注册环保工程师报考条件-贵州警官职业学院

5-5-3.同余问题

教学目标

1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数


知识点拨
同余定理

1、定义：若两个整数
a
、
b
被自然 数
m
除有相同的余数，那么称
a
、
b
对于模
m同余，用式
子表示为：
a
≡
b
(
mod

m
)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：
a
同余于
b
，模
m
。

2、重要性质及推论：
（1）若两个数
a，
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则
a
，
b
的差一定能被
m
整除
例如：
17
与
11
除以
3
的余数都是
2
，所以能被
3
整除．
（1711）
（2）用式子表示为：如果有
a
≡
b
(
mod

m
)，那么一定有
a
－
b
＝< br>mk
,
k
是整数，即
m
|(
a
－
b
)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数 ，但当被除位数较多时，
计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“
N
被
m
除的余数”，我们希望
找到一个较简单的数
R
，使得：
N
与
R
对于除数
m
同余．由于
R
是一个较简单的 数，所以可
以通过计算
R
被
m
除的余数来求得
N
被
m
除的余数．
⑴ 整数
N
被2或5除的余数等于
N
的个位数被2或5除的余数；
⑵ 整数
N
被4或25除的余数等于
N
的末两位数被4或25除的余数；
⑶ 整数
N
被8或125除的余数等于
N
的末三位数被8或125除的余数；
⑷ 整数
N
被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数
N
被11除的余数等于
N
的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的 余数；（不
够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数
N
被7，11 或13除的余数等于先将整数
N
从个位起从右往左每三位分一节，奇数节
的数之和与偶 数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余
数．

例题精讲


模块一、两个数的同余问题


【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

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【例 2】 某个两位数加上3 后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这
个两位数是______.






【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？






【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所 得的两个余数的和等于这个自然数去除
220后所得的余数，则这个自然数是多少？





【例 5】 两位自然数
ab
与
ba
除以7都余1，并且
ab
，求
abba
．


【例 6】 现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40 .每人分得
一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的
数 量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼
干_____ 块，桔子_____个。





模块二、三个数的同余问题

【例 7】 有一个大于1的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数.



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【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?






【巩固】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．





【巩固】 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的
余数是 .






【巩固】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个
除数是 。





【例 8】 学校新买来118个乒乓球， 67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品
平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同 ．请问学校共有多少个班？



【例 9】 若2836，4582，5 164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同
且为两位数，除数和余数的和为__ _____．







【例 10】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为
a
，
a2< br>，
a5
，则这
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个自然数是多少？







【巩固】 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余 数依次为
a
,
a
+7,
a
+10,则这个自然数是____ _.







【例 11】 一 个自然数除429、791、500所得的余数分别是
a5
、
2a
、
a
，求这个自然数
和
a
的值.







【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603，939，3 93．某数
A
除甲数所得余数是
A
除乙数所得
余数的2倍，
A
除乙数所得余数是
A
除丙数所得余数的2倍．求
A
等于多少？





【例 13】 已知60，154，200被某 自然数除所得的余数分别是
a1
，
a
2
，
a
3< br>1
，求该自
然数的值．









【例 14】 有一个自然数，它除以
15
、
17
、
19
所得到的商(＞
1
)与余数(＞
0
)之和都相等，
这样的数最小可能是多少．
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【例 15】 三个 不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的
余数也相同，这三 个数是_______，_______，_______。






模块三、运用同余进行论证

【例 16】 在3×3的方格 表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数
加上相同的自然数称为一次操作。问：你 能通过若干次操作使得表中9个数都变
为相同的数吗？为什么？








【例 17】 一个三位数除以17和19都有 余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它
除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数 中最大数是多少，最小数
是多少？







【例 18】 从1，2，3，……，
n
中，任取57个数，使这57个数 必有两个数的差为13，则
n
的最大值为多少？





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【例 19】 设
2n1
是质数，证明：
1
2
，
2
2
，…，
n
2
被
2n1
除所得的余数各不相同．


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