因为有了期盼-合工大考研分数线

3-1-4多次相遇和追及问题



教学目标

1. 学会画图解行程题
2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题

知识精讲

板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题 都是围绕“
路程速度时间
”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追
及问题虽然较 复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而
解．

【例 1】 甲、乙两名同学在
周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同时背 向练习跑步，甲每秒
钟跑
3.5
米，乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十 次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出
发点？






【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒
2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？






【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发， 8分钟后两人第五次相
遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上
的最短路程是多少米?






【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度
各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的
速度各是多少？

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板块二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发 ，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在
离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回 头去追小明，
再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？








【例 4】 甲、乙两车同时从A地 出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。已知甲车的速
度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相 遇都在途中C地。问：甲车的速
度是乙车的多少倍？








【例 5】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两 端点同时开始以匀速按相反的方向
绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走 完一周前60
米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．






【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两 人在C点第
一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆
的 周长是多少米？





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【巩固】 如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发 反向而行，两人
在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，
求这个圆的周长。
D
A
甲
B
乙
C

【巩固】 在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再
过4 分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？








板块三、多次相遇与全程的关系

1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
…………， ………………；
第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每
次都走 2N米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
…………， ………………；
第N次相遇，共走2N个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键 几个全程
多人相遇追及的解题关键 路程差

【例 6】 甲、乙两车分别同时 从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相
遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第 二次在离B地25千米处相遇．求A、
B两地间的距离是多少千米？





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【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地 同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即 返回，在距B
地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.






【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向 而行，他们第一次相遇
地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B< br>地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.



【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地 点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地4千米处第二次相遇，求 两人第5次相遇地点距B 多远.






【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地 点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地3千米处第二次相遇，求 第三次相遇时共走了多少千米.






【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地 点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地2千米处第二次相遇，求 第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.






【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们 第一次相遇
地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地 13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.



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【巩固】 甲、乙两车同时从A，B两地相 向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达
对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处 相遇。求两次相遇地点的距
离。





【巩固】 湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛
同 时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：
两岛相距多远？





【例 7】
A
、
B
两地相距2400米，甲从
A
地、乙从
B
地同时出发，在
A
、
B
间往返长跑。甲
每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后 停止运动。甲、乙两人在第
几次相遇时
A
地最近？最近距离是多少米？


【巩固】
A
、
B
两地相距950米。甲、乙两人同时由
A
地出发往返锻炼半小时。甲步行，每
分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第___ __次迎面相遇时
距
B
地最近。







【例 8】 如图8，甲、乙两艘快船不断往返于
A
、
B
两港之间。若甲、乙同时从
A
港出发，
它们能否同时到达下列地 点？若能，请推出它们何时到达该地点；若不能，请说
明理由：
（1）
A
港口；
（2）
B
港口；
（3） 在两港口之间且距离
B
港30千米的大桥。
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【例 9】 甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定 两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始
游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的 速度分别为1.0米／
秒和0.8米／秒。问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时 两
人共迎面相遇了几次？








【例 10】 甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。已知甲车的
速度是 15千米／时 ，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与
第四次相遇地点相差100千米。求A，B 两地的距离。






【例 11】 欢欢 和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐
乐的速度是每秒5米。两人同 时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次
迎面相遇的地点距离
AB
的中点5米 ，
AB
之间的距离是________。






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【例 12】 甲、乙两车同时从
A
、
B
两地相对亦开出，两车第一次距
A
地32千米处相遇，相
遇后两车继续行驶，各自达到
B
、
A
两地后，立即沿原路返回，第二次在距
A
地
64千米处相遇，则
A
、
B
两地间的距离是__________千米。









【例 13】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为
6米秒，小红的速度为4米秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在
这段时间内，他们迎 面相遇了多少次？









【例 14】
A
、
B
两地间有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B
地，乙骑摩托车从
B
地出发，
不停地往返 于
A
、
B
两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达
B
地时，乙追上甲几次？









2
【例 15】 甲、乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇
3
后继续行进，甲到
B
地、乙到
A
地后立即返回．已知两人 第二次相遇的地点距第
三次相遇的地点是100千米，那么，
A
、
B
两地相距 千米．






【巩固】 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而
行， 两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算
作相遇)，则甲、乙两地的 距离为 千米．

