全国科普日-2014年江苏高考分数线

单元一 数学教学设计概述
主题一 数学教学设计的内涵及特点
一、教学设计的内涵及特点
1．数学教学设计的内涵
教学系统设计（
Instructional System Design
，简称< br>ISD
），通常也称教学设计（
Instructional Design
） ，
主要是以促进学习者的学习为根本目的，运用系统方法，将学习理论与教学理论等的原理转换成对教学目标、教学内容、教学方法和教学策略、教学评价等环节进行具体计划、创设有效的教与学系
统 的“过程”或“程序。教学系统设计是以解决教学问题、优化学习为目的的特殊的设计活动，既
具有设计 学科的一般性质，又必须遵循教学的基本规律，因此它具有如下特征：
（
1
）教学系 统设计是应用系统方法研究、探索教与学系统中各个要素之间及要素与整体之间
的本质联系，并在设计中 综合考虑和协调它们的关系，使各要素有机结合起来以完成教学系统的功
能。
（
2< br>）教学系统设计的研究对象是不同层次的学与教的系统。这一系统中包括了促进学生学习
的内容、 条件、资源、方法、活动等，教学系统设计的过程就是对这些影响教学效果的各个要素进
行具体的计划的 过程。
（
3
）教学系统设计的目的是将学习理论和教学理论等基础理论的原理和方法 转换成解决教学
实际问题的方案，它不是为了发现客观存在的尚不为人知的教学规律，而是运用已知的教 学规律去
创造性地解决教学中的问题，教学系统设计的成果或产物是经过验证的、能实现预期功能的教学 系
统实施方案，包括教学目标以及为实现一定教学目标所需的教学活动和实施计划以及相关的支撑材料（如教材、学习指导手册、多媒体教学软件、学习者的学习资源、评价手册及测试题等）。
数学教学设计（Mathematics Instructional Design）又称为数学教学系统设计（Mathematics
Instructional System Design），是指主要依据教学理论、学习理论和传播理论，运用系统科学的方法，
对数学教学目标、教学内容、教学媒体、教学策略、教学评价等教学要素和教学环节进行分析、计
划并做 出具体安排的过程。简单地说，就是指数学教师为达成一定的数学教学目标，对数学教学活
动进行的系统 规划、安排与决策。
2．数学教学设计的特点
一般说来，教学设计具有以下一些特点： < br>（1）科学性。教学设计是以关于教与学的科学理论为基础，以系统方法、传播学、媒体论以及
设 计观为指导，以创设效果好、效率高和富有吸引力的教学活动为目的，探索解决教学问题的有效
方案，寻 求最佳的教学效果，并以此最终促进学习者的学习和个性的全面发展。
（2）指导性。 教 学设计包括一个学期或一门课程或一个单元或一堂课等多个层次的教学设计，
但无论哪一个层次的教学设 计都是教师为组织和指导教学活动精心设计的施教蓝图，是一种规划、
一种教学系统实施的方案。一个教 师有关下一步教学活动的一切设想，包括将要达到的目标、所要
完成的任务、拟采取的教学措施等均都反 映在这教学设计之中，对于教学活动的进行具有指导性。
（3）统整性。教学是由多种教学 要素组成的系统，教学设计是对这诸多要素的系统安排和组合，
是从教学系统的整体出发，由综合考虑教 师、学生、教材、媒体、环境等各个方面的具体作用，切
实保证“对象、目标、策略、评价”四者间的协 调一致，并使之相互衔接，产生整体效应的活动。
（4）灵活性。教学设计的目的在于帮助 个体有效地学习，所以从理论上讲教学设计应符合每一
个学生的需要，适合每一个学生学习的特点。教学 设计没有固定死板的程式可循，而是具有高度的
灵活性，它提供给设计者极其广阔的创造空间，要求设计 者创造性地开展工作。
（5）操作性。教学设计既有一定的理论色彩，又明确指向教学实践,是一种产 生学习经验和学
习环境、提高学习者获得特定知识、技能的效率和兴趣的技术过程。教学设计中每一个环 节的工作
都十分具体，每一步设计都具有很强的可操作性。
（6）预演性。教学设计 的过程实质上就是教师对实际教学活动的每一个环节、每一个步骤，在
自己的头脑中进行预演的过程。这 一过程带有较强的预演性和生动的情景性。它可以通过设计者在
头脑中一遍又一遍地预演即将进行的教学 活动，对教学过程的每一个细节周密考虑、仔细策划；同
时对上一轮的计划方案作修正和补充，甚至抛弃 原有方案，提出新的设想。

