问候的短信-入党自转

第一章 行程问题






1
、相遇问题
2
、追及问题
3
行船问题
4
列车问题
5
时钟问题
第二章 分数问题
1
工程问题
2
百分数问题

3
存款利率问题

4
溶液浓度问题

5
商品利润问题
第三章 比例问题
1
、归一问题
2
、归总问题

3
正反比例问题

4
按比例分配问题

5
、盈亏问题

第四章 和差倍比问题
1
和差问题
2
．和倍问题
3.
差倍问题
4
倍比问题
5
年龄问题
第五章 植树与方阵问题
1
植树问题
2
方阵问题
第六章 鸡兔同笼问题
第七章 条件最值问题
1
公约公倍问题
2
最值问题
第八章 还原问题
第九章 列方程问题
第十章“牛吃草”问题
第十一章 数学游戏

1
构图布数问题
2
幻方问题
3
抽屉原则问题
第一章 行程问题
1
、相遇问题
【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间二总路程十（甲速+乙速）
1
总路程=（甲速+乙速）
X
相遇时间

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例
1
南京到上海的水路长
392
千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时
行
28
千米，从上海开出的船每小时行
21
千米，经过几小时两船相遇？
例
2
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行
15
千米，乙每小时行
13
千米，两人在距中 点
3
千米处
相遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点
3
千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢， 甲过了中点< br>3
千米，乙距中点
3
千米，就是说甲比乙多走的路程是（
3
X
2
）千米，因此，
相遇时间=（
3
X
2
）*（
15
—
13
）=
3
（小时）
两地距离=（
15
+
13
）X
3
=
84
（千米） 答：两地距离是
84
千米。
2
、追及问题
【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又 不是同时出
发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间 之内，后面的追上前面的
物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间=追及路程*（快速—慢速） 追及路程=（快速—慢速）
X
追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例
1
好马每天走
120
千米，劣马每天走
75
千米，劣马先走
12
天，好马几天能追上劣马？
例
2
甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑
10
米，则甲跑
5
秒钟可追上乙；若甲让乙先跑
2
秒钟，则 甲跑
4
秒钟
就能追上乙
.
问：甲、乙二人的速度各是多少？
分析 若甲让乙先跑
10
米，则
10
米就是甲、乙二人的路程差，
5
秒就是追及时间，据此可求出他们 的速度差为
10
*
5=2
（米

秒）；若甲让乙先跑
2
秒，则甲跑
4
秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为
4
秒，因此路程差就等
于
2
X
4=8
（米），也即乙在
2
秒内跑了
8
米，所以可求出乙的速度，也可求出甲 的速度
.
综合列式计算如下：
解：乙的速度为：
10
*
5
X
4
*
2=4
（米

秒）
甲的速度为：
10
*
5+4=6
（米

秒）
答：甲的速度为
6
米

秒，乙的速度为
4
米

秒
.
例
3
幸福村小学有一条
200
米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑
6
米，晶 晶每秒钟跑
4
米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第
2
次追上晶晶时两人各跑了多 少圈？
分析 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致
.
因此，当冬冬第一次 追上晶晶
时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长（
200
米），又知道了冬冬和晶晶的速度， 于是，根据追及问题
的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程
.
解： ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：
200
*（
6-4
）
=100
（秒）
② 冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：
③ 晶晶第一次被追上时所跑的路程：
6
X
100=600
（米）
4
X
100=400
（米）
④ 冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：
（
600
X
2
）十
200=6
（圈）
⑤ 晶晶第
2
次被追上时所跑的圈数：
（
400
X
2
）十
200=4
（圈）
答：略
.
解答封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰是一圈的长度
.
3
行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航 行的速度，也就
2

是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速 之和；船只逆水航行的速度是
船速与水速之差。
【数量关系】 （顺水速度+逆水速度）*
2
=船速
顺水速二船速
X
2
—逆水速=逆水速+水速
X
2
船速 水速 顺水速度 逆水速度，其中三个的关系
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例
1
某船在静水中的速度是每小时
15
千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了
8
小时，水速每小时
3
千米，问
从乙地返回甲地需要多少时间？
例
2 .
已知一条小船，顺水航行
60
千米需
5
小时，逆水航行
72
千米需
9
小时。现在小船从上游甲城到 下游乙
城，已知两城间的水路距离是
96
千米，开船时，船夫扔了一块木板到水里，当船到乙城 时，木板离乙城还有
多远？ 顺水航行
60
千米需
5
小时
顺水速度：
60^5=12
逆水航行
72
千米需
9
小时
逆水速度：
72
乜
=8
水流速度：（
12-8
）吃
=2
现在小船从上游甲城到下游乙城，已知两城间的水路距离是
96
千米，开船时，船夫扔了一块木 板到水里，当
船到乙城时，木板离乙城还有多远？
顺水速度
=
船速
+
水速， 逆水速度
=
船速
-
水速
.
（顺水速度—逆水速度）*
2
=水速
逆水速=船速
X
2
—顺水速=顺水速—水速
X
2
96-2 X（ 96^12
）
=80
小船从上游甲城到下游乙城：（
96
T
2
）
木板行的距离
2
X
（
96^12
）
例
3.
一摩托车顶风行
40
千米用了
2
小时，风速为每小时
2
千米，则这辆摩托车行驶时每小时行多少千 米？
4
列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）十车速
火车追及： 追及时间=（甲车长+乙车长+距离）十（甲车速一乙车速）
火车相遇： 相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）十（甲车速+乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。将列车简缩为一个点
例
1
一座大桥长
2400
米，一列火车以每分钟
900
米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共 需要
3
分
钟。这列火车长多少米？
解 火车
3
分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
（
1
）火车
3
分钟行多少米？
900
X
3
=
2700
（米）
（
2
）这列火车长多少米？
列成综合算式
2700
—
2400
=
300
（米）
900
X
3
—
2400
=
300
（米）
答：这列火车长
300
米。
例
2
一列火车穿越一条长
2000
米的隧道用了
88
秒，以同样的速度通过一条长
1250
米的大桥用了
58
秒。求这列
火车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（
—
58
）秒的时间内行驶了（
2000- 1250
）米的路程，因此，火车的车速为每秒
（
2000
—
1250
）-（
88
—
58
）=
25
（米）
进而可知，车长和桥长的和为（
25
X
58
）米，
因此，车长为
88
25
X
58
—
1250
=
200
（米）
3

答：这列火车的车速是每秒
25
米，车身长
200
米。
例
3
一列快车长
184
米，一列慢车长
1 68
米，两车相向而行，，从相遇到离开需
4
秒钟，如果同向而
行，从快车追及慢车到离开，需
16
秒种，问快车和慢车速度各是多少？
解、由于两车两车相向而行，从相遇到离开所行的距离为两车的长度和
184+168=352
米，用时
4
秒，
则两车的速度和为
352
詔
=88
米

