福建高考数学-关于清明节的手抄报

6-1-17-盈亏问题(三).教师版

6-1-7.盈亏问题（三）



教学目标

1. 熟练掌握盈亏问题的本质.
2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．

知识精讲


盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种
不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为
“盈”；还有些实际问题，是把一定 数量的物品平均分给一
定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，
如果每人多 分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类
算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈

亏)

两次分得之差

人数或单位数
(盈

盈)

两次分得之差

人数或单位数
(亏

亏)

两次分得之差

人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次
都有余或两次都不足，不管哪种
情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
注意：1.条件转换； 2.关系互换.

模块一、利用条件关系转换解盈亏问题——转化被分配物质
【例 1】
王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2
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倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5
个.问有多少 个小朋友？多少个苹果和桔子？
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，
因此苹果每人分6个就 多8个.又已知苹果每人分7
个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【答案】
13
个小朋友，苹果
86
个，桔子
43
个

【巩固】
学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球
拍的2倍，分 给同学们，每组分乒乓球拍5副，余
乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，
问 ：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球
拍5× 2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为
14-5×2=4（副），分到最后还差30 副，所以比每次分
10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15
（组） ，乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍
90×2=180（副）.
【答案】羽毛球拍
180
副，乒乓球拍
90
副

【例 2】
有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个
梨分堆，那么梨分完 时还剩2个苹果；如果按每3
个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.
苹果和梨各有 多少个?
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【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次
分配数之差很难找到. 原因在于第一种方案是1个苹
果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个
梨.如果 将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个
梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配53个梨，多
1个梨”，此时盈亏总额为
415
(个)梨，两次分配数之
差为
25313
(个)梨.所以有苹果
(41)(253)15
(个)，有梨
152426
(个).
【答案】苹果
15
个，梨
26
个

【巩固】 < br>有若干梨和苹果，如果1个梨和3个苹果分成一堆，
则多2个梨，如果2个梨和5个苹果分成一堆 ，则
少2个苹果，则梨有 个，苹果有
个。
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第11题
【解析】

62
< br>

32.5

8
个梨，

82
318
个苹果
【答案】梨有
8
个，苹果有
18
个

【巩固】
有红球和绿球若干个，如果按每组1个红球2个绿
球分组，绿球恰好够用，但剩5个红球；如果 按每
组3个红球5个绿球分组，红球恰好够用，但剩5
个绿球，则红球和绿球共有______ _______个。
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第14题
【解析】
设红球有a个，绿球有b个。在第一种分法中，
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(a-5)÷1=b÷2；在第二种分法中,（b-5）÷5=a÷3。解得 ：
b=80,a=45.所以红球和绿球共有80+45=125个。
【答案】
125
个

【巩固】
有若干个苹果和梨，如果 按1个苹果配3个梨分一
堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹
果配2个梨分一堆， 那么梨分完时，还剩半个苹果.
问梨有多少个？
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，
即1个 苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个梨.苹
果有：（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有：3×4 +2=14（个）.
【答案】
14
个

【巩固】
四( 2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称
号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔< br>和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小
堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡 皮2
支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3
块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支 铅笔．那
么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔 正好
分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)
铅笔，但如果按3块橡皮 、6支铅笔分，则正好分完，
可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：
1 5×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．
【答案】橡皮
45
支，铅笔
80
支
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【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干 只．如果5只小白兔和
3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰
兔恰好放完；如果7 只小白兔和3只小灰兔放到一
个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那
么小白兔和小 灰兔共有多少只？
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 < br>“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好
装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了1 2÷3×7＝
28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝
16（个），所以 小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔
有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（ 只）．
【答案】
132
只

【例 3】
幼儿园老师买 了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她
发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果
糖．发 完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力
恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________ 个小朋
友．
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级组，复试题
【解析】
方法一：画线段图分析，由题意知：

