10,11。
⑸(
p
→(
q
∨
r
))∨
r

p
∨
q
∨
r
∨
r

p
∨
q
∨
r

∏4
使得命题公式(p
→(
q
∨
r
))∨
r
成假的赋值是：100 。
5. 求下列命题公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。
⑴(
p
→
q
)∧(
q
→
r
)
(
p
∨
q
)∧(
q
∨
r
) ((
p
∨
q
)∧
q
)∨((
p
∨q
)∧
r
)
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
r
)∨(
q
∧
r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r)
∨(
p
∧
q
∧
r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)(主析取范式)
∑0,1,3,7
∏2,4,5,6
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)(主合取范式 )
⑵(
p
∨
q
)∨
r

(
p
∧
q
)∨
r

(p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
r
)∨(
p
∧
r< br>)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r< br>)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
∧
r)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
范式)
p
∧
q
∧
r
)∨ (
p
∧
q
r
)∨(
p
∧
q
∧r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)(主析取
∑1,3,5,6,7
∏0,2,4
(
p
∨
q
∨
r
)∧(p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)(主合取范式)
6. 求下列命题公式的主合取范式，再用主合取范式求出主析取范式。
⑴(
p
↔
q
)∧
r

(
p
→
q
)∧(
q
→
p
)∧
r

(
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)∧
r
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
q
∨
p
∨
r
)∧(
q
∨
p
∨
r
)∧(
p
∨
r
)∧(
p
∨
r
)
(
p
∨
q< br>∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧
(< br>p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)
(< br>p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)(主合取范式 )
∏0,2,3,4,5,6∑1,7(
p
∧
q
∧
r)∨(
p
∧
q
∧
r
)(主析取范式)
⑵(
p
∧
q
)→
q

(
p
∧
q
)∨
q

p
∨
q
∨
q

T(无主合取范式)
∑0 ,1,2,3(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∨ (
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)
7.用主析取范式判断下列命题公式是否等价。
⑴
p
→(
q
→
r
)和
q
→(
p
→
r
)
p
→(
q
→
r
)
p
∨(
q
∨
r
)
p
∨
q
∨
r

(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r< br>)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧q
∧
r
)∨
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧< br>q
∧
r
)(主析取范式)
∑0,1,2,3,4,5,7
q
→(
p
→
r
)
q
∨(
p
∨r
)
p
∨
q
∨
r

(
p∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧< br>q
∧
r
)∨
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)(主析取范式)
∑0,1,2,3,4,5,7
因为
p
→(
q
→
r
)与
q
→(
p
→
r
)的主析取范式相同，所以
p
→(
q
→r
)
q
→(
p
→
r
)。
⑵(
p
→
q
)∧(
p
→
r
)和
p
→ (
q
∧
p
)
(
p
→
q
)∧(< br>p
→
r
)(
p
∨
q
)∧(
p
∨
r
)
p
∨(
q
∧
r
)
(< br>p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∨(
p∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧< br>q
∧
r
)

∨(
p
∧
q
∧
r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)(主析取范式)
∑0,1,2,3,7 < br>p
→(
q
∧
p
)
p
∨(
q
∧
p
)(
p
∨
q
)∧(
p
∨
p< br>)
p
∨
q

(
p
∧
q
)∨ (
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)
(
p
∧
q
)∨(
p∧
q
)∨(
p
∧
q
) (主析取范式)
∑0,1,3
因为(
p
→
q
)∧(
p
→
r
)与
p
→(
q
∧
p
)的主析取范式不相 同，所以(
p
→
q
)∧(
p
→
r
)与p
→
(
q
∧
p
)不等价。
8. 用主合取范式判断下列命题公式是否等价。
⑴(
p
→
q
)→
r
和
p
→(
q
→
r
)
(
p< br>→
q
)→
r
(
p
∨
q
)∨
r
(
p
∧
q
)∨
r
(
p
∨
r
)∧(
q
∨
r
)
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(< br>p
∨
q
∨
r
)
∏0,2,6
p
→(
q
→
r
)
p
∨(
q
∨
r)
p
∨
q
∨
r