秒；如果同向而行，从快车追用慢车到离开的追 及距离同为两车的长度
为
352
米，用时
16
秒，则两车的速度差 为
352^16=22
米

秒•根据和差问题公式可知，快车的速度为：
（
88+22
）吃
=55
米

秒.慢车为
55-22=33
米

秒.
例
4
一列长
225
米的慢车 以每秒
17
米的速度行驶，一列长
140
米的快车以每秒
22
米的速度在后面 追赶，求快车
从追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（
225
+
140
）米，而快车比慢车每秒多行（
22
—
17
）米，因此， 所求的时间
为
（
225
+
140
）-（
22
—
17
）=
73
（秒）
答：需要
73
秒。
5
时钟问题
【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角
为
60
度等。时钟问题可与追及问题相类比。
【数量关系】 分针的速度是时针的
12
倍， 二者的速度差为
1112
。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。钟面的一周分为
格，分针的速度是
1
;时针每小时走
5
格，每分钟走
560
=
112
格。速度是丄
【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。
例
1.
从时针指向
4
点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？
解 钟面的一周分为
60
格，分针每分钟走一格，每小时走
60
格；时针每小时走
5
格，每分钟走
560
=
112
格。每分钟分针比时针多走（
1
—
112
）=
1112
格。
4
点整，时针在前，分针在后，两针相 距
20
格。所以
分针追上时针的时间为
60
格，分针每分钟走一
12
20
-（
1
—
112
）~
22
（分）
答：再经过
22
分钟时针正好与分针重合。
例
2
四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解 钟面上有60
格，它的
14
是
15
格，因而两针成直角的时候相差
15
格（包括分针在时针的前 或后
15
格
两种情况）。四点整的时候，分 针在时针后（
5
X
4
）格，如果分针在时针后与它成直角，那 么分针就要比时针多走
（
5
X
4
—
15
）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走
(
5
X
4
+
15
)格。再根据
1
分钟分针比时针多走(
1
—
112
)格就可以求出二针成直角的时间。
(
5
X
4
—
15
)-(
1
—
112
)~
6
(分)
(
5
X
4
+
15
)-(
1
—
112
)~
38
(分)
答：
4
点
06
分及
4
点
38
分时两针成直角。
例
3
六点与七点之间什么时候时针与分针重合？
解 六点整的时候，分针在时针后(
5
X
6
)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一 个追及问题。
(
5
X
6
)-(
1
—
112
)~
33
(分)
答：
6
点
33
分的时候分针与时针重合
例
4
一只钟的时针与分针均指在
4
与
6
之间，且钟面上的“
5
”字恰好在时针与分针的正中央，问这时 是什么时
刻？
分析 由于现在可以是
4
点多，也可以是
5
点多，所以分两种情况进行讨论：
4

① 先设此时是
4
点多：
4
点整时，时针指
4
，分针指
12.
从
4
点整到现在“
5
在时针与分针的正中央” ，分针走的格数多于
25
，少
于
30
，时针走不足
5
格
.
由于
5
到分针的格数等于
5
到时针的格数，所以时针与分针在这段时间 内共走
30
格
.
时
针和分针的路程和是
30
，除以速度和，可得时间。
② 再设此时是
5
点多：
5
点整时，时针指
5
，分针指
12.
从
5
点整到现在“
5
在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于
20
格 少于
25
格，时针走的格数不足
5
格，由于
5
到分针的格数等于
5
到时针的格数，所以时针与分针在这 段时间内共走
25
格
.
因此，时针和分针的路程和是
25
，除以速度和，可得时间。
第二章 分数问题
1
工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中， 常常不给出工
作量的具体数量，只提出“一项工程” 、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在 解题时，常常用单位
“
1
”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“
1
”，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它 表示单位时
间内完成工作总量的几分之几) ，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的 关系列出算式。
工作量=工作效率
X
工作时间 工作时间=工作量-工作效率
工作时间=总工作量-(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式
例
1
一件工作，甲独做
12
小时完成， 乙独做
10
小时完成，丙独做
15
小时完成。 现在甲先做
2
小时， 余下的
由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们 设总工作量为
12
、
10
、和
15
的某一公倍数，例如最小公倍数
60
，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60
—
12
=
5 60
—
10
=
6 60
—
15
=
4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(
60
—
5
X
2
)-(
6
+
4
)=
5
(小时)
答：还需要
5
小时才能完成。
例
2
一批零件，甲独做
6
小时完成，乙独做
8
小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做
24
个，求这批零
件共有多少个？
解 设总工作量为
1
，则甲每小时完成
16
，乙每小时完成
18
，甲比乙每小时多完成(
16
－
18
)，二人 合做时每
小时完成(
16
+
18
)。因为二人合做需要]
1
*(
16
+
18
)]小时，这个时间内，甲比乙多做
24
个零件，所以
(
1
)每小时甲比乙多做多少零件？
24
*[
1
*(
16
+
18
)] =
7
(个)
(
2
)这批零件共有多少个？
7
*(
16
-
18
)=
168
(个)
答：这批零件共有
168
个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为
由此可知，甲比乙多完成总工作量的=
17
所以，这批零件共有
24
*
17
=
168
(个)
例
3
一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开
4
个进水 管时，需要
5
小时才能注满水池；当打开
2
个进水管时，需要
15
小时才能注满水池；现在要用
2
小时将水池注满，至少要
5
16
:
18
=
4
:
3

打开多少个进水管？
解 注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是 工作量，单位时
间内水的流量就是工作效率。
要
2
小时内将水池注满，即要使
2
小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、 排水管的工
作效率及总工作量(一池水) 。只要设某一个量为单位
1
，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每
小时注水量为
1
,则
4
个进水管
5
小时注水量为(
1
X
4
X
5
),
2
个进水管
15
小时注水量为(
1
X
2
X
15
),从而可知
每小时的排水量为 (
1
X
2
X
15
-
1
X
4
X
5
)*(
15
-
5
)=< br>1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为 1
X
4
X
5
-
1
X
5
=15
又因为在
2
小时内，每个进水管的注水量为
=
8.5

9
(个)
答：至少需要
9
个进水管。
1
X
2
，
所以，
2
小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？ (
15
+
1
X
2
)*(
1
X
2
)
2
百分数问题
【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可 以通分、约分，
而百分数则无需；分数既可以表示“率” ，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率” ； 分数的分子、分母必
须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“
%
”。 在实际中和常用到“百分点”这个概
念，一个百分点就是
标准量=比较量*百分数
【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：
(1)
(2)
(3)
求一个数是另一个数的百分之几；
已知一个数，求它的百分之几是多少；
已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
1%
，两个百分点就是
2%
。
【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数=比较量*标准量
例
1.
红旗化工厂有男职工
420
人，女职工
525
人，男职工人数比女职工少百分之几？女职工比男职工 人数多百分
之几？男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？
例
2
一桶水，用去
70%
后，又向桶里倒入
10
千克的水，这是桶内的水正好是原来整桶水的一半，原 来一桶水有
多少千克？
例
3.
果品公司储存一批苹果， 售出这批苹果的
30
％后，又运来
160
箱，这时比原来储存的苹果多
110
， 这时
有苹果多少箱？
3
存款利率问题
【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率 一般有年利率和
月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一 月所生利息占本金的百分数。
【数量关系】 年（月）利率二利息十本金十存款年（月）数
X
（月）数]
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例
1
李大强存入银行
1200
元，月利率
0.8%
，到期后连本带利共取出
1 488
元，求存款期多长。 解 因为存款期
内的总利息是（
1488
－
1200
）元，
所以总利率为 （
1488
—
1200
）十
1200
又因为已知月利率，
6
100%
利息=本金
X
存款年（月）数
X
年（月）利率 本利和=本金+利息=本金
X[
1
+年（月）利率
X
存款年