1

（7）合作性。教学设计是社会性 相互作用的结果。以计算机辅助教学为例，其课程开发过程包
括需要分析、对象分析、目标确定、内容选 择、顺序安排、程序设计、修改测试、效果分析等等，
这一系列的工作仅靠教师的个体劳动是难以完成的 ，必须有教师、心理学工作者、计算机程序编制
人员、电教技术工作者、学科内容专家和评价专家等多方 面的合作才能完成。
（8）创造性。教学设计是一种具有创造性、学科性、决策性的研究活动， 教学设计的过程实际
上也就是创造性地思考、设计教学实施方案的过程。而在这过程中，由于教师个人的 教学经验、风
格的差异，以及教育教学智慧的有别，每个教师设计的教学方案都会不同程度地带有个人的 风格与
色彩，因而它为教师个人创造才能的发挥提供了广阔空间。
二、数学教学设计的依据
1．现代教学理论。科学的理论是对教学规律的客观总结和反映，依据科学的教学理论和学习
原 理设计教学活动，实际上就是要求教学设计的方案和措施要符合教学规律。
2．系统科学的 原理与方法。教学系统是一个由多种教学要素构成的复杂系统，各教学要素间存
在着密切的联系和多种作 用方式。运用系统方法分析课堂教学系统中各因素的地位和作用，使各因
素得到最紧密的、最佳的组合， 从而优化课堂教学效果，是教学设计的一个基本特征，同时也是教
学设计成功与否的关键所在。
3．教学的实际需要。从根本上讲，教学设计的全部意义就在于满足教学活动的实际需要，在
于为实现 这种需要提供最优的行动方案。因此，教学设计最基本的依据就是教学活动的实际需要，
离开了教学的现 实需要，也就谈不上进行教学设计。
4．学生的特点。课堂教学是教师和学生双方共同活动的过程，在 这个过程中存在着教师的“教”，
也存在着学生的“学”。教是为了学，学是教的依据和出发点，教师的 教必须通过学生的积极主动的
学才能起到有效作用。
5．教师的教学经验。在一定意义上说， 教学设计的过程也是教师个体创造性劳动的过程，成
功的教学设计方案中往往凝聚着教师个人的经验、智 慧和风格。教师的教学经验、智慧和风格是形
成教学个性及教学艺术性的重要基础，是促进课堂教学丰富 多采、生动活泼的基本条件。
主题二 数学教学设计的基本要求及环节
一、数学教学设计的基本要求
1．教学设计的基本要求
（1）教学目标明确；（2 ）合理安排教学内容；（3）促使学生积极主动地投入到教学中来；（4）
恰当使用信息技术。
2. 教学内容的选取要帮助学生打好基础，发展能力
在教学设计时，既要关注学生在数学情 感态度和科学价值观方面的发展，也要帮助学生理解和
掌握数学基础知识和基本技能，发展能力．（1） 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握；（2）
重视基本技能的训练；（3）与时俱进地审视基础知识 与基本技能．
3. 教学素材的选取应注意体现数学的本质，关注与实际的联系，关注学生的现实，注意适度
的弹性
事实上，高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识，这些内容是学生进行高中的
数学学习 的基本出发点．在教学设计中，选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实
世界中的常见现 象或其他科学的实例，展现数学的概念，结论，体现数学的思想，方法，反映数学
的应用，使学生感到数 学就在身边，数学的应用无处不在．
4. 进行教学内容组织的设计，要关注相关数学内容之间的联系，帮助学生全面地理解和认识
数学
数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的数学学习是循序渐进、逐步发展的．教学素
材编写时， 应充分注意这些问题，不要因为高中数学课程内容划分成了若干模块，而忽视相关内容
的联系．为了培养 学生对数学内容联系的认识，在教学设计中，须要将不同的数学教学内容相互沟
通，以加深学生对数学的 认识和本质的理解．
5. 教学内容的呈现应关注知识的发生、发展过程，促进学生的自主探索 < br>在高中数学教学设计中，呈现教学内容应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体
现从 具体到抽象、特殊到一般的原则．在教学设计中，应注意创设恰当的情境，从具体实例出发，

2

展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题，提出问题，经 历数学的发现和创造过
程，了解知识的来龙去脉．
教学素材的呈现应为引导学生自主探索留有 比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜
测、推理、交流、反思等过程；还可以通过设置具有启 发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，
鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在 思考、探索和交流的过程中获得对数
学较为全面的体验和理解．
6. 教学设计要充分体现现代信息技术与数学教学内容、教学形式的整合
教学设计在处理某些内容时，提倡 使用计算器或计算机，帮助学生理解数学概念，探索数学结
论，还应鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂 的计算，解决实际问题，以有更多的时间和精力去探
索发现数学的规律，培养创新精神和实践能力．另一 方面，现代信息技术不仅在改进学生的学习方
式上可以发挥巨大的潜力，而且可以渗透到数学的课程内容 中来，教学素材应注意这些资源的整合．
二、数学教学设计的基本环节
教学设计的过程既 是系统化的过程，又是充满创造性的过程。一个教师，首先应掌握教学设计
的基本过程，才能够熟悉教学 设计的原理和方法，也才能够在此基础上不拘泥于基本规范进行创新。
下面给出本书数学教学设计的基本框架图：