从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上
面的2小段相等．如图：
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那么2小段和5份都看成10份量， 那么总量就
相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在
的16份，则剩下的15块水果糖就 占有3份，则
1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量
是：
16580（块），小朋友的人数是：
80810
（人）．
方法二：由上图知，设发完 后奶糖剩下
1
份，则
巧克力剩下
3
份，而巧克力与奶糖每人分得相差
5
块，对应剩下的糖相差
2
份，水果糖与奶糖每人
分得相差
1
块，则对应剩下的糖应相差
250.4
份，
所以水果糖最后应剩下10.40.6
份，恰是
15
块，所
以1份对应的是
15 0.625
，所以应用盈亏问题共有
．
(2515)(87)10
（人）
【答案】
10
人
模块二、盈亏问题的综合运用
“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白
球 ，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，
白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球< br>的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那
么小明共买了多少个球？
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
花球原价1元 钱2个，白球原价1元钱3个．即花球
原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，
同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花
1025
（元），共需要
302 30325
（元）．现在两种球的售价
都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(305)2224
【例 4】
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（元），说明花球和白球各买30个能省下
25241
（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有
304120
（个），共买了
12 02240
（个）．
【答案】
240
个

【例 5】
一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝
前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖 ，结果共用了1
包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每
袋咖啡都只放1块方糖，最 后第3包方糖还剩下36
块，那么每盒咖啡有多少袋？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖
啡每袋放1块糖；
小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3
盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半．
小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，
喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块， 因此一包又24块方糖与两包差24块方糖一样
多，一包方糖有
(2424)(21 )48
（块）．
于是喝前两盒咖啡用掉方糖
482472
（块），每 盒
咖啡的袋数为：
723212
（袋）．
【答案】
12
袋

【例 6】
巧克力每盒
9< br>块，软糖每盒
11
块，要把这两种糖分发给
一些小朋友，每种糖每人一块，由于 又来了一位小朋
友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，
现在又来了一位小朋友， 巧克力还要增加一盒，则最
后共有多少个小朋友？
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【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之
前，软糖应该是刚好分 完几整盒，所以原来的小朋友
人数是
11
的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力< br>糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克
力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋 友人数
是9的倍数减
1
．符合这两个条件的最小的数是
44
，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所
以原有
44
个小朋友，最后有
46
个小朋友．
【答案】
46
个小朋友

【例 7】
有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多
5人．如果把书全部分给第一组，那 么每人4本，有
剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，
那么每人3本，有剩余；每 人4本，书不够．问第二
组有多少人？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；
每人5 本，书不够．说明第一组人数少于
48412
（人），
多于
4859 L3
，即9人；如果把书全分给第二组，那么
每人3本，有剩余；每人4本，书不够．说明第二 组
人数少于
48316
（人），多于
48412
（人）；因 为已知第
二组比第一组多5人，所以，第一组只能是10人，
第二组15人．
【答案】
15
人

【例 8】
有若干盒卡片分给一些小 朋友，如果只分一盒，每人
至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少
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5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而
且还多出4张．问：共有多少个小朋友？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】
首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分
8张则少5张，证明总人数多于5个． < br>如果一共有7盒卡片，则所有人每人要想分到
8756
（张）卡片，还缺35张，卡 片张数比题中
所述要少．
如果一共有9盒卡片，则只要再添上
5945
（张）
卡片，就能使所有人每人分到
8972
（张），人数
1
为
(454)(7260)4
12
5
，不满足总人数多于5个的要< br>求．
类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人
数多于5个的要求．
因 此卡片一共有8盒，添上
5840
（张）卡片，就
能使所有人每人分到
8 864
（张），所以总人数为：
．
(404)(6460)11
（人）
(二解)
6078L4
，
6087L4
，说明卡片 的盒数是8盒，
“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们在每盒
中加5张（8盒共加40张） ，每人就可以得到
8864
（张），现在实际每人得到60张，即每人需要退
出4 张，其中要有4张是每人60张后多下来的，
还有40张是我们一开始借来的要还出去，即要
退 出44张，
44411
（人），说明有11人．
【答案】
11
个小朋友

