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归一问题


教学目标


本 讲主要学习归一问题．通过本节课的学习，学生应了解归一问题的类型，以及解决归
一问题的一般方法， 掌握归一问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.

知识点拨
归一问题

归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值 (单一量)之
后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。
归一问题可 以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结
果，这种问题叫做正归一问题 （也称正归一）；如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7
小时行驶多少千米？解决此类问题的关 键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另
一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法 求出所求的结果，这类问题叫做反归一
问题（也称反归一）。如：修路队6小时修路180千米，照这样 ，修路240千米需几小时？
解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？
正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归
一问题是 求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量．
解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题 中“照这样计算”、“用同样的速
度”等 句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。有的问题一次
归一不能解决，需要 两次归一或与倍比相结合才能解决。
归一问题的基本关系式：
总工作量

每份的工作量(单一量)

份数 (正归一)
份数

总工作量

每份的工作量(单一量) (反归一)
每份的工作量(单一量)

总工作量

份数

例题精讲
模块一、简单的归一问题

【例 1】 某人步行，3小时行15千米，7小时行多少千米？
【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 。 答：7小时行35千米。
153735
（千米）
【答案】
35


【巩固】 一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小
时？
【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 先求每小时航行 多少千米，再求航行270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。
每小时航行多少千米：108÷4 =27（千米）
270千米需航行多少小时：270÷27=10（小时）
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共需多少小时：10+4=14（小时）
综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小时）。
【答案】
14


【巩固】 小红骑车3分钟行600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学
校有多少米？
【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】
600310200102000
（米）。
答：小红家到学校有2000米。
【答案】
2000


【巩固】 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样的速度，30分钟爬行多少分米？
【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 本题属于正归一，有两种解题思路．
(方法一)归一思想．为了求出蜗牛30分钟爬多少分米，必须 先求出1分钟爬多少分米(单
一数)，“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这 个数目
为依据按要求算出结果．小蜗牛每分钟爬行
1262
(分米)，30分钟爬
23060
(分米)．
(方法二)倍比思想．仔细观察题目中所给的条件，已知 30分钟正好是6分钟的5倍，爬行
的距离也应是12的5倍．即
12560
(分 米)．
【答案】
60


【例 2】 一列火车从甲地开往乙地， 开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行
驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、
乙两地距离）。
火车每小时行多少千米：150÷2.5=60（千米）
火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时）
甲乙两地相距多少千米：60×5.5=330（千米）
综合算式： 150÷2.5×（2.5+3）=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米）。
【答案】
330


【例 3】 一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字。
1分钟能打多少个字：
180015120
（个）。
1小时能打多少个字：
120607200
（个）
综合算式：
18001560120607200
（个）。
【答案】
7200


【例 4】 先根据条件提出问题，使它成为一步计算的应用题，再口头列式解答．⑴孙悟空
3天吃了45个桃子， ？⑵学学买2支钢笔用了18元钱，
_______ ？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 建议老师可以先 让学生提出问题使它成为一步计算的应用题：⑴每天吃多少个？⑵
每只钢笔多少元？再让学生提出问题使 它成为两步计算的应用题．如：⑴7天吃多
少个桃子？⑵54元可以买多少只钢笔？使本道例题成为归一 问题的最典型的题
目，使学生感受归一问题的题型．
【答案】答案不唯一：
⑴每天 吃多少个？⑵每只钢笔多少元？再让学生提出问题使它成为两步计算的应
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用题．如：
⑴7天吃多少个桃子？⑵54元可以买多少只钢笔？
使本道例题成为归一问题的最典型的题目，使学生感受归一问题的题型．

【例 5】 绿化队3天种树210棵，还要种420棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少
天？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种420棵树需要的天数是种
210
棵树 的倍数为：
4202102
(倍)，所以种420棵树需要的天数为：
326
(天)，
也就是完成任务共需
369
（天）．
【答案】
9