所以存款月数为 （
1488
—
1200
）十
1200
-
0.8%
=
30
（月）
答：李大强的存款期是
30
月即两年半。
例
2
银行定期整存整取的年利率是：二年期
7.92%
，三年期
8.28%
，五年期
9%
。如果甲乙二人同时 各存入
1
万
元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取 出，那么，谁的收益多？
多多少元？
解 甲的总利息
10000
X
7.92%
X
2
+[
10000
X（
1
+
7.92%
X
2
）]X
8.28%
X
3
=
1584
+
11584
X
8.28%
X
3
=
4461.47
（元）
乙的总利息
10000
X
9%
X
5
=
4500
（元）
4500
—
4461.47
=
38.53
（元）
答：乙的收益较多，乙比甲多
38.53
元。
4
溶液浓度问题
【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它 液体）、溶
质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混 合物叫溶液。溶质的量
在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】 溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质十溶液
X
100%
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
例
1
爷爷有
16%
的糖水
50
克， （
1
）要把它稀释成
10%
的糖水，需加水多少克？（
2
）若要把它变成
30%
的
糖水，需加糖多少克？
解 （
1
）需要加水多少克？
=
10
（克）
答：（
1
）需要加水
30
克，（
2
）需要加糖
10
克。
例
2
要把
30%
的糖水与
15%
的糖水混合，配成
25%
的糖水
600
克，需要
30%
和
15%
的糖水各多少克？
解 假设全用
30%
的糖水溶液，那么含糖量就会多出
50
X
16%
十
10%
—
50
=
30
（克）
（
2
）需要加糖多少克？
50
X（
1
—
16%
）-（
1
—
30%
）—
50
600
X（
30%
—
25%
）=
30
（克）
这是因为
30%
的糖水多用了。于是，我们设想在保 证总重量
600
克不变的情况下，用
15%
的溶液来“换 掉” 一部
分
30%
的溶液。这样，每“换掉”
100
克，就会减少糖
100
X（
30%
—
15%
）=
15
（克） 所 以需要“换掉”
30%
的溶液（即“换上”
15%
的溶液）
100
X（
30
-
15
）=
200
（克）
由此可知，需要
15%
的溶液
200
克。
需要
30%
的溶液
600
—
200
=
400
（克）
答：需要
15%
的糖水溶液
200
克，需要
30%
的糖水
400
克。
例
3
甲容 器有浓度为
12%
的盐水
500
克，乙容器有
500
克水。 把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后 再把乙中现有
盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中 的盐水同样多。求最后乙中
盐水的百分比浓度。
解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为
后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：

500
克，因此，只要算出乙容器中最
甲容器
原有
盐水
500
盐
500
X
12%
=
60
第一次把甲中一半「
盐水
500
-
2
=
250
乙容器
水
500
盐水
500
+
250
=
750
7

倒入乙中后
倒入甲中后
第三次使甲乙中
盐
60
-
2
=
30
盐
30
+
15
=
45
盐水
500
盐
30
盐水
750
-
2
=
375
盐
30
-
2
=
15
盐水
500
盐
45
—
36
+
15
=
24
第而次把乙中一半:
盐水
250
+
375
=
625
盐水同样多
盐
45
—
9
=
36
由以上推算可知,
乙容器中最后盐水的百分比浓度为
24
-
500
=
4.8%
5
商品利润问题
答：乙容器中最后的百分比浓度是
4.8%
。
【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面
的问题。
【数量关系】 利润=售价—进货价
利润率=（售价—进货价）十进货价
X
100%
亏损=进货价—售价
售价=进货价
X（
1
+利润率）
亏损率=（进货价—售价）十进货价
X
100%
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例
1
某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去
52
元，已知衣服原来按期望盈利
30%
定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？
解 要知亏还是盈，得知实际售价
52
元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为
52
元是原价 的
80%
，所以
原价为（
52
-
80%
）元；又因为原价是按期望盈利
30%
定的，所以成本为
52
-
80%
-（
1
+
30%
）=
50
（元）
可以看出该店是盈利的，盈利率为 （
52
—
50
）-
50
=
4%
答：该店是盈利的，盈利率是
4%
。
例
2
成本
0.25
元的作业本
1200
册，按期望获得
40%
的利润定价出售 ，当销售出
80%
后，剩下的作 业本打折扣，
结果获得的利润是预定的
86%
。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？
解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。 从题意可知， 每册的原定价是
0.25
X(
1
+
40%
),所以关键是求出剩下 的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作 业本售出后的
盈利额等于实际总盈利与先售出的
80%
的盈利额之差，即
0.25
X
1200
X
40%
X
86%
—
0.25
X
1200
X
40%
X
80%
=
7.20
(元)
剩下的作业本每册盈利
7.20
十］
1200
X(
1
—
80%
) =
0.03
(元)
又可知 (
0.25
+
0.03
)十］
0.25
X(
1
+
40%
) =
80%
答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。
例
3
某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜
10%
，甲店按
30%
的利润定价，乙店按
20%
的利 润定价，结
果乙店的定价比甲店的定价贵
6
元，求乙店的定价。
解 设乙店的进货价为
1
，则甲店的进货价为
1
—
10%
=
0.9
甲店定价为
0.9
X(
1
+
30%
)=
1.17
乙店定价为
1
X(
1
+
20%
)=
1.20
由此可得 乙店进货价为
6
-(
1.20- 1.17
)=
200
(元)
乙店定价为
200
X
1.2
=
240
(元)
答：乙店的定价是
240
元。
第三章 比例问题
1
、归一问题
【含义】 在解题时，先求出一份是多少(即单一量) ，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这 类应用题叫做
8

归一问题。
【数量关系】 总量*份数=
1
份数量
另一总量-(总量-份数)=所求份数
【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例
1
一个粮食加工厂要磨面粉
20000
千克，
3
小时磨了
6000
千克
.
照这样计算，磨完剩下的面粉还要 几小时？
例
2
某车间要加工一批零件，原计划由
18
人，每天工作
8
小时，
7.5
天完成任务
.
由于缩短工期，要求
1
份数量
X
所占份数=所求几份的数量
4
天完成任务，可是又要增加
6
人
.
求每天加班工作几小时？
例
3
学校买来一些足球和篮球
.
已知买
3
个足球和
5
个篮球共花了
281
元；买
3
个足球和
7
个篮球共花 了
355
元
.
现在要买
5
个足球、
4
个篮球共花多少元？
2
、归总问题
【含义】 解题时，常常先找出“总数量” ，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所 谓“总数量”
是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路 程等。
【数量关系】
1
份数量
X
份数=总量
总量-
1
份数量=份数 总量-另一份数=另一每份数量
【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量
例
1
小华每天读
24
页书，
12
天读完了《红岩》一书。 小明每天读
36
页书，几天可以读完 《红岩》？ 例
2
食
堂运来一批蔬菜，原计划每天吃
50
千克，
30
天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见， 每天比原计划多吃
10
千克，这批蔬菜可以吃多少天？
3
正反比例问题
【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的 比的比值一定
（即商一定） ，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例 应用题是正比例意义和解
比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这 两种量就叫做
成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等 知识的综合运用。
【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反 比例问题去解
决，而且比较简捷。
【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质 去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例
1
下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？
① 速度一定，路程与时间.
② 路程一定，速度与时间.
③ 路程一定，已走的路程与未走的路程.
④ 总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间.
⑤ 总产量一定，亩产量和播种面积.
⑥ 整除情况下被除数一定，除数和商.
⑦ 同时同地，竿高和影长.
⑧ 半径一定，圆心角的度数和扇形面积.
⑨ 两个齿轮啮合转动时转速和齿数．
⑩ 圆的半径和面积.
（11）
长方体体积一定，底面积和高.
（12）
正方形的边长和它的面积.
9