【例 9】
一班和二班的学生一起出去划船，要求一班和二班的
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学生不能坐同一艘船，但每船都按要求尽量坐满，如
果7人一船，则 共需15船；如果要求8人一船，则
恰好全部坐满；如果要求10人一船，则一班比二班
多3船 ，那么一班和二班分别有_____、______人.
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第13题

【解析】
8人一 船，则恰好全部坐满，那么两班人数都是8的
倍数；10人一船，则一班比二班多3船，说明一班
比二班人多. 7人一船，肯定也是一班船多，多的数
目也是3左右. 由于两班船和是15，是奇数，所以差
也应该是奇数. 下面我们按照差分别是1，3，5分别
讨论.

发现在船数差3和差5的时候，会 出现10人每船
时差3的情况，但是第一种一班人数没有8的倍
数，所以取第二种情况，一班6 4人，二班32人.
【答案】一班64人，二班32人.

【例 10】
幼儿园有三个班，甲班比乙班多
4
人，乙班比丙班多
4
人，老师给小孩分枣 ，甲班每个小孩比乙班每个小孩
少分
3
个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分
5
个
枣，结果甲班比乙班共多分
3
个枣，乙班比丙班总共
多分5
个枣．问：三个班总共分了多少个枣？
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【考点】盈亏问题 【难度】6星 【题型】解答
【解析】
设丙班有
x
个小孩，那么乙班就有
（x4）
个 小孩，甲班有
个小孩．
（x8）
乙班每个小孩比丙班每个小孩少分
5个枣，那么
x
个小孩就少分
5x
个枣，而乙班比丙班总共多分
5
个
枣，所以多出来的那
4
个小孩分了个枣．
（5x5）
同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分
那么个小孩就少分
（3x12）
个枣 ，而甲班
3
个枣，
（x4）
比乙班总共多分
3
个枣，所以 多出来的那
4
个小孩
分了
3x1233x15
个枣． 甲班每个小孩比乙班每个小孩少分
3
个枣，
4
个小
孩就少
3412
个枣，因此我们得到：
5x53x1512
，
解得< br>x11
．
所以，丙班有
11
个小朋友，乙班有< br>15
个小朋友，
甲班有
19
个小朋友；甲班每人分
12
个枣，乙班每
人分
15
个枣，丙班每人分
20
个枣．—共分了121915152011673
（个）枣．
【答案】
673
个

【例 1】
动物园里猩猩比狒狒多 ，猴子比猩猩多。一天，饲
养员拿了10箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只狒狒
多分1根，每只 猴子比每只猩猩多分1根。分完后，
只剩下2根香蕉。如果每箱香蕉数量相同，都是40
多个， 而且猴子比狒狒多6只，猩猩16只。那么，
动物园里有_______________只猴子。
A. 18 B. 19 C. 20
D. 17
【考点】盈亏问题 【难度】6星 【题型】选择
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【关键词】迎春杯，中年级组，复试，8题
【解析】
B
，由题意知，共吃了香蕉
400~500
根，且个位数 是
8
。
设有猴子
n
只，则有狒狒

n6

只。因为猩猩的数量介于
猴子与狒狒之间，所以
17
≤
n
≤
21
。再设每只猴子吃了
a
根
香蕉，则每只猩猩吃了
< br>a1

根，每只狒狒吃了

a2

根。
共吃香蕉
an

a1

16

a2< br>
n6


an16a16an2n6a12

2an10a2n4

2a

n5

2n4

X
。< br>X
的个位数是8，且
17
≤
n
≤
21
若
n17
，则
X44a38
。
a
的个位只能是< br>4
或
9
，不
满足
400X500
；
若
n18
，则
X46a40
。
a
的个位只能是
3
或
8
，不
满足
400X500
；
若
n19
，则
X48a42
。
a
的个位只能是
0或
5
，当
a10
时，
X438
，符合题意；
同理，
n20
或
21
都不符合题意。
所以有猴子
19
只。
【答案】
19


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