活动与运用：
1．数学教学设计的内涵及特点是什么？
2．数学教学设计的基本要求是什么？完整的教学设计包括哪些内容？
3．请举一个典型课题，进行教学设计。


单元二 数学教学内容与对象分析

在进行数学教学设计之初，必须先了解情况，进行调查分析，这是 非常重要的。数学教学设计
应对数学教学内容和学生情况进行分析。只有通过深入分析数学教学内容，充 分认识和把握每一数
学教学内容的重点、难点、逻辑体系，了解学生掌握知识的背景状况和已有的数学知 识结构，了解
学生的认知发展特征与认知发展水平尤其是数学能力水平，才能有的放矢地制定数学教学目 标、选
择数学教学策略、设计数学教学活动，从而提高数学教学的质量。
1. 学习目标：
 明确数学教学内容的特点和功能以及进行教学内容分析的意义；
 掌握数学教学内容分 析的主要方面：结构分析、功能分析、背景分析、要素分析、学习类
型与任务分析，对具体的教学内容进 行分析；
 针对学生的实际情况，从学生的起点能力、学生数学学习心理障碍、学生认知特点个别差
异及认知风格三个方面进行分析。
2. 学习内容：
主题1 数学教学内容分析
主题2 学生情况分析
3. 单元课时：
本单元的学习需要8个学时。

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4. 学习材料:
 笔记本
 数学教科书
 义务教育阶段以及普通高中数学课程标准

主题1 数学教学内容分析

一、数学教材的功能
数学教学内容是解决教师教什么和学生学 什么的问题，它的主要依据是数学教材和数学课程标
准。我们这里所说的数学教学内容的分析主要是指对 数学教材分析。数学教材是数学教学过程的要
素之一，是数学教学系统的重要组成部分。数学教材是数学 教学内容的基本组成部分，是数学教学
内容的主要依据，它具有以下几种功能：（1）目标功能；（2） 教学功能；（3）评价功能。
数学教材既是数学著作，又不是一般的数学著作，它具有以下几个特点： （1）科学性；（2）教
学性；（3）教育性。
二、数学教材分析的意义
我们知道 ，数学教材在数学教学过程中有很重要的作用，为了提高数学教学质量，数学教师必须首
先通过研究和分 析、理解和掌握数学教材，这是数学教师的基本功。数学教材分析是数学教师进行教学设
计的基础，数学 教师只有在深刻理解数学教材的基础，才能灵活地运用数学教材、组织教材和处理教材，
深入浅出地上好 每一堂数学课，取得良好的教学效果。数学教材分析是数学教师教学工作的重要内容，也
是数学教师进行 教学研究的主要方法之一。数学教材分析能充分体现教师的教学能力和创造性的劳动。通
过数学教材分析 能不断地提高教师的业务素质和加深对数学教育理论的理解。因此，数学教材分析对于提
高数学教学质量 和提高数学教师的自身素质都具有十分重要的意义。
三、数学教材分析的基本要求
1.熟悉 和钻研《数学课程标准》，深刻领会数学教材的编写意图和目的要求。这样才能勉强而恰
当地在知识与技 能、过程与方法、情感态度与价值观等诸方面编制教学目标，从而避免盲目提高要
求，增加教材的深广度 ，或随意降低教学要求。
2.通览教材，从整体上把握教材，了解数学教材的结构、地位作用和前后联 系，明确各章、各
节在整个教材中的地位和作用，明确它们之间的关系，
3.分析数学教材 的重点、难点和关键，了解学生容易混淆、可能产生错误的地方和应该注意的
问题。
4.了解例题和习题的编排、功能和难易程度，钻研例题、习题的解法。
5.从更深和更高的 层次理解数学教材。了解有关数学知识的背景，发生和发展过程，与其他有
关知识的联系，以及在生产和 生活实际中的应用。
6.了解新知识和原有认知结构之间的关系，起点能力转化为终点能力所需要的先 决技能和它们
之间的关系。
四、如何进行教材分析
数学教材是一个系统，要用系统 的方法来进行研究。运用系统方法对数学教材进行分析包括
结构分析、数学思想方法分析、功能分析、背 景分析、要素分析、学习结果及形式与任务分析等。
数学教材又是教师进行数学教学和学生学习数学的重 要依据，因此还必须在数学教学论和数学学习
论的指导下对数学教材进行学习心理分析。下面我们分别加 以说明。
1. 结构分析
所谓结构，是指事物内部组成要素组合在一起的方式。根据数学教 学内容的不同层次，要分两
种结构进行分析：整体结构分析、单课结构分析。
(1) 整体结构分析
整体结构分析指的是整个数学学科、某一分科（如代数、平面几何、立体几何和解析几何 ）、
某一单元内容的的结构分析。整体结构分析主要是对数学教材中的各知识点之间的关系形成的结构< br>进行分析，从整体上了解它的结构。从而分清层次，把握单课结构在整体结构中的地位和作用。通
常作结构分析的最好办法是把数学教材中的各知识点之间的关系用结构框图表示出来。
(2) 单课结构分析

