单身证明-个人自转

操作找规律


知识点拨
知识点说明

在奥数中有一类“不讲道理”的题目，我们称之为“简单操作找规律”。有一些对小学生来说很难证明的 ，
但与证明相比，发现却是比较容易的。这也是数学中的一种重要的思想，在以后的数学学习中会有一种 先猜
后证的解题方法。这类题主要考查孩子们的发现能力。

例题精讲
模块一，周期规律

【例 1】 四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子 ，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐
在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换 ．第二次 是在第一次交换后再左右两排
交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样 一直换下去．问：第十次交换位子
后，小兔坐在第几号位子上？（参看 下图）



【例 2】 在1989后面写一串数字。从第5个数字开始 ，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。
这样得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 8 8 4 2 ……那么这串数字中，前2005个数字的
和是____________。





【例 3】 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的 和8，得到628，再写末两位数字2和8的
和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006 位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和
是 。





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【例 4】 有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个 数之和，在这串数的前2009
个数中，有_________个是5的倍数。





【例 5】 小明按1~5循环报数，小花按1~6循环报数，当两个 人都报了600个数时，小花报的数字之和比
小明报的数字之和多________________。





【例 6】 已知一列数：5，4，7，1，2 ，5，4，3，7，1，2，5，4，3，7，1，2，5，4，，3，……，由此
可推出第2008个 数是____________。





【例 7】 50名同学围成一圈做游戏：从某一个同学开始顺时针从1开始依次连续报数，报含有数字7的数
（如7 ，17，71等）或7的倍数的同学击1次掌. 如此进行下去，当报到100时，所有同学共击掌
___________次.






【例 8】 某班43名同学围成一圈。由班长起从1开始 连续报数，谁报到100，谁就表演一个节目；然后再
由这个同学起从1开始连续报数，结果第一个表演 节目的是小明，第二个演节目的是小强。那么小
明和小强之间有________名同学。






【例 9】 二十多位小朋友围成一圈做游戏． 他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带
有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表 演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学
报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是 19，那么这群小朋友共有 人．




【例 10】 50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报l，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是______
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【例 11】 如果一个自然数的各位数字中有偶数个偶数，则称之为“希望数”。例如，2 6,201,533是希望数，
8,36,208不是希望数，那么，把所有的希望树从小到大排列，第 2010个希望数是____。





模块二，递推规律

【例 12】 有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的 两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写
在这两个数之间，可产生一个新数串：2，
 2
，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后
也可产生一个新数串：2，
4
，
2
，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，< br>5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？





【例 13】 对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一 次变换．如对18和42可作这
样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6
直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．





【巩固】 将两个不同的自然数中较大数换 成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的
操作，则有：18，42→18，2 4→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位
数，按照以上操作，最后 得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．




【例 14】 如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完 成五次
操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？



【例 15】 如右图，一把密码锁上有25个按钮，必须将所有的按 钮都按一遍才能将锁打开；而当我们按一个
按钮后，只能按照这个按钮上的提示按下一个按钮。比如，当 我们按第一行的第二个按钮“下2”后，
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按照提示“下2”，向下2格，只能按第三行的第二个按钮“左1”，接着只能按第三行的 第一个按钮“下
l”……为了打开这个密码锁，请你选择第一个按钮，并将这个按钮涂上阴影。


【例 16】 如左图所示，机器人从5×5方格图左上角阴影格子的中心出发， 每一步都是走向与机器人所在方
格有公共边的方格的中心，最终回到出发点。除去出发的方格外，机器人 最多到过其它方格一次，
图中的折线就是机器人走过的路径。然后我们在机器人没有到过的方格内填上数 ，这个数表示该方
格周围的8个格子中有几个是机器人在格子内拐弯的。现在，已知在右下图所示的7× 7方格图中机
器人未到过的方格填上的数，请你在图中画出机器人行走的路径。


【例 17】 黑板上写着一个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后 再加上刚才
擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．






【例 18】 有一副扑克牌，一开始抓若干张 （小于13张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑克牌数目
相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过 13张，则放回其中的13张，称为一次操作。进行了777次
操作后，手里有7张牌，则一开始手里有 多少张？





【例 19】 有20堆石子，每堆 都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作．经过
不足20次操作后，某 一堆中有石子1990粒，另一堆石子数在2080到2100之间．这一堆石子有
粒．




【例 20】 若干个硬币排成下图。每个 硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数或小数），
如对于a，差为7-5=2。所 有差的总和为（ ）。
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【例 21】 将一个两位数的数字相乘，称为一次“操作”．如果积仍是二 个两位数，重复以上操作，直到得到
一个一位数．例如：
292918188(停止)共经历两次操作．一个两位数经过3次如上操
作，最终得到一位数．这个两位数最小是（ ）．







【例 22】 一 个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键．蓝键为“输入删除”键(按它一下可输入一个数，
再按它一下 则将显示屏上的数删除)．每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄
键，则显示屏上 的数的末位自动消失．现在先按蓝键输入21．
请你设计一个操作过程，要求：⑴操作过程中只能按红 键和黄键；⑵按键次数不超过6次；⑶最后
输出的数是3．






【例 23】 乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如 果乒乓球从
8
米的高度落下，
弹起后再落下，则弹起第 次时它的弹起高度不足1米。





【例 24】 三条直线最多可以将一个正方形分割为 部分。


【例 25】 24 枚棋子排成三行，第一行6枚，第二行7枚，第三行11枚，每次可将一些棋子从一行移入另
一行，但移 动的棋子数必须等于移入那一行的棋子数，人移动三次，使每行都变成8个，把移动过
程写入下表中．

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【例 26】 如图，有一个边长为1的正三角形，第 一次去掉三边中点连线围成的那个正三角形；第二次对留
下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围 成的三角形；…做到第四次后，一共去掉了________
个三角形. 去掉的所有三角形的边长之和是________.



【例 27】 观察下列正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为65，…
（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外
层方格 的数大1）．如果表
n
中的各数之和等于15505，那么
n
等于_____ ____．
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3
3
3
3
表 1
表 2
3
2
2
2
3
3
2
1
2
3
表 3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
…


【例 28】 从1999这个数里减去253以后，再加上244 ；然后再减去253，再加上244；……这样一直算下去，
当减去第_________次时，得数恰 好第一次等于0 。





【例 29】 在左下表 中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操作
后由左下表变为右 下表，那么右下表中
A
处的数是 ．



【例 30】 如果一个自然数从右往左看和从左往右看都一样，则称这个数为“回文数”。例如343 ，2002都是
回文数。现有一个十六位数2004，请你在这个数的两端或者各位数字加加上一些数字 ，
使它变成回文数。新得到的回文数的数字和最小是 。


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