【巩固】 绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少
天？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 （方法一）倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种400棵树需要的
天数是种200
棵树的倍数为：
4002002
(倍)，所以种400棵树需要的天数为：428
(天)，也就
是完成任务共需
4812
（天）．
（方法二）归一思想．先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务．单一数：
200450< br>（棵），总共的天数是：
(200400)5012
（天）．
【答案】
12


【巩固】 绿化队
3
天种树20 0棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少
天？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种4 00棵树需要的天数是种
所以种400棵树需要的天数为：
200
棵树天数的：
4002002
(倍)，
326
(天)，
也就是完成任务共需369
（天）．
【答案】
9


【例 6】 一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克．照这样计算，磨完剩下的面粉
还要几小时？
【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 (方法一)通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几
小时，所以 剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．
（20060）（603）7
(小
时)．
(方法二)通过3小时磨60千克，可以求出1小时磨粉数量.磨完200千克面粉需 要
的时间为：
那么磨剩下的面粉需要时间即为：
200（603）10
(小时)，
1037
(小
时)．
【答案】
7


【例 7】 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生
产牛奶多少千克？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 以1头奶牛1天 产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：
6305718
(千克)，8
头奶牛1 天产奶：
188144
(千克)，8头奶牛15天产奶：
144152160
(千克)．
【答案】
2160

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【巩固】 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生
产牛奶多少千克？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 以1头奶牛1天 产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：
6305718
(千克)，8
头奶牛1 天产奶：
188144
(千克)，8头奶牛12天产奶：
144121728
(千克)。
【答案】
1728


【例 8】 8个人10天修路840米,照这样算,20人修4200米,要_____天.
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先进行两次归一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。
综合算式：4200÷(840÷10÷8×20)=20(天).
【答案】
20


【巩固】 5个人2小时植树20棵，6个人3小时植树多少棵？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要求6个人3小时植树多少棵，必须先求出5个人1小时植的棵数，再求出1个人
1小时所植的棵数。
20÷5÷2×6×3＝2×6×3＝36（棵）
答：6个人3小时植树36棵。
【答案】
36


【例 9】 3名工人5小时加工零件90个，10名工人10小时加工零件多少个？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工
(903)56
（个），那
么一个人10小时可以加工
61060
（个），10名工人10小时加工零件：
6010600
（个）．
【答案】
600


【例 10】 3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人
多少名？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (方法一)3名 工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工
（903）56
（个），那么一
个人10小时可以加工
61060
个，540个零件在10小时做完就需要
540609
(人)．
(方法二)3名工人5小时加工零件90个，假设在时间相同的 情况下3名工人10小时加工零
件180个零件，要完成540个零件用倍比的思想，540个零件是1 80的3倍，时间
相同，完成零件的数量是3倍，那么工人也是3倍的关系，
339
(人)．
【答案】
9


【巩固】 5个人挖3米长的沟需要用3个小时，那么用50个小时挖50米的沟需要多少名
工人？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为5个人挖3 米长的沟需要用3个小时，那么5个人用1个小时就可以挖1米长
的沟，所以5个人用50个小时也就挖 了50米长的沟．
【答案】
5


【巩固】 2台机器20分钟造纸80吨，照这样计算，1台机器1小时造纸多少吨？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 1台机器1分钟造纸：
802022(吨)，1小时=60分钟，也就是1台机器1小
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时造纸：
260120
(吨)
【答案】
120


【巩固】 如桌3台数控机床4小时可以加工9 60个同样的零件，那么1台数控机床加工400
个相同的零件满要多长时间？．
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第13题
【解析】 归一问题， 1台数控机床l小时加工960÷3÷4= 80个同样的零件；l台加工400
个零件需要400÷80 =5小时．
【答案】
5
个小时

