一件难忘的事500字-河南成人高考成绩查询

课题
类型
列方程解应用题
基础（ ） 巩固（ √ ） 提高（ ）
备课时间： 月 日 授课时间： 月 日 至

教学目标


重点、难点、
考点
通过学习用一元一次 方程解决浓度问题、工程问题和行程问题等几种常见问题，掌握列方程解
应用题的方法和步骤。

分析题目中的数量关系，列代数式，寻找等量关系。通过设未知数，列方程解决问题。

教学内容

课后作业：
（1）一件工程甲队独做需8天完成， 乙队独做需9天。甲做三天后，乙来支援，甲，乙合作做
x
天，一共完
成了任务的3
，由此条件列出的方程是______________；
4
（2）若取浓度 为15%的酒精溶液______克与浓度为35%的酒精溶液_____克混合，则可配成浓度为20%的酒< br>精溶液100克；

（3）某人从家里去上班，每小时行5 千米，下班按原路返回时，每小时行4千米，结果下班返回比上班多花
10分钟，设上班所用时间为t
小时，可列方程为________________；

（4）一架飞机飞 行在两个城市之间，顺风要2小时45分钟，逆风要3小时，已知风速是20千米时，则两城
市间距离为 __________千米。

（5）从家里骑摩托车去火车站，如果每小时走30千米，那 么比开车时间早到15分钟，如果每小时走18千米，
那么比开车时间迟到15分钟，现在打算比开车时 间早10分钟到达火车站，那么摩托车的速度应该是多少？

（6）一项工作由A单独做要4 0天完成，由B单独做要50天完成。现在由A先做，工作了若干天后，因A
有事离去，由B继续做，共 用了46天完成。问A、B各做了多少天？

（7）甲种盐水浓度为乙种盐水浓度的2倍，若 甲种盐水取120克，乙种盐水取240克，混合后加水40克，测
得浓度是12%，问甲、乙两种盐水 的浓度各是多少？

学生对于本次课的评价：
1、是否掌握知识 ○ 全部掌握 ○基本掌握 ○不掌握
2、是否满意老师教学 ○ 特别满意 ○满意 ○一般 ○不满意

学生签字：

教师评定：
1、上次作业评价： □好 □较好 □一般 □差
2、学生课堂表现： □很积极 □较积极 □一般 □不积极
3、学生接受程度： □全部接受 □大部分接受 □大部分接受 □不能接受
4、课间纪律： □好 □较好 □一般 □差
5、其他情况：

教师签字：

一．列方程解应用题
1、知识回顾
我们在小学阶段学习过许多数量关系：
（1）溶液中浓度、溶液、溶质的关系；
（2）工程问题中工程量、工作效率、工作时间之间的关系；
（3）行程问题中路程、速度、 时间之间的关系：相遇问题、追及问题、水流问题、过
桥问题等。
（4）增长率问题
（5）年龄问题
（6）数字问题
2、新知探秘
知识点一 列方程解应用题的步骤
例1、有两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是30%，乙种盐水的浓度是6 %，现在要
配成浓度为10%的盐水60千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？
思路导航：
此题是溶液的混合配制问题，这类问题中有三个等量关系：混合前后溶液的重量和 不变、
溶质重量和不变及溶剂重量和不变。
解答：
设应取甲种盐水
x千克，那么乙种盐水应取
(60x)
千克，甲种盐水中含盐
30%x
千 克，
乙种盐水中含盐
6%(60x)
千克，根据题意，得
30%x6%(60x)6010%

解方程，得
x10

60x601050

答：甲种浓度盐水取10千克，乙种浓度盐水取50千克。
点津：
浓度问题是列方 程解应用题的常见类型之一，关键是要找出配制前后溶液中哪些量不发
生变化，从而寻找出等量关系，进 而列出方程求解。

从上述例题我们知道，列方程解应用题的步骤是
（1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系；
（2）设元：选择适当未知数，用字母表示；
（3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量；
（4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；
（5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解；
（6）检验并答题。





仿练、现有两种酒精溶液，已知甲种酒精溶液中含酒精18 千克，含水12千克；乙种酒

精溶液中含酒精3千克，含水9千克。现在要得 到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，
问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克？
思路导航：
与上题一样属于溶液混合配制问题。需要先算出甲种、乙种酒精溶液的浓度，再根 据等
量关系列出方程。
解答：
设应取甲种酒精溶液
x
千克，那么 乙种酒精溶液应取
(77x)
千克，所取的甲种酒精
溶液含酒精
x18
3
100%
千克，所取的乙种酒精溶液含酒精
(77x) 100%
千
1812
39
克，根据题意，得
x
解方程，得
x10

