应天学院-消防验收规范

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《数学建模》
(2014
题 目

成 员
学生1
学生2
姓 名


春)
课程期末论文
题 号
学 院


A
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猎狗追兔子问题
学 号


班 级



摘要

（一） 对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通
过建立合适的模型找到 这些变量之中的不变量。
猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通 的例
子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模
型， 并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。
（二） 对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件
的使用方法。

关键词
微分方程 导数的几何意义 猎狗追兔子 数学建模 数学软件



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一、问题重述 如图1所示，有一只猎狗在
B
点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m的地方< br>O
处，
此时兔子开始以8ms的速度正向正西北方向，距离为150m的洞口
A
全速跑去. 假设猎狗在追赶兔
子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。

N
请回答下面的问题：
⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
A
⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程
是少？
⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的
E
W O
距离为30m时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半，
而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情
况下回答前面两个问题。
B
S


二、问题分析与假设
在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着 兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标
系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态 。
1.假设兔子的运动是匀速的。
2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。
3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。
4.猎狗运动时总是朝向兔子。
三、模型的建立及求解
3.1 符号规定
1.（x，y）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。
2. t：从开始到问题结束经过的时间。
3. a:猎狗奔跑的路程。
4. v:猎狗的奔跑速度。
3.2 模型一的建立与求解
猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹
在OA要有交点

以OA为y轴，以OB为x轴建立坐标系，则由图有
A
N
O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0
W
点,而 猎狗初始位置是B点，t（s）后猎狗到达了C（x，
y），而兔子到达了D（0，8t），则有CD的 连线是猎狗
运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有：
O
E
B
S
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dyy8t

dxx


da
v
dt

dadx
2
dy
2

三式联立消去t，得到;

d
2
y8dy
2
x
2
1()
dxvdx
设：

8
q
v

若猎狗可以追上兔子则有当兔子在OA,猎狗在OB之间运动时此方程有解，设：

d
2
ydp
dy

p
2
dx

dx

dx
得到：
dx
q
2
x
1p
得到：
dp
p
(
2
5
0
)

0

x
q
p1p()
250


2
250
q
p1p()
x

2

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两式联立相加得到：

dy1x
q
250
q
[()()]
dx2250x

y(250)0



1.如果q=1即v=8 ms 得到

1x
2
250x
y[250ln()]2500250


x0,y
所以此情况无交点，所以v=8ms猎狗无法追上兔子；
2.如果q<1即v>8ms 得到
250q
1q
2
此情况有交点，所以有可能能够追上兔子，如果要追上兔子需要y<=150;
48
56 1
v8
q1
615
6
解得到： 即
x 0,y
2501x
q
1250
q1
2q
y[() ()
2
]
2q12501qx1q


8
ms
所以这种情况下能够追上的最小速度是
561
.

3.如果q>1 利用上式得到
x0,y
，所以这种情况不能追上兔子。
48
综上讨论，猎狗可以追上兔子的最小速度为
615
。
3.3 模型二的建立与求解
如果猎狗可以追上兔子那么猎狗的轨迹和兔子的轨迹必相交与一点，此时兔子的路
y
程
5qy5q
t
1q
2
，所用放的时间
88(1q
2
)
，那么猎狗的的路程a=tv;
900
带入数值解得a=
615
。
3.4 模型三的建立与求解
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模型三利用matlab试验，得到代码如下：
a=8;
dogxa=[];
dogya=[];
rabbitxa=[];
rabbitya=[];
d=1;
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
dt=0.001;
for b=0:100
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
c=b;
a=8;
while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy- rabbity)^2)>d&rabbity<150)
if(sqrt((dogx- rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30)
b=b*1.1^dt;
a=a*0.5^dt;
end
t=t+dt;

dogx=dogx+b*dt*(rabbitx-dogx)sqrt((dogx- rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);

dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)sqrt((dogx- rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2);
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;

end
if(rabbity<=150)
b=c;
break;
end
end
fprintf('猎狗的最小速度是：:%2f',b);
a=8;
b=16;
d=1;
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dogxb=[];
dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
dogx=250;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
t=0;
dt=0.001;
s=0;
while(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy- rabbity)^2)>d)
t=t+dt;
if(sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)<=30)
b=b*1.1^dt;
a=a*0.5^dt;
end
dogx0=dogx;
dogy0=dogy;

dogx=dogx+b*dt*(rabbitx- dogx)sqrt((dogx-rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)

dogy=dogy+b*dt*(rabbity-dogy)sqrt((dogx- rabbitx)^2+(dogy-rabbity)^2)
dogxb=[dogxb,dogx];
dogyb=[dogyb,dogy];
rabbitx=rabbitx+0;
rabbity=rabbity+a*dt;
rabbitxb=[rabbitxb,rabbitx];
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
s=s+sqrt((dogx0-dogx)^2+(dogy0-dogy)^2);
end
fprintf('最短路程是：%1f',s);

得到猎狗的最小速度是：16ms
猎狗此时的路程是：312.5m

四、模型的检验
使用matlab进行计算机模拟实验检验模型的可行性：
问题一的检验：
h=250;
a=8;
v=16;
dogxb=[];
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dogyb=[];
rabbitxb=[];
rabbityb=[];
d=0.01;
dt=0.1;
t=0;
dogx=h;
dogy=0;
rabbitx=0;
rabbity=0;
while((sqrt(dogx-rabbitx)^2+(dogy- rabbity)^2)>d&&t<=19.3)
t=dt+t;
dogx=dogx-v*dt*dogxsqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2);
dogy=dogy+v*dt*(a*t-dogy)sqrt(dogx^2+(a*t-dogy)^2) ;
dogxb=[dogxb,dogx];
dogyb=[dogyb,dogy];
rabbity=a*t;
rabbityb=[rabbityb,rabbity];
end
rabbitxb=zeros(length(rabbityb));
plot(dogxb,dogyb,rabbitxb,rabbityb,'*')

问题二的模拟：
n=250;
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a=8;
v=16;
d=0.1;
dt=0.1;
t=0;
dx=n;
dy=0;
rx=0;
ry=0;
while(sqrt((dx-rx)^2+(dy- ry)^2)>d&&t<19.3)
plot(dx,dy,rx,ry,'y*')
pause(0.00001)
hold on
t=dt+t;
dx=dx-v*dt*dxsqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);
dy=dy+v*dt*(a*t-dy)sqrt(dx^2+(a*t-dy)^2);
ry=a*t;
plot(dx,dy,rx,ry,'y*')
end

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五、模型的评价
5.1模型的优缺点
模型的优点。
（1)模型的使用范围比较广泛，可以类推到其他许多模型中。
（2）模型具有很高的使用价值。
（3）模型对题目中的问题解决合适，模型使用得当。
这里写模型的缺点。
（4）题目中增加了一些理想化的假设，致使模型的波动比较大。
（5）不同兔子和猎狗的情况会有差异。
5.2模型的改进
可使用仿生学原理，建立我们更加准确的模型。
六、参考文献

[1] 赵书来，MATLAB编程与最优化问题，北京：电子工业出版社，2013。
[2] 邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，杭州，浙江大学出版社，2009。
[3] 李志林，欧宜贵，数学建模及其典型案例分析，北京，化学工业出版社，2006.
[4] Matlab入门教程,http:
2014.06

附录1：Matlab的截图




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