（13）
乘公共汽车的站数和票价.
（14）
房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数.
（15）
汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量.
分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种 量成哪种比例
或不成比例呢？关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就 不 成比例.例如①
X
零件数二
总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零 件总数成反 比例.③路程一定，已走的路程和未走的路程
是加减法关系，不成比例.
解：成正比例的有：①、⑦、⑧、
（
15）
成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、
⑴
）
、
（
14）
1
：
2
：
3
，某人走各段
不成比例的有：③、⑩、
（
12）
、
（
13）
.
例
2
一条路全长
60
千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是
路程所用时间之比依次是
4
：
5
:
6
,已知他上坡的速度是每小时
3
千米，问此人走完全程用了多少 时间？
分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间， 必须知道走上坡
路的速度（题中每小时行
3
千米）和上坡路的路程，已知全程
60
千米， 又知道上坡、平路、下坡三
段路程比是
1
：
2
：
3
，就可以求出上坡路的路程.
例
3
修一条公路，已修的是未修的
13
，再修
300
米后，已修的变成未修的
12
，求这条公路总长是
多少米？
解 由条件知，公路总长不变。
原已修长度：总长度=
1
：（
1
+
3
）=
1
:
4
=
3
：
12
现已修长度：总长度=
1
：（
1
+
2
）=
1
:
3
=
4
:
12
比较以上两式可知，把总长度当作< br>12
份，则
300
米相当于（
4
—
3
）份，从而知公路总长为
-
3
）X
12
=
3600
（米）
答：这条公路总长
3600
米
例
4
一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。
300
^（
4
A
36
25
B
20
16
解 由面积十宽=长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等 于它们的宽的正
比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，
A
:
36
=
20
:
16 25
:
B
=
20
:
16
解这两个比例，得
A
=
45 B
=
20
所以，大矩形面积为
45
+
36
+
25
+
20
+
20
+
16
=
162
答：大矩形的面积是
162
4
按比例分配问题
【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种
形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。
=比的前后项之和
【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，
再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子）
几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
10
总份数
，再按照求一个数的几分之

例
1
学校把植树
560
棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有
有
45
人，三个班各植树多少棵？
解 总份数为
47
人，二班有
48
人，三班
47
+
48
+
45
=
140
一班植树
560
X
47140
=
188
（棵）
二班植树
560
X
48140
=
192
（棵）
三班植树
560
X
45140
=
180
（棵） 答：一、二、三班分别植树
188
棵、
192
棵、
180
棵
例
2
从前有个牧民，临死前留下遗言，要把
17
只羊分给三个儿子，大儿子分总数的
12
,二儿子分
总数的
13
,三儿子分总数的
19
,并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只 羊。
解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解， 则很容易得到
12
:
13
:
19
=
9
:
6
:
2
9
+
6
+
2
=
17 17
X
917
=
9
17
X
617
=
6 17
X
217
=
2
答：大儿子分得
9
只羊，二儿子分得
6
只 羊，三儿子分得
2
只羊。
5
、盈亏问题
【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈）
都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数=（盈+亏）十分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数=（大盈-小盈）十分配差 参加分配总人数=（大亏-小亏）十分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例
1.
一筐苹果分给一些学生吃，如果每人吃
4
个，要多出
48
个苹果；如果每人吃
6
个，则又（多）少
，一次不足（亏），或 两次
8
个苹果
.
那么有多少人，多少苹果？
例
2
少先队员去植树
.
如果每人种
5
棵，还有
3
棵没人种；如果其中
2
人各种
4
棵，其余的人各种
6
棵， 这些树
苗正好种完
.
问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？
分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中
2
人各种
4
棵， 其余的人各
种
6
棵，就恰好种完
.
这组条件中包含着两种种树的情况——
2
人各种
4
棵，其余的人各种
6
棵。如果我们把它统
一成一种情况，让每人都种
6
棵，那么，就可以多种树（
6-4
）X
2
二
4
（棵）
•
因此， 原问题就转化为：如果每人
各种
5
棵树苗，还有
3
棵没人种；如果每人种
6
棵树苗，还缺
4
棵
.
问有多 少少先队员，一共种多少树苗？
解：
[3+
（
6-4
）X
2]
-（
6-5
）=
7
（人）
5
X
7+3
=
38
（棵）
或
6
X
7-4
=
38
（棵）
答：有
7
个少先队员，一共种
38
棵树。
例
3
参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组
10
人，则多
25
支，如果小组 有
12
人，色
笔多余
5
支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？ 分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有
12
人，比
10
人多
2
人，而色笔多出了
（
25-5
）
=20
支
，
2
个人多出
20
支，一个人分得
10
支。列式为（
25-5
）-
（
12-10
）
=10
（支）
10
X
12+5=125
（支）。
11

第四章 和差倍比问题
1
和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数=（和+差）*
2
小数=（和一差）*
2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例
1
小明期末考试时语文和数学的平均分数是
94
分，数学比语文多
8
分，问语文和数学各得了几分？
例
2.
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重
32
千克，乙丙两袋共重
30
千克，甲丙两袋共重
22
千克，求 三袋化肥
各重多少千克。
例
3.
甲乙两车原来共装苹果
97
筐，从甲车取下
14
筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多
3
筐，两车 原来各装苹
果多少筐？
2
． 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍 （或小数是大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少， 这类应
用题叫做和倍问题。
【数量关系】 将两个数的关系转换成比，按照比的关系来解决。
总和 十（几倍+
1
）=较小的数
较小的数
X
几倍=较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例
1
甲站原有车
5 2
辆，乙站原有车
32
辆，若每天从甲站开往乙站
28
辆，从乙站开 往甲站
24
辆，几 天后乙站车辆
数是甲站的
2
倍？
例
2
甲乙丙三数之和是
170
，乙比甲的
2
倍少
4
,丙比甲的
3
倍多
6
,求三数各是多少？
例
3
一个长方形，周长是
30
厘米，宽是长的-，求这个长方形的面积。
3
总和一较小的数 =较大的数
3
差倍问题
【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，
这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】将两个数的关系转换成比，按照比的关系来解决。
两个数的差十（几倍一
1
）=较小的数 较小的数
X
几倍=较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
例
1 1
班的图书角里故事书的本书是文艺书的
4
倍，故事书比文艺书多
48
本，两种书各有多少本？
例
2
有两根同样长的绳子，第一根截去
12
米，第二根接上
14
米，这时第二根长度是第一根长的
3
倍
（第一根长度是第二根长的-），两根绳子原来各长多少米？
3
例
3
商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的
多
30
万元，求这两个月盈利各是多少万元？
例
4
粮库有
94
吨小麦和
138
吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是
9
吨，问几天后剩下的玉米是小 麦的
3
倍？
解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（
剩下的小麦数量=（
138
-
94
）-（
3
-
1
）=
22
（吨）
运出的小麦数量=
94
-
22
=
72
（吨）
12
2
倍还多
12
万元，又知本月盈利比上月盈利
138
-
94
）。把几
天后剩下的小麦看作
1
倍量，则几天后剩下的玉米就是
3
倍量，那 么，（
138
-
94
）就相当于（
3
-
1
） 倍，因此

