留学印度-经理助理职责

整数裂项


知识点拨
整数裂项基本公式

1
(1)
122334...(n1)n
(n1)n(n1)

3
1
(2)
123234345...(n2) (n1)n(n2)(n1)n(n1)

4


【例 1】
122334L4950
=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S＝
122334L4950

1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……
49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50
3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51
S＝49×50×51÷3＝41650
【答案】
41650


【巩固】
1223344556677889910
________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对 于项数较多的情况显然
不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：
n
n1

n2



n1

n

n1

11
n

n1

n

n1

n2



n1

n

n1

，
333
11 1

1

1

所以原式
123

234123


L


9 10118910


333

3

3

1
91011330

3
另解：由于n

n1

n
2
n
，所以
原式
1
2
12
2
2L9
2
9

例题精讲

11


1
2
2
2
L9
2



12L9

91019910
330

62
1
采 用此种方法也可以得到
1223Ln

n1

n< br>
n1

n2

这一结论．
3
【答案】
330


【例 2】
1447710L4952
=_________
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 设S＝
1447710L4952

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2

4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7
7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10
………….
49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52
9S＝49×52×55＋1×4×2
S=（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572
【答案】
15572


【例 3】
123234345L91011

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
11
【解析】
n

n1

n2

n

n1

n2

n3
< br>

n1

n

n1

n 2

，所以，
44
111

1

1< br>
原式
1234

23451234


L


910111289101 1


444

4

4

1< br>9101112
2970

4
1
从中还可以看出 ，
123234345Ln

n1

< br>
n2

n

n1

n2

n3


4
【答案】
2970


【例 4】 计算：
135357L171921
．
【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 可以进行整数裂项．

357

579


35791357
，
8
579113579
，
8
1719212315171921
，
8
35 7913571719212315171921
L
88
171921
所以原式
135
135
1719212313571719212313 5
19503


88
也可适用公式．
原式


32

3

32



52

5

52

L
< br>192

19

192



3
2
2
2

3

5
2
2
2

5L

19
2
22

19



3
3
5
3
L19
3

4

35L19
< br>


1
3
3
3
5
3
L19
3

4

135L19

3

而
1
3
3
3
5
3
L 19
3
1
3
2
3
3
3
L20
3
2
3
4
3
6
3
L20
3


11
20
2
21
2
810
2
11
2
19900
，
44
1 35L1910
2
100
，所以原式
199004100 319503
．
【答案】
19503

【巩固】 计算：
123434565678L979899100

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补 上，
再进行计算．
记原式为
A
，再设
B234545 676789L96979899
，
则
AB123 423453456L979899100

1
9798991001011901009880
，
5< br>现在知道
A
与
B
的和了，如果能再求出
A
与
B
的差，那么
A
、
B
的值就都可以求出来了．
AB1 2342345345645675678L979899 100

4(123345567...979899)

22 22
4

2(21)4(41)6(61)
L
98(981)



4(2
3
4
3
6
3
L98
3
)4(246L98)

11
4849
2
50
2
41004 9
48010200

42
所以，
A

190 100988048010200

2974510040
．
【答案】
974510040


【例 5】
2004 2003200320022002200120012000L21

【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式
2003220012L3212

2

135L20012003


2

12003

10022

2008008

其中也可以直接根据公式
1357L

2n1

n
2
得出
135L200120031002
2

【答案】
2008008


【例 6】
11!22!33!L20082008!

【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算
【解析】 观察发现
22!221(31)213!2!
，
33!3321(41)3214!3!
，……
20082008!200820082007
L
21
， < br>(20091)20082007
L
212009!2008!可见，原式
1!(2!1!)(3!2!)L(2009!2008!)

2009!

【答案】
2009!


123456
L
99100
【例 7】 计算：


2345
L
9899
【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算
B
【解析】 设原式=
A
AB122334L989999100

1




123012
< br>

234123


L

< br>991001019899100




3

1

99100101333300

3
BA1232L992501005000

B33330050003383


A33330050003283

【答案】

3383

3283