183
100%(77x)100%7

181239
77x14104

答：甲种酒精溶液应取10千克，乙种酒精溶液应取4千克。
点津：
在列方程解应 用题的步骤中，最重要的是对题目的分析，对列方程不要急于求成。在一
道应用题中，往往含有几个未知 数，应恰当的选择其中的一个，用字母
x
表示出来，然后根
据数量之间的关系，将其他 几个未知量用含
x
的代数式表示出来，再用列代数式时没有用到
的等量关系列出方程。

知识点二 如何找等量关系
熟悉实际问题中各种量之间的相等关系是列方程解应用题的基础。
找寻相等关系的基本方法有：
（1）运用基本公式找寻相等关系；
（2）从关键词中找寻相等关系；
（3）运用不变量找寻相等关系；
（4）对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），得到相等关系。

例 2、一件工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成，现在先由甲单独做
4小时，剩下的 部分由甲、乙合作，剩下的部分需几小时完成？
思路导航：
此题属于工程问题，可把总工作 量看作1，甲单独做4小时的工作量和甲、乙合作的工
作量之和就等于总工作量“1”。
解答：
设剩下的部分甲、乙合作需
x
小时完成，则甲单独做4小时的工作量 为
乙合作
x
小时的工作量为
(
1
4
，甲、
20
11
)x
，根据题意，得
2012
111
4()x1

202012
解方程，得
x6

答：剩下的部分甲、乙合作需6小时完成。

点津：
列方 程时，关键在于发掘题目中的等量关系。题中所给条件在列方程时不能重复使用，
也不能漏掉不用。重复 利用某一个条件，会得到一个恒等式，却无法求得应用题的解。
比如，此题中这样求解：
设 剩下的部分甲、乙合作需
x
小时完成，则甲、乙合作
x
小时的工作量为
(
11
)x
。
2012
因为由两部分时间共同完成了全部工作量 ，所以前一段时间里甲单独做的工作量为
1(
11
)x
，根据题意，得
2012
1(
1111
)x()x1

2012 2012
11
)x
”是根据“两
2012
显然，化简后得到1=1 ，这个“方程”不能求解。
发生错误的原因就是，“前一段时间里甲单独做的工作量
1(< br>部分时间的工作量之和等于总工作量”，而又根据这个条件列出了“方程”，这个条件被重复
利用 了。

仿练、一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。单开甲管< br>16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全池水放完。
现 在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问：又经过几分钟后才能将水池注满?
思路导航： < br>由题意知甲、乙、丙管的工作效率分别为
111
,,
，相等关系是：甲工作量+ 乙工作
161020
量+丙工作量=全部工作量，只不过丙管是来“捣乱”的。
解答：
设又经过
x
分钟才能将水池注满，则甲管在前4分钟的工作量为分钟的工作量为
为
1
4
，乙管在前4
16
11
4
，乙管在后
x
分钟中的工作量为
x
，丙管在后
x分钟中的工作量
1010
1
x
，依题意得方程：
20
1111
44xx1

16101020
解得
x7

答：又经过7分钟后才能将水池注满。

知识点三 直接设元与间接设元
例3、甲乙两站之间的路程为
354km
，一列慢车从甲站开往乙站，慢车走了1.5小时后 ，
另有一列快车从乙站开往甲站，已知慢车每小时走
46km
，快车每小时走
68km
，问两车各
走多少小时后相遇?
思路导航1：
本题属于行程问题 中相向而行的相遇问题。为了弄清题目中各数量之间的关系，经常需
要画图或列表。如图可知，慢车和快 车行走的路程之和等于甲乙两站之间的总路程。

解答1： 设快车走了
x
小时后与慢车相遇，那么快车走的路程为
68x
千米，慢车 走的路程是1.5
小时走的路程加上
x
小时走的路程，即
(46x461 .5)
千米，相遇时两车所走的路程之和
为354千米，由此可得方程：
46

x1.5

68x354

解得：x=2.5
所以慢车走的时间是
x1.54
（小时）
答：慢车走了4小时，快车走了
2.5
小时后两车相遇。
思路导航2：
也可以设慢车走的时间为
x
小时。

解答2：
设慢车走 了
x
小时后与快车相遇.那么快车在相遇时所用的时间为
x1.5
小时，它 们各
自走的路程为：快车
68

x1.5

千米，慢车< br>46x
千米，依题意可列方程为：
46x68

x1.5

354

解得：
x4

所以快车走的时间为
x1.52.5
（小时）
答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。
思路导航3：
以上两种解 法是采用了直接设未知数的方法，下面我们可以采用间接设未知数的方法，
将快车走的路程设为未知数， 然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列
方程求解。

解法3：
设两车相遇时快车走的路程为
x
千米，那么快车所用的时间为
时后到相遇时所 用的时间为
可以依题意列出方程为：
x
小时，慢车从1.5小
68
354461.5x
小时，由这两段路程相遇时所用的时间相等，
46