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【巩固】 A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间， 都是到达一地
之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇
都 在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？










【例 16】 小张与小王分别从甲 、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就
马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一 次相遇，在离乙村2千米处第二次相
遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？







【例 17】 A，B两 地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地出发不停顿
地往返于A，B两地之间。他们 同时出发，80分后两人第一次相遇，100分后乙
第一次超过甲。问：当甲到达B地时，乙追上甲几次 ？







【例 18】 电子 玩具车
A
与
B
在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。已< br>知
A
比
B
的速度快
50%
，根据推算，第
2 007
2007
次相遇点与第
2008
2008
次相遇点
相 距
58
厘米，轨道长 厘米。





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板块四、解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交
叉线，按 要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次
数”，“相遇的地点” ，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们
知道每个物体走完一个全程时所用的 时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样
的一般人儿来说不容易。

【例 19】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往
哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约
前（途中）能遇上几艘从 纽约开来的轮船？











【巩固】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5 分钟有一辆电车从甲
站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲< br>站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来
的电车．到达甲 站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多
少分钟？














【例 20】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 1米，乙的速
度是每秒
0.6
米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了1 0分钟后，
共相遇几次？






【例 21】
A
、
B
两地位于同一条河上，
B
地 在
A
地下游100千米处．甲船从
A
地、乙船从
B
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地同时出发，相向而行，甲船到达
B
地、乙船到达
A
地后，都立即按原来路线返
航．水速为2米秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相 遇的地点相
距20千米，那么两船在静水中的速度是 米秒．





【例 22】 A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往
返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米．在 30分钟内，甲、
乙两人第几次相遇时距 B 地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？










【巩固】 A、 B 两地相距 950 米．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲步行，
每分钟走 40 米；乙跑步，每分钟行 150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距
B 地最近？










【巩固】
A< br>、
B
两地相距
950m
，甲、乙两人同时从
A
地出发 ，往返
A
、
B
两地跑步
90
分
钟．甲跑步的速度是 每分钟
40m
；乙跑步的速度是每分钟
150m
．在这段时间内
他们 面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离
B
点的距离最近？






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【巩固】 A、 B 两地相距 2400 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往
返锻炼．甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动．甲、
乙两人第几次相遇时距 A地最近？最近距离是多少？










板块五、多次相遇问题——变道问题
【例 23】 甲、乙两车同时从同一点
A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲
车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55 千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立
刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发 后第11次
相遇的地点距离
A
点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)










【例 24】 下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行
75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，
是出发以后的第几 次相遇？











【例 25】 如图所示，甲、乙两人从长为
400
米的圆形跑 道的
A
点背向出发跑步。跑道右半
部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都 将减慢，在正常的跑道上甲、
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乙速度均为每秒
8
米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒
4
米。两人一直跑下
去，问：他们第99次迎面相遇的地方距
A
点还 有 米。
A















【例 26】 如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程
相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑
道顺时针方向跑 ,两人同时从两跑道的交点
A
处出发,当他们第二次在跑道上相
遇时,甲共跑了多少米 ?
甲乙
A
乙
甲
乙
B
甲
甲乙
A< br>









【例 27】 下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。 两只
甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当
小圆上甲虫 爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？
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【例 28】 如图所示，甲沿长为
400
米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆 八字形跑步
(图中给出跑动路线的次序：
12341LL
）。如果甲、乙两 人同时从
A
点
出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的 时间是
出发后 秒。
A
14
3
B
2








【例 29】 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘 米；甲、乙两只爬虫分别从
A
、
B
两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2 号环行跑道作“8”字形循环运
动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只 爬虫的速
度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫
爬了 多少厘米?
A
1
23
B







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【例 30】 从花城到太阳城的公路长12公里．在该路的 2千米处有个铁道路口，是每关闭 3
分钟又开放 3分钟的．还有在第 4千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2分钟红灯
后就亮 3分钟绿灯．小糊涂 驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，
而那两处交通灯也都刚刚切换成红灯．已知电动车速 度是常数，小糊涂既不刹车
也不加速，那么在不违反交通规则的情况下，他到达太阳城最快需要多少分钟 ？












【例 31】 男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步 (坡顶为A，坡底为B．两人
同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是 每秒3
米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．那
么两 人第二次迎面相遇的地点离A点多少米?
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