∏6
因为(
p
→
q
)→
r
与
p
→(
q
→< br>r
)的主合取范式不相同，所以(
p
→
q
)→
r与
p
→(
q
→
r
)不等
价。
⑵(< br>p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)和(
p∨
q
)∧(
p
∧
q
)
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∑1,2∏0,3(
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
)
(
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
)(
p
∨
q)∧(
p
∨
q
)∏0,3
因为(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)和(
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
)的主合取范式相同，所以(
p
∧
q
)∨
(
p
∧
q
) (
p
∨
q
)∧(
p
∧
q
)。

习题
1.将下列命题公式用只含，∧，∨的等价式表示。
⑴(
p
↔
q
)→
r
((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
))∨
r
(
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
)∨
r

⑵(
p
→(
q
↔(
q
∧
r
)))(
p
∨((q
∧
q
∧
r
)∨(
q
∧(
q
∧
r
))))
p
∧(
q
∧
r
)∧(q
∨(
q
∧
r
))
p
∧(
q
∨
r
)∧
q

p
∧
q
∧
r

⑶
p

(
p
→
q
)
p

(
p
∨
q
)
(
p
∧(
p
∨
q
))∨(
p
∧(
p
∨
q
))
(
p
∧
q
)∨
p

p
∨
q

⑷(
p
↔
q
)↔
r
((
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
) )↔
r

(((
p
∧
q
)∨(
p
∧
q
))∧
r
)∨(((
p
∧
q
)∨(< br>p
∧
q
))∧
r
)
((
p
∧q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
) )∨(((
p
∨
q
)∧(
p
∨
q
))∧< br>r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨((
p
∨
q
) ∧(
p
∨
q
)∧
r
)
⑸(
p
↔
q
)

(
r
→
t
)((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
))

(
r
∨
t
)
((
p
∨
q
)∧(
q< br>∨
p
)∧(
r
∨
t
))∨(((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
))
∧(
r
∨
t
))
((
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)∧(
r
∧
t
))∨(((
p
∧
q
)∨(
q
∧
p
))∧
(
r
∨
t
))
2. 将下列命题公式用只含，∨的等价式表示。
⑴(
p
∧
q
)∧
p
((
p
∨
q
)∨
p< br>)
⑵
p
↔
q
(
p
∨
q
) ∧(
q
∨
p
)((
p
∨
q
)∨(
q
∨
p
))
⑶(
p
↑
q
)∧
r
(
p
∧
q
)∧
r
((
p
∨
q
)∨
r
)

⑷
p

q
(
p
↔
q
)(
p
∧
q
)∧(
q< br>∧
p
) ((
p
∨
q
)∨(
p
∨
q
))
⑸(
p
↔
q
)∧
r
(
p
∨
q)∧(
q
∨
p
)∧
r
((
p
∨
q
)∨(
q
∨
p
)∨
r
)
3. 将下列命题公式用只含，∧的等价式表示。
⑴
p
∨
q
∨(
r
→
p
)
p
∨
q
∨(
r
∨
p
)
(
p
∧
q
∧
r
∧
p
)
⑵(
p
∨
q
)→(
p
↔
r
) < br>(
p
∨
q
)∨(
p
∧
r
)∨(p
∧
r
)
((
p
∧
q
)∧(
p
∧
r
)∧(
p
∧
r
))
⑶(
p
∨
q
)∨(
p
→
q
)
(
p
∨
q
)∨(
p
∨
q
)
p
∨
q

(
p
∧
q
)
⑷(
p
→
q
)→(
p

q
)
(
p
∨
q
)∨(
p
↔
q
) (
p
∧
q
)∨((
p
∧
q
)∨(p
∧
q
))
((
p
∧
q
)∧((< br>p
∧
q
)∧(
p
∧
q
)))
⑸ (
p
→(
q
∨
r
))∨(
p
→
r
)
(
p
∨
q
∨
r
)∨(
p∨
r
)
T
4.下列结论是否成立？若成立，请证明。若不成立，举反例说明。
⑴
p
↑
qq
↑
p