运粮的天数二
72
-
9
=
8
（天）
答：
8
天以后剩下的玉米是小麦的
3
倍
4
倍比问题
【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍
比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量*一个数量=倍数
另一个数量
X
倍数=另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
例
1
今年植树节这天，某小学
300
名师生共植树
400
棵，照这样计算，全县
48000
名师 生共植树多 少棵？
解 （
1
）
48000
名是
300
名的多少倍？
48000
-
300
=
160
（倍）
（
2
）共植树多少棵？
400
X
160
=
64000
（棵）
列成综合算式
400
X（
48000
-
300
）=
64000
（棵）
例
2
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家
4
亩果园收入11111
元，照这样计算，全乡
800
亩果园 共收入多少
元？全县
16000
亩果园共收入多少元？
解 （
1
）
800
亩是
4
亩的几倍？
（
2
）
800
亩收入多少元？
800
-
4
=
200
（倍）
11111X 200
=
2222200
（元）
（
3
）
16000
亩是
800
亩的几倍？
16000
-
800
=
20
（倍）
（
4
）
16000
亩收入多少元？
2222200
X
20
=
44444000 （
元）
5
年龄问题
【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄
之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一 致的，要紧紧
抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
例
1
父亲现年
50
岁， 女儿现年
14
岁
•
问：几年前父亲年龄是女儿的
5
倍？
例
2
在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是
员各是多少岁？
分析 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是
58
岁，可以求出到现在每个人长
4
岁以后的实际 年龄和是
73
岁
•
家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一
个儿子
.
父亲比母亲大
3
岁，女儿比儿子大
2
岁
.
四年前家庭里所有的人的年龄总和是
58
岁
.
现在家 里的每个成
58+4
X
4=74
（岁）。
但现在实际的年龄总和只有
73
岁，可见家庭成员中最小的一个儿子今年只有
3
岁
.
女儿比儿子大
2
岁，女儿是
3+2=5
（岁）
.
现在父母的年龄和是
73-3-5=65
（岁）
.
又知父母年龄差是
3
岁，可以求出父母 现在的年龄。
解：①从四年前到现在全家人的年龄和应为：
58+4
X
4=74
（岁）
② 儿子现在几岁？
4-
（
74-73
）
=3
（岁）
③ 女儿现在几岁？
3+2=5
（岁）
④ 父亲现在年龄：（
73-3-5+3
）十
2=34
（岁）
⑤ 母亲现在年龄：
34-3=31
（岁）
答：父亲现在
34< br>岁，母亲
31
岁，女儿
5
岁，儿子
3
岁。
例
3
甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才
4
岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你 现在的岁数
时，你将
61
岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
13

解

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：
过去某一年
甲
乙
□岁
今年
△岁
□岁
将来某一年
61
岁
△岁
4
岁
表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等：□—
4
= △ —□=
61
-△，也就是
4
,口，厶，
61
成等差数列，所以,
61
应该比
4
大
3
个年龄差，
因此二人年龄差为 （
61
—
4
）十
3
=
19
（岁）
甲今年的岁数为 △=
61
—
19
=
42
（岁）
乙今年的岁数为 □ =
42
—
19
=
23
（岁）
答：甲今年的岁数是
42
岁，乙今年的岁数是
23
岁
第五章 植树与方阵问题
1
植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个
量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】
离宁棵距
面积植树 棵数二面积十（棵距
X
行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例
1
.有一条公路长
900
米，在公路的一侧从头到尾每隔
10
米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？ 例
2.
—个圆形池
塘，它的周长是
150
米，每隔
3
米栽种 一棵树
.
问：共需树苗多少株？
例
3.
马路的一边每相隔
9
米栽有一棵柳树
•
张军乘汽车
5
分钟共看到
501
棵树
.
问汽车每小时走多少千 米？
例
4.
时钟三时敲三下，< br>4
秒钟敲完；
5
时敲
5
下，几秒敲完？ 分析，
敲三 下，中间有
2
个间隔，敲
5
下，中间有
4
个间隔。
线形植树 棵数
=
段数
+1
=距离十棵距+
1
环形植树 棵数
=
段数二距
2
方阵问题
【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这
类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
少
2
。
（
1
）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数—
1
）X
4
（
2
）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数
X
每边人数
空心方阵：总人数=（外边人数） —（内边人数） 内边人数=外边人数—层数
X
2
（
3
）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，贝
总人数=（每边人数—层数）
X
层数
X
4
14
方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同
.
每向里一层，每边上的人数就
每边人数=四周人数*
4
+
1

【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的
变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例
1
某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为
有五年级学生多少人？
分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数< br>=
四周人数十
4+1
，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人 数就可以求 了。
解：方阵最外层每边人数：
60
-
4
+仁
16
（人） 整个方阵共有学生人数：
16
X
16=256
（人） 答：方阵最外
层每边有
16
人，此方阵中共有
256
人。
例
2
晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子
多少个？
分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少
60
人
•
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共
14
个
.
晶晶摆这个方阵共用围棋子
2
个
.
知道最外面一层每边放
14
个，就可以求第二层
及第三层每边个数
.
知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（
14-1
）X
4=52
（个）
第二层棋子个数：（
14-2-1
）X
4=44
（个）
第三层棋子个数：（
14-2
X
2-1
）X
4=36
（个）
.
摆这个方阵共用棋子：
52+44
+
36
=
132
（个）
还可以这样想：
中空方阵总个数
=
（每边个数一层数）
X
层数
X
4
进行计算。
解：（
14-3
）X
3
X
4=132
（个）
答：摆这个方阵共需
132
个围棋子。
例
3
有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是
52
人，最内层人数是
28
人，这队学生共多少 人？
解 （
1
）中空方阵外层每边人数=
52
-
4
+
1
=
14
（人）
（
2
） 中空方阵内层每边人数=
28
-
4
-
1
=
6
（人）
（
3
） 中空方阵的总人数=
14
X
14
-
6
X
6
=
160
（人）
答：这队学生共
160
人。
例
4
一堆棋子，排列成正方形，多余
4
棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层， 则缺少
9
只棋子， 问有棋子多
少个？
解 （
1
）纵横方向各增加一层所需棋子数=
4
＋
9
=
13
（只）
（
2
）纵横增加一层后正方形每边棋子数=（
13
+
1
）十
2
=
7
（只）
（
3
）原有棋子数=
7
X
7
-
9
=
40
（只） 答：棋子有
40
只。
例
5
有一个三角形树林， 顶点上有
1
棵树，以下每排的树都比前一排多
1
棵，最下面一排有
5
棵树。 这个树林
一共有多少棵树？
解 第一种方法：
第二种方法：
1
＋
2
＋
3
＋4
＋
5
=
15
（棵）
（
5
+
1
）X
5
-
2
=
15
（棵）
答
这个三角形树林一共有
15
棵树。
：
第六章 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题
【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的 问题，叫做第一
鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第 二鸡兔同笼问题。

数量关系】第一鸡兔同笼问题：
15

假设全都是鸡，则有 假
兔数=（实际脚数一
2
X
鸡 兔总数）十（
4
-
2
） 鸡数=（
4
X
鸡兔总数一实际脚数）十
设全都是兔，则有 第二
鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有 假
设全都是兔，则有 【解
题思路和方法】
换，使问题得到解决。
例
1
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多 少兔子多少鸡？
例
2
刘老师带了
41
名同学去北海公园划船，共租了
10
条船
.
每条大船坐
6
人，每条小船坐
4
人，问大 船、小船
各租几条？ 分析 我们分步来考虑：
① 假设租的
10
条船都是大船，那么船上应该坐
6
X
10= 60
（人）
。