【例 11】 一个长方体的水槽可容水48 0吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管
8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满 池水排空.两管齐开需多少小时
把满池水排空？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速 度.
当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的
水等于进 水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池
水所需时间。①进水速度：48 0÷8=60（吨小时）②排水速度：480÷6=80（吨
小时）③排空全池水所需的时间：480÷ （80-60）=24（小时）列综合算式：480
÷（480÷6-480÷8）=24（小时），两 管齐开需24小时把满池水排空。
【答案】
24


【例 12】 花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90
棵，请算出桃树有 几棵？
【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 每只小 猴分：
200540
(棵)，现在一共分：
40602400
(棵) ，一共有桃树：
2400902490
(棵)．
【答案】
2490


模块二、复杂的归一问题

【例 13】 在梵文书《僧祗律》里有这样一段文字：一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十
瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。平
时我们常说的“刹那间… …”，一刹那是_____秒。
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【解析】 60×60×24÷30÷20÷20÷20÷20

0.018 (秒)。
【答案】
0.018
秒

【例 14】 小红生病住院了，为了祝 她早日康复，三(一)班和三(二)班一起为她叠千纸鹤，
计划两个班的同学3天一共叠了2400只千 纸鹤。现在两个班级的同学同时开始
叠，在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，三(二) 班叠了2370只千纸
鹤．那么三(一)班和三(二)班每天各叠多少只千纸鹤？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 （方法一)三( 一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：
24003800
(只)，“相同时间”
是 ：
（24302370）8006
(天)，三(一)班每天叠的个数：
243 06405
(只)，三(二)班每天
叠的个数：
23706395
( 只)．
(方法二)这道题的已知条件可以分两层．第一层：两个班的同学3天一共叠了2400只千纸
鹤，第二层：在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，四(二)班叠了2370
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只千纸鹤.由这两个条件可以求出在相同的时间内， 两个班共叠千纸鹤
2430+23704800
(个)；叠2400只用3天，叠4800只 用几天呢？先求出4800是
2400的几倍，也一定是3天的几倍，即“相同时间”．“相同时间”是 ：
3（[2430+2370）2400]
(天)，三(一)班每天叠的个数：
24306405
(只)，
三(二)班每天叠的个数：
23706395(只)．
【答案】三(一)班每天叠的个数：
405
只，三(二)班每天叠的个 数：
395
只

【巩固】 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个．现 在二人同时工作，在相同时间内，甲
打字2450个，乙打字2050个．求甲、乙二人每小时各打字多 少个？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (方法 一)甲、乙二人每小时共打字：
36004900
(个)；“相同时间”是：
（2 450+2050）9005
(小
时)；甲打字员每小时打字的个数：
2 4505490
(个)；乙打字员每小时打字的个数：
20505410
(个 )．
(方法二)这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，
在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时
间内， 甲乙二人共打字
245020504500
(个)；打字 3600个用4小时，打字4 500
个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时
间”．“相同时间”是：
4（[2450+2050）3600]5
(小时)；甲每小时 打字：
24505490
(个)；乙每小时打字：
20505410
(个)．
【答案】甲每小时打字：
490
个；乙每小时打字：
410
个

【例 15】 某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床 后，
（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 此题要求的两个 问题都需知1台1小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个
量，需用“两次归一”，即先求出4台 1小时生产多少，再求1台1小时生产多少。
600÷5＋4÷（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（个）
6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小时）
答： （1）8小时可以生产1680个零件。（2）如果要生产6300个零件30小时可以
完成。
【答案】（1）8小时可以生产1680个零件，（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成

【巩固】 学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如
果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 1套课桌椅的价钱是：
4804120（个），7套的价钱是：
1207840
（个），3000
元可以买到：300012025
（套）．
【答案】7套的价钱是
840
个，3000元可以买到
25
套

【巩固】 王师傅2小时加工了62个零件，照这样计算，他每天工作8小时可以加工多少个
零件？如果要加工372个零件，需要几小时？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 王师傅1小时加工零件：
62231
(个)，8小时可 以加工零件：
318248
(个)，
加工372个零件需要时间：
372 3112
(小时)
【答案】8小时可以加工零件
248
个，加工372 个零件需要时间
12
小时。