< br>
354461.5xx


4668
解得：
x170

相遇时快车用的时间为：
170
2.5
（小时）
68
慢车所用的时间：
1.52.54
（小时）
答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。
思路导航4：
采用间接设 未知数的方法，也可以将慢车走的路程设为未知数，然后通过慢车和快车同
时走的时间相等，即图中同色 部分，列方程求解。

解法4：
设慢车从开出到相遇所走的路程为
x千米，那么慢车从1.5小时后到相遇时所用的时间
为
x461.5354x
小时，而快车自开出到相遇时所用的时间为小时，依题意，以上2
4668
x461.5 354x


4668
解得：
x184

个时间相等，可列出方程：
184
4
小时
46
354184
2.5
小时 快车走的时间为：
68
慢车走的时间是
答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。
点津：
一 般题目问什么，就设什么为
x
，这称为直接设元。但这不是绝对的，有时直接设元后
不 利于列代数式和列方程，我们也可以设其他未知数为
x
，这称为间接设元。
到底如何 设元，要根据题目中的数量关系决定，怎样设元方便就怎样设。但是如果选择
间接设元，那么解出方程后 还要换算出题目所求的量。

仿练、甲、乙、丙三人，甲每小时走
3
131
公里，乙每小时走
3
公里，丙每小时走
4
公
252
里，若甲、乙两人在A地，丙在B地，三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，丙在遇到乙
后3分钟才遇到 甲。求A、B两地的距离？
思路导航1：
此题属于行程问题中的相遇问题，而且此题中有两个相遇问题，它们的相遇时间差3
分钟。

解答1：
设A、B两地的距离为
x
公 里，则丙与乙的相遇时间为
x
31
34
52
小时，丙与甲的相遇< br>时间为
x
11
34
22
小时，根据题意，得
x< br>11
34
22

x
31
34
52

3

60
解这个方程，得
x32.4

答：A、B两地相距32.4公里。
思路导航2：
也可以间接设元，设丙与乙的相 遇时间为
x
小时，则可以表示出丙与甲的相遇时间，及
各自的相遇路程，再根据相遇路 程相等来列方程。

解答2：
设丙、乙的相遇时间为
x
小时，则 丙、甲的相遇时间为
(x
3
)
小时，相遇路程分别是
60
31113
(34)x
公里、
(34)(x)
公里，根据题意，得
522260
31113
(34)x(34)(x)

522260
解这个方程，得
x4

3131
(34)x(34)432.4

5252
答：A、B两地相距32.4公里。
点津：
此题要注意单位的统一。
3.课堂练习
（1）甲、乙两人环湖竞走，环湖一周40 0米，乙的速度是80米分，甲的速度是乙的
速度的
1
1
倍，且甲在乙前10 0米，多少分钟后，两人第一次相遇。设经过
x
分钟两人第一
4

次相遇，所列方程为（ ）
A.
80x10080
5
x

4
5
x

4
B.
80x30080
5
x

4
5
x

4
C.
80x10080
D.
80x30080
（2）一列火车匀 速前进，从它进入300米长的隧道到完全通过一共用20秒钟，又知隧
道顶部一盏固定的灯光垂直照射 火车10秒钟，求这列火车的长度和速度。在这个问题中路
程和时间的关系是（ ）
A. 火车走300米路程用20秒
B. 火车走的路程等于隧道长与车身长的差，用了10秒
C. 火车走的路程等于隧道长与车身长的和，用了20秒
D. 以上都不对
（3）有含盐30%的盐水240千克，要将盐水稀释成1.5%，需加水（ ）千克
A. 4800 B. 4560 C. 5040 D. 4680
（4）某 件工程，甲单独做要用15小时完成，乙单独做要用12小时完成。若甲先做1
小时，乙又单独做4小时 ，剩下的工作两人合作，再用几小时可全部完成任务？
设两人合作再用
x
小时可完成任务，则下列方程中正确的个数是（ ）
①
14xx
1
；
15121512
1x4x
)
；
151512
②
4x1x
1
；
1215
1411
()x1
。
15121512
③
1(
④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（5）一队学生从学校步行前往工厂参观，速度为每小时5千米，当走了 1小时后，一
名学生回学校取东西，他以每小时7.5千米的速度回学校，取了东西后立即以同样的速度 追
赶队伍，结果在离工厂2.5千米处追上队伍，求学校到工厂的路程（取东西的时间忽略不计）。
若设学校到工厂的距离为
x
千米，列出的方程是（ ）
A.
x11x2.5


557.57.5
B.
x2.5x2.5
12

57.5
x11x2.5
2.5

557.57.5
C.








x2.55x2.5
1

57.57.5
D.