② 假设后的总人数比实际人数多了
60-
（
41+1
）
=18
（人），多的原因是把小船坐的
4
人都假设成坐
6
人。
③ 一条小船当成大船多出
2
人，多出的
18
人是把
18
-
2=9
（条）小船当成大船。
解：
［6
X
10-（41+1
）十（
6-4
）
（
4
-
2
）
兔数=（
2
X
鸡兔总数—鸡与兔脚之差）*（
4
+
2
）
鸡数=（
4
X
鸡兔总数+鸡与兔脚之差）十（
4
+
2
）
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果
先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先 假设，再置
=18
-
2=9
（条）
10-9=1
（条）
答：有
9
条小船，
1
条大船。
例
3 2
亩菠菜要施肥
1
千克，
5
亩白菜要施肥
3
千克，两种菜共
16
亩，施肥
9
千克，求白菜有多少 亩？
解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（
1
宁
2< br>）千克”与“每只鸡有两个脚” 相对应，
“每亩白菜施肥（
3
宁
5< br>）千克”与“每只兔有
4
只脚”相对应，“
16
亩”与“鸡兔总数”相对 应，“
9
千克”与
“鸡兔总脚数”相对应。假设
16
亩全都是菠菜，则有
白菜亩数=（
9
-
1
十
2
X
16
）-（
3
-
5
-
1
十
2
）=
10
（亩）
答：白菜地有
10
亩。
例
4
（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有
100
只，鸡的脚比兔的脚多
80
只，问鸡与兔各多少只？
假设
100
只全是鸡，那么脚的总数是
2
X
100=200
（只）这时兔的脚数为
0
，鸡脚比兔脚多
200
只，而实
际上鸡脚比兔脚多
80
只
.
因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（
200-80
）
=120
（只），这是因 为把其中的兔换
成了鸡
.
每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加
2
只，兔的脚数减少
4
只
.
那么，鸡脚与兔 脚的差数增加（
2+4
）
=6
（只），所以换成鸡的兔子有
120
-
6=20
（只）
.
有鸡（
100-20
）
=80
（只）。
解：（
2
X
100-80
）-（
2+4
）
=20
（只）。
100-20=80
（只）。
答：鸡与兔分别有
80
只和
20
只。
第七章 条件最值
1
公约公倍问题
【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最 小公倍数的求
法，最常用的是“短除法” 。
例
1
一张硬纸板长
60
厘米，宽
56
厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许 有剩余。问正
16

方形的边长是多少？
解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60
和
56
的最大公约数是
4
。
17

答：正方形的边长是
4
厘米。
例
2
甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要
36
分钟，乙车行一周要
30
分钟， 丙车行一周要
48
分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能 同时又在起点相遇？
解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是
时间，所以应是
36
、
30
、
48
的最小公倍数。
36
、
30
、
48
的倍数。因为问至少要多少
36
、
30
、
48
的最小公倍数是
720
。
答：至少要
720
分钟（即
12
小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例
3
一个四边形广场，边长分别为
60
米，
72
米，
96
米，
84
米，现要在四角和四边植树，若四边上 每两棵树间
距相等，至少要植多少棵树？
解 相邻两树的间距应是
60
、
72
、
96
、
84
的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽 量大，那么
这个相等的间距应是
60
、
72
、
96
、
84
这几个数的最大公约数
12
。
所以，至少应植树 （
60
+
72
+
96
+
84
）十
12
=
26
（棵）
答：至少要植
26
棵树。
例
4
一盒围棋子，
4
个
4
个地数多
1
个，
5
个
5
个地数多
1
个，
6
个
6
个地数还多
1
个。又知棋子总 数在
150
到
200
之间，求棋子总数。
解 如果从总数中取出
1
个，余下的总数便是
4
、
5
、
6
的公倍数。因为
4
、
5
、
6
的最小公倍数是
60
， 又知棋子
总数在
150
到
200
之间，所以这个总数为
60
X
3
+
1
=
181
（个） 答：棋子的总数
是
181
个。
2
最值问题
【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办 好事，以最小的
代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
例
1
在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要
3
分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤 三块饼，最少需
要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，
3
分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块 饼。再过
3
分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤
3
分钟即可。 这样做，用的时间最少，
为
9
分钟。
答：最少需要
9
分钟。
例
2
在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是
里，每吨煤运
1
千米花费
1
元，集中到几号煤场花费最少？
解 我们采用尝试比较的方法来解答。
集中到
1
号场总费用为
1
X
200
X
10
+
1
X
400
X
40
=
18000
（元）
集中到
2
号场总费用为
1
X
100
X
10
+
1
X
400
X
30
=
13000
（元）
集中到
3
号场总费用为
集中到
4
号场总费用为
集中到
5
号场总费用为
10
千米，已知
1
号煤场存煤
100
吨，
2
号煤场存煤
200
吨，
5
号煤场存煤
400
吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一 个煤场
1
X
100
X
20
+
1
X
200
X
10
+
1
X
400
X
10
=
12000
（元）
1
X
100
X
30
+
1
X
200
X
20
+
1
X
400
X
10
=
11000
（元）
1
X
100
X
40
+
1
X
200
X
30
=
10000
（元）

经过比较，显然，集中到
5
号煤场费用最少
答：集中到
5
号煤场费用最少。
18

例
3
北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地
外地
4
台。现决定给重庆调运
8
台，给武汉调运
6
台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？
解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的
4
台全都调
10
台，上海可调运

重庆 武汉
北京
800

400
300
上海
500
往重庆，再从北京调往重庆
4
台，调往武汉
6
台，运费就会最少，其 数额为
500
X
4
+
800
X
4
+
400
X
6
=
7600
（元）
答：上海调往重庆
4
台，北京调往武汉
6
台，调往 重庆
4
台，这样运费最少
第八章还原问题
还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做 还原问题。
-
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
-
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
-
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
-
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例
1
一个数减去
6
，加上
8
，再乘
4< br>，除以
5
，得到
20
，求这个数。
例
2
某 小学三年级四个班共有学生
168
人，如果四班调
3
人到三班，三班调
6
人到二班，二班调
6
人 到一班，一班
调
2
人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为
168
斗，以四班为例，它调给三班
3< br>人，又从一班调入
2
人，所以 四班原有的人
数减去
3
再加上
2
等于平均数。四班原有人数列式为
168
¥
-2+3=43
（人）
一班原有人数列式为
168
¥
-6+2=38
（人）;二班原有人数列式为
168
¥
-6+6=42
（人）三班原有人数 列式为
168
¥
-3+6=45
（人）。
例
3
几只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子取出一半又
1< br>个，第二只猴子吃了剩下的一半又
1
个，第 三 只猴子吃了最
后的一半又
3
个，这时篮子里的桃子正好分完，问篮子原有桃子多少只？
第三只猴子吃了最后的一半又
3
个，这时篮子里的桃子正好分完
3+3=6
第二只猴子吃了剩下的一半又
1
个
（6+1）
X
=114
第一只猴子取出一半又
1
个
（
14+1
） X
2=30
画线段图从后往前
第九章列方程问题
【含义】 把应用题中的未知数用字母
X
代替，根据等量关系列出含有未知数的等式一一方程，通过
解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。
【数量关系】 方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。
（
1
） 审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。
（
2
） 设：把应用题中的未知数设为
X
。
19