【巩固】 4名工人加工455个零件。开始 的4天中有一名工人因事请假1天，结果共加工
195个零件。如果以后无人清假，那么还要 天可以完成任务。
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛
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【解析】 每人每天加工零件195÷(4×4-1)

13(个)，剩下的零件还需加工 (455-195)÷
(13×4)

5(天)。
【答案】
5
天

【例 16】 某运输公司用6辆汽车运水泥，每 天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆
同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 “增加4辆同样 的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增
加前的运输量的和，即10辆汽车的运输 量。96÷6×（6+4）=16×10=160（吨）。
答：每天可运水泥160吨。
【答案】
160


【例 17】 7辆“黄河牌”卡车6趟运走3 36吨沙土．现有沙土560吨，要求5趟运完，求
需要增加同样的卡车多少辆？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (方法一)要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运
完560吨沙土，
每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土．一辆卡车一次能运沙土：
336 675678
(吨)；560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走：
5605112
(吨)；需
要增加同样的卡车：
112877
(辆)．
(方法二)在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：
①
33667
，②
33676
.算式①先除以6，先求出7 辆卡车1次运的吨数，再除以7求
出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数 ，再除以6，求出每
辆卡车的载重量．在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的 计算方法：
⑴
56058112814
(辆) (其中112是所需的卡车一趟运走的吨数)
⑵
5608570514
(辆) (其中70是运走560吨沙土需要的车次)
⑶
560（85）5604014
(辆) (其中40是一辆卡车5次运走的吨数)
【答案】
7


【巩固】 5台拖拉机24天耕地12000公亩．要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样
拖拉机多少台 ？
【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 1台拖拉机 1天耕地：
12000245100
(公亩)，18天耕完54000公亩土地需要拖拉机：
540001810030
(台)，需要增加
30525
(台)拖拉机．
【答案】
25


【例 18】 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨．现有沙土420吨，增加了3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？
【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 1辆卡车1趟运沙土：
3364712
(吨)，现在有
4 37
(辆)卡车，需要
420（712）5
(趟)就可以运完．
【答案】
5


【例 19】 孙悟空组织小猴子摘桃子．开始时， 16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计
算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个， 那么需要增加多少只小猴
子一起来摘桃子呢？
【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 要求增加多少只小猴子，必须先求出需要多少只小猴子去完成孙悟空布置的任
务．根据要求，3小时摘桃子1200个，可以先求出1小时共摘桃的个数，即：
12003 400
(个)．再根据每只小猴每小时摘的个数，即：
64016220
(个 )—
—单一量，就可以求出所需要的小猴数量，即：
4002020
(只)，最后 求出增加
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的小猴只数：
20164
(只)．
【答案】
4


【例 20】 8个工人3小时制作机器零件360 个，如果人数缩小了2倍，时间增加了5小时，
可制作机器零件多少个？
【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 此题中人数缩小了2倍指现在的人数是8÷2=4（人）；时间增加了5小时指现在的
时间是
3＋5=8（小时）。
360÷8÷3×（8÷2）×（3+ 5）＝15×4×8= 480（个）
答：可制作机器零件480个。
【答案】
480


【例 21】 甲有桌子若干张，乙有椅子若干把。如果乙用全部椅子换回相同数量的桌子，那
么需要补给甲320元；如果乙不补钱，就会少换回5张桌子。已知3张桌子比5
把椅子的价钱少48元 。求乙原有椅子多少把？
【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试，第17题
【解析】 如果乙不补钱，就少5张桌子，补钱 的话需要补320，那么5张桌子320元，桌椅
单价64元，椅子的单价为(64×3+48)÷5= 48元，原来椅子有320÷(64-48)=20
【答案】
20



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