成立。
p↑
q
(
p
∧
q
)(
q
∧
p< br>)
q
↑
p

⑵
p
↓
qq
↓
p

成立。
p↓
q
(
p
∨
q
)(
q
∨
p< br>)
q
↓
p

⑶
p
↑(
q
↑
r
)(
p
↑
q
)↑
r

不成立< br>。p
↑(
q
↑
r
)
p
↑(
q
∧
r
)(
p
∧(
q
∧
r
))
p
∨(
q
∧
r
)
(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q
∨
r
)∏4,5,6
而(
p
↑< br>q
)↑
r
(
p
∧
q
)↑
r
((
p
∧
q
)∧
r
)(
p
∧
q< br>)∨
r

(
p
∨
q
∨
r
) ∧(
p
∨
q
∨
r
)∧(
p
∨
q< br>∨
r
)∏1,3,5
显然上式不成立
⑷
p
↓(< br>q
↓
r
)(
p
↓
q
)↓
r

不成立
。p
↓(
q
↓
r
)
p
↓(
q
∨
r
)(
p
∨(
q
∨
r
))
p
∧(
q
∨
r
)
(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∑1,2,3
而(
p
↓
q
)↓
r
(
p
∨
q
)↓< br>r
((
p
∨
q
)∨
r
)(
p
∨
q
)∧
r

(
p
∧
q
∧r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∨(
p
∧
q
∧
r
)∑2,4,6
显然上式不成立。
5.证明下列等价式。
⑴(
p
↑
q
)
p
↓
q

证明：(
p
↑
q
)(
p
↑
q
)(
p
∧
q
)
p
∧
q

(
p
∨
q
)
p
∧
q

所以：(
p
↑
q
)
p
↓
q

⑵(
p
↓
q
)
p
↑
q

证明：(
p
↓
q
)(
p
∨
q
)
p
∨
q

p
↑
q
(
p
∧
q
)
p
∨
q

所以：(
p
↓
q
)
p
↑
q

6.将下列命题公式仅用“↓”表示。
⑴
pp
↓
p
⑵
p
∨
q
(
p
↓
q
)(
p< br>↓
q
)↓(
p
↓
q
)
⑶
p
∧
q
(
p
∨
q
)
p
↓
q
(
p
↓
p
)↓(
q
↓
q
)
7.将下列命题公式仅用“↑”表示。
⑴
p
(
p
∧
p
)
p
↑
p

⑵
p
∨
q
(
p
∧
q
)
p
↑
q
(
p
↑
p
)↑(
q
↑
q
)
⑶
p
∧
q
(
p
∧
q
)(
p
↑
q
)(
p
↑
q
)↑(
p
↑
q
)
p
↓
q

习题
1. 写出下列命题公式的对偶式。 < br>⑴(
p
∧
q
)∧
r
的对偶式是：(
p
∨
q
)∨
r

⑵(
p
∨
q
)∧ (
r
∨
p
)对偶式是(
p
∧
q
)∨(r
∧
p
)
⑶
p

q
(
p
↔
q
)
(
p
→
q
)∨(
q
→
p
)
(
p
∨
q
)∨(
q
∨
p
)
(
p
∧
q
)∨(
q
∧
p
) 所以
p

q
的对偶式是(
p
∨
q
)∧ (
q
∨
p
)
而(
p
∨
q
)∧(
q
∨
p
)
(
p
→
q
)∧(
q
→
p
)
p
↔
q

p
↔
q

(
p
↔
q
)
(
p

q
)
所以
p

q
的对偶式是(
p

q
)
⑷(
p
∧
q
)→
r

(
p
∧
q
)∨
r

p
∨
q
∨
r

所以(
p
∧
q
)→
r
的对偶式是
p
∧
q
∧
r

⑸(
p
∧
q
)↓
r
的对偶式是(
p< br>∨
q
)↑
r

⑹(
p
↑
q
)→
r
(
p
↑
q
)∨
r

所以(
p
↑
q
)→
r
的对偶式是(
p
↓
q
)∧
r

⑺
p
→((
q
→
r< br>)∧(
p
∧
q
))