（
3
） 列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。
（
4
）解；求出所列方程的解。
（
5
）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（
6
）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、
列方程、解方程、答语。设未知数 时 要在
X
后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的
X
值也不带单位名称， 在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。
例
1
甲乙两班共
90
人，甲班比乙班人数的
2
倍少
30
人，求两班各有多少人？
解 第一种方法：设乙班有
X
人，则甲班有（
90
—X
）人。
找等量关系：甲班人数二乙班人数
X
2
—
30
人。
列方程：
90
—X=
2
X
—
30
解方程得
X
=
40
从而知
90
—X=
50
第二种方法：设乙班有
X
人，则甲班有（
2
X
—
30
）人。
（
2
X—
30
）+X=
90
解方程得
X
=
40
从而得知
2
X—
30
=
50
答：甲班有
50
人，乙班有
40
人。
列方程
例
2
鸡兔
35
只，共有
94
只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为
X
只，则鸡为（
35
—X
）只，兔 的脚数为
4
X
个，鸡的脚数为
2
（
35
—X）
个。根据等量关系 “兔脚数+鸡脚数=
94
”可列出方程
4
X+
2
（
35
—X）
=
94
解方程得
X =
12
则
35
—X=
23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，
则有兔数=（实际脚数—
2
X
鸡兔总数）*（
4
—
2
） 所以兔数=（
94
—
2
X
35
）-（
4
—
2
）=
12
（只） 鸡数=
35
—
12
=
23
（只）
答：鸡是
23
只，兔是
12
只。
例
3
仓库里有化肥
940
袋，两辆汽车
4
次可以运完，已知甲汽车每次运
1 25
袋，乙汽车每次运多少 袋？
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。
—
125
=
110
（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车
4
次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数， 再除以
4
，即是所求。 （
940
—
125
X
4
）-
4
=
110
（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运
X
袋，可列出方程
解方程得
X=
110
第四种方法：设乙汽车每次运
X
袋，依题意得
940
-
4
940
-
4
—X=
125
（
125
+X）X
4
=
940
解方程得
X=
110
答：乙汽车每次运
110
袋。
例
4
已知篮球、足球、排球平均每个
36
元
.
篮球比排球每个多
10
元，足球比排球每个多
8
元，每个足 球多少
元？
分析 ①篮球、足球、排球平均每个
36
元，购买三种球的总价是：
36
X
3=108
（元）。
② 篮球和足球都与排球比，所以把排球的单价作为标准量，设为
X
。
③ 列方程时，等量关系可以确定为分类购球的总价
=
平均值导出的总价。
例
5
妈妈买回一筐苹果，按计划天数，如果每天吃
4
个，则多出
48
个苹果，如果每天吃
6
个，则又少
8
个苹果
.
问：妈妈买回苹果多少个？计划吃多少天？
分析
1
根据已知条件分析出，每天吃苹果的个数及吃若干天后剩下苹果的个数是变量，而苹果的总个 数是不变量
.
因此列出方程的等量关系是苹果总个数
=
苹果总个数
.
方程左边，第一种方案下每天吃的个 数
X
天数
+
剩下的 个数，
等于右边，第二种方案下每天吃的个数
X
天数
解：设原计划吃
x
天。
20
-
所差的个数。

4x
+
48
=
6x-8
2x
=
56
x
=
28
。
苹果个数：
4
X
28
+
48=160
（个），
或：
6
X
28-8
=
160
（个）。
答：妈妈买回苹果
160
个，原计划吃
28
天。
例
6.
星期天小明买来一些苹果招待同学，吃了全部的
果
吃了又带回来了
31
个
（
现在的苹果数
）
——以前的个数
=
以前的个数的
20%
9
分之
5
少
3
个，这时妈妈回家了，又带回来了
31
个，结果现在的苹果数比吃以前的个数还多
20%
，原来小明买来多少个苹果？ 假设原来小明买来
X
个苹
（1-59） X
X
+3+31-X=20%X
X=45
第十章 “牛吃草”问题
“牛吃草”问题
【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题” 。这类问题的特点在于要 考虑草边吃边
长这个因素。
【数量关系】
1）
设定一头牛一天吃草量为 “
1
”
2
） 草的生长速度=（对应的牛头数
X
吃的较多天数一相应的牛头数
X
吃的较少天数）十（吃的较多天数 －吃的较
少天数）；
3
） 原有草量=牛头数
X
吃的天数- 草的生长速度
X
吃的天数；
'
4
） 吃的天数=原有草量 十（牛头数一草的生长速度）
;

5
） 牛头数=原有草量 却吃的天数+草的生长速度
草总量=原有草量+草每天生长量
X
天数
【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。
21

肯迦丰旳叵题一如=枝圧上科一片习趣生快的草迪町料厂升牛吃瞋，或脱玦牛创珮那么丘可加丄％牛碗 几貼稣问叫为牛Ife草问麵
护亂英问题，困雎ft于草囱匹恵变.它事咼毎同都在均勾地室邑吋罔竄 长・革詬息虽誓炙車的良盘是由幫霽牛粗股轨(DM牛吋剛R醍称草场上fliw拠革 fti踽牛时间期限后
尊
咻天
(耐空长而綁1的拿见固此逊设祛找出溯吓量粘
卜適衬冃开头的卩巨为训丹苻沪斤(见伪：
出A匸吧*倉

M I■同的线段刮可臥看也煤牛沾旳岂草号汁孑头丰拥和丘革爭紀 峯岀手殳招半于術新生弋的草量为了求岀一周新味七的草貼 就要逬卅化佰头利周吃華 量帽当于22E=朗头< br>牛一周吃苹量〔或Tk牛比1S2剛溷头牛碉吃卑基相当于23心书0瞋牛一同吃草:a ｛或Tt牛吃30T周)，这祥1群可以认站周新主長的草豎 相当+(20T-lf-2j F ®Y」叫弓洙甲一
禺的唸甲云*
芮亞解罔罪亍二节问題土稅坊丄^亘草鱼史盖卫丫 .月2丁氓丰&出禹丄吃革虽麻末「＜硒圭七的苹三「即庚工牛吃「闿比辜三' 恥対杠功心莊屋.
歹趾我衍I■.豆育¥呂为X*：ET5
P2头
牛一帀的克萃竜(或董尚朋、9-盲
^=7?：.'.

期上 药草星头半儿周才駅吃淞^解诀世亍问越相当于把21头牛好朗I部分.一酚看成专吃枚场上崩有鶴草.另一岂孙 看战寺轴咗未的电但是靳生旳草X能驻持 1誤牛脚吃草墓且
姑理可厲持平箭〔离1!)已令护过稈鸡新 生的基拾勒联牛吃一剧.故』出嘘头午吃新生怅體草.另一器奔217謂(騎牛去吃原有閑革価以牧功上 的舷取覽■匸12価).也辄她过『価丄
的¥婆二1头邛克辽「一匹廿需
例
1 一块草地，
10
头牛
20
天可以把草吃完，
15
头牛< br>10
天可以把草吃完。问多少头牛
5
天可以把 草吃完？
解 草是均匀生长的，所以，草总量二原有草量+草每天生长量
X
天数。求“多少头牛
草吃完”，就是说
5
天内的草总量要
5
天吃完的话，得有多少头牛？
以下步骤解答：
(1) 求草每天的生长量
因为，一方面
20
天 内的草总量就是
10
头牛
20
天所吃的草，即(
1
X
10
X
20
);另一方面，
20
天内的 草总量又等
于原有草量加上
20
天内的生长量，所以
5
天可以把
设每头牛每天吃草量为
1
,按
1
X
10
X
20
=原有草量+
20
天内生长量
同理
1
X
15
X
10
=原有草量+
10
天内生长量
(
20
—
10
)天内草的生长量为 由此可知
1
X
10
X
20
—
1
X
15
X
10
=
50
因此，草每天的生长量为
(2) 求原有草量
原有草量=
10
天内总草量一
10
内生长量=
1
X
15
X
10
—
5
X
10
=
100
50
*(
20
—
10
)=
5
3
)求
5
天内草总量
5
天内草总量=原有草量+
5
天内生长量=
100
+
5
X
5
=
125
(4) 求多少头牛
5
天吃完草
因为每头牛每天吃草量为
1
,所以每头牛< br>5
天吃草量为
5
。
因此
5
天吃完草需要牛的头数
125
*
5
=
25
(头)
答：需要
5
头牛
5
天可以把草吃完。
例
2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有
12
个人 淘水，
3
小时可以
淘完；如果只有
5
人淘水，要
10小时才能淘完。求
17
人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于“牛数”
时间。设每人每小时淘水量为
1
,按以下步骤计算：
(
1
)求每小时进水量
因为，
3
小时内的总水量=
1
X
12
X
3
=原有水量+
3
小时进水量
)，求
10
小时内的总水量=
1
X
5
X
10
=原有水量+
10
小时进水量
22

所以，(
10
—
3
)小时内的进水量为
因此，每小时的进水量为
(
2
)求淘水前原有水量
1
X
5
X
10
-
1
X
12
X
3
=
14
14
-(
10
—
3
)=
2
原有水量=
1
X
12
X
3
—
3
小时进水量=
36
—
2
X
3
=
30
(
3
)求
17
人几小时淘完
17
人每小时淘水量为
17
，因为每小时漏进水为
2
，所以实际上船中每小时减少的水量为(
17
—
2
)，所 以
17
人淘
完水的时间是
30
-(
17
—
2
)=
2
(小时) 答：
17
人
2
小时可以淘完水。
例
3
一块草地， 每天生长的速度相同
.
现在这片牧草可供
16
头牛吃
20
天，或者供
80
只羊吃
12
天
.
如果 一头牛
一天的吃草量等于
4
只羊一天的吃草量，那么
10
头牛与
60
只羊一起吃可以吃多少天？
分析 由于
1
头牛每天的吃草量等于
4
只羊每天的吃草量，故
60
只羊每天的吃草量和
1 5
头牛每天吃草 量相等，
80
只羊每天吃草量与
20
头牛每天吃草量相等。
解：
60
只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？
60
-
4
=
15
(头)。
草地原有草量与
20
天新生长草量可供多少头牛吃一天？
16
X
20=320
(头)。
80
只羊
1 2
天的吃草量供多少头牛吃一天？
(
80
-
4
)X
12=240
(头)。 每天新生长的草够多少头牛吃一天？
(
320-240
)-(
20-12
)
=10
(头)。
原有草量够多少头牛吃一天？
320-
(
20
X
10
)=
120
(头)。
原有草量可供
10
头牛与
60
只羊吃几天？
120
-(
60
-
4+10-10
)=
8
(天)。 答：这块草场可供
10
头牛和
60
只羊吃
8
天。
第十一章 数学游戏
1
构图布数问题
【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图” ，就是设计出一种图 形；所谓“布
数”，就是把一定的数字填入图中。 “构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。
【数量关系】 根据不同题目的要求而定。
【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布 数，符合题目
所给的条件。
例
1
十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形应是一个五角星。
4
X
5
-
2
=
10
因为五角星的
5
条边交叉重复，应减去一半。
例
2
九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽
4
棵树，三个顶点上重复应减去，正好
9
棵。
4
X
3
—
3
=
9

23

例
3
把
1 2
拆成
1
到
7
这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种 图形，填入这七个数, 每个数只填一
处，且每条线上三个数的和都等于
12
。
解 共有五种写法，即
12
=
1
+
4
+
7 12
=
1
+
5
+
6 12
=
2
+
3
+
7
12= 2
+
4
+
6 12
=
3
+
4
+
5
在这五个算式中，
4
出现三次，其余的
1
、
2
、
3
、
5
、
6
、
7
各出现两次， 因此，
4
应位于三条线的交点 处，其余数
都位于两条线的交点处。据此，我们可以设计出以下三种图形：
例
4
九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。
解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，
一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。
2
幻方问题
【含义】 把
n
x
n
个自然数排在正 方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，
这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。
【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”
三级幻方的幻和=
45
-
3
=
15
五级幻方的幻和=
325
-
5
=
65
【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和)
间方格的数，然后再确定其它方格中的数。
例
1
把
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个 数的和相
等。
解 幻和的
3
倍正好等于这九个数的和，所以幻和为
(
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
)十
3
=
45
-
3
=
15
九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次 (即出现在中
行、中列、和两条对角线这四条线上)，四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到 两次。看来，用到四次的
“中心数”地位重要，宜优先考虑。
设“中心数”为
X,< br>因为
X
出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于
+
6
+
7
+
15
,所以（
1
+
2
+
3
+
4
+
5
，其次是确定正中
。
8
+
9
) + (
4
-
1
)X=
15
X
4
即
45
+
3
X=
60
所以
X=
5
接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们
分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别
在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。
例
2
把
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
这九个数填到九个方格中，
使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。
解 只有三行，三行用完了所给的
9
个数，所以每行三数之和为 (
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9
+
10
)十
3
=


7
5
3
61
1
二
8
4

18
假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共
们看
18
能写成哪三个数之和：
最大数是
10
:
18
=
10
+
6
+
2
=
10
+
5
+
3
最大数是
9
:
最大数是
8
:
最大数是
7
:
8
行上的三个数之和都等于
18
,我
18
=
9
+
7
+
2
=
9
+
6
+
3
=
9
+
5
+
4
18
=
8
+
7
+
3
=
8
+
6
+
4
18
=
7
+
6
+
5
刚好写成
8
个算式。
24

首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都 用到正中间方格的数，共用了四次。
25

观察上述
8
个算式，只有
6
被用了
4
次，所以正中间方格中应填
6
9
4
2
7 □
然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述
8
个算式中只有
9
、
7
、
5
、
3
被
8

6

用了三次，所以
9
、
7
、
5
、
3
应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都 为
18
。
最后确定其它方格中的数。如图。
5
10
3
寸
3
抽屉原则问题
【含义】 把
3
只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把
2
只苹果放进一个抽屉，剩下的
一个放进另一个抽屉；要么把
3
只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一 个抽屉中放了
2
只或
2
只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。
【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把
n
+
1
个物体（也叫元素）放到
n
个抽屉中，那么至少有一 个抽屉中放
着
2
个或更多的物体（元素）。
抽屉原则可以推广为：如果有
m
个抽屉，有
k
x
m
+
r
（
O
v
r
<
m
）个元素那么至少有一个抽屉中要放
（
k
+
1
）个或更多的元素。
通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的
k
倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（
k
+
1
）个或更多的
【解题思路和方法】 （
1
）改造抽屉，指出元素；
（
3
）说明理由，得出结论。
例
1
育才小学有
3 67
个
2000
年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？
解 由于
2000
年是润年，全年共有
366
天，可以看作
366
个“抽屉”，把
367
个
1999
年出生 的学生看
作
367
个“元素”。
367
个“元素”放进
366
个“抽 屉”中，至少有一个“抽屉”中放有
2
个 或更多的“元
素”。
这说明至少有
2
个学生的生日是同一天的。
例
2
有
5
个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出
至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答 首先要确定
3
枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况， 可以有：
3
黑，2
黑
1
白，
1
黑
2
白，
（
2
）把元素放入（或取出）抽屉；
3
枚棋子
.
请你证明，这
5
个人中
3
白 共
4
种配组情况，看作
4
个抽屉
.
把每人的
3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有
5
个苹果
.
把每 人所拿
3
枚
棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉
•
由于有
5
个 苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原 理，至少有两个苹果在
同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
例
3
一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球
10
个，白球
9
个，黄球
8
个，蓝球
2
个。某人闭着
眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有
同？
解 把四种颜色的球的总数（
3
+
3
+
3
+
2
）=
11
看作
11
个“抽屉”，那么，至少要取（
11
+
1
）个球 才能保证至
少有
4
个球的颜色相同。
答；他至少要取
12
个球才能保证至少有
4
个球的颜色相同。
4
个球颜色相
26