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单课结构也就是课时结构，它包括数学知识结构、数学教学结构和重点、难点与关键。
① 数学知识结构。数学知识结构是数学材料的逻辑顺序，一堂课的具体内容的结构一般如下：

② 数学教学结构。数学教学结构是指教材编写者的教学意图，通常教材中内容展开的顺序< br>便是教材认定的教学顺序，这类教材的结构体现了教学的结构。不仅提供数学事实和结论，而且体
现教法，安排引导学生自己独立探索结论的过程。所以，教学结构对教学设计有重要的参考价值。
但它不 是唯一的，不是不可改变的，在进行教学设计时还可以做些调整，推陈出新。
③ 重点、难点和关键。 重点是进一步学习的基础、在教材中起核心作用、有广泛应用价值的
内容。难点是学生理解、掌握或运用 比较困难，容易产生混淆或错误的知识点。关键是教材中对掌
握某一部分知识起决定性作用的内容，是教 学的突破口。
在明确了教材的重点、难点和关键以后，才能分清教材内容的主次，把力量用在刀口上， 抓住
主要矛盾，突出重点、克服难点、抓住关键，取得事半功倍的效果。
2. 数学思想方法分析
数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容。因此，在做教 材分析时
一定要深入挖掘教材中的数学思想方法，并设计将这些知识渗透给学生的方法。
数学 思想方法分析是对数学教材的深层次分析，是对数学教材中所蕴含的数学思想方法进行分
析。
3. 功能分析
功能分析是指对数学教材在培养和提高学生数学素质的功能进行分析，包括 数学能力价值、思
想教育价值和应用价值。这些价值往往隐含在教材之中，是潜在的因素，需要教师深入 钻研、积极
挖掘。数学教材的功能分析非常重要，在一般数学教学中，教师往往容易忽视，把数学教学的 目标
定位为单纯的数学知识的学习。因此，在数学教学设计时，一定要重视与突出数学教材的功能分析。
数学教材的功能分析主要包括：
(1) 能力价值分析
数学能力价值分析是指分析 通过数学教材内容所提供的数学知识学习与掌握，对于培养学生数
学思维品质，训练学生数学思想方法， 提高学生数学能力等具有的重要作用与意义。
(2) 思想教育价值分析
数学的思想教育价 值是指分析通过数学教材内容所提供的数学知识学习与掌握，对于培养学生
优秀的个性品质、塑造学生的 人格精神、促进学生的世界观和人生观形成等作用与意义。
(3) 应用价值分析
数学的应 用价值是指分析通过数学教材内容所提供的数学知识学习与掌握，数学能力的发展，
对于学生在生活、生 产实践和科学技术中的应用数学所具有的作用与意义。
4. 背景分析
数学教材的背景分析 ，主要是分析数学知识的发生、发展的过程，它与其他有关知识之间的联
系，以及它在社会生产、生活和 科学技术中的应用。通过背景分析，可以使数学教师真正把握教材，
居高临下，深入浅出，完成高质量的 课。这样，既有利于拓宽教师的知识面，加深对教材的理解，
了解它在数学教学中的地位和作用，也有利 于教师知道在教学中如何培养学生辩证唯物主义观点、
应用数学的意识和解决实际问题的能力。
（1）分析数学知识的发生、发展的过程。
（2）分析所教数学知识与其他知识之间的联系。
（3）分析数学知识在社会生活、生产和科学技术中的应用。
5. 要素分析
一般来说，数学教材的要素分析包括以下几个方面：

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（1）感性材料。指的是表示数量、图形和实际问题等具体材料，供引入概念和定理之用，它
们是学习数 学基础知识和基本技能的必要准备和条件。
（2）概念和命题。这是数学知识结构的核心部分，包括定 义、定理、公理、公式、法则和性
质等内容。
数学概念学习要从数学概念名称、定义、例子和属性四个方面进行分析。
数学命题学习可以从数学命题内容、结构、证明和应用四个方面进行分析。
（3）例题。是指 帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理的数学问题，是教师用作示范的
具有一定代表性的数学典型问 题。
（4）习题。习题是指有关运算、推理、论证、画图、测量和使用计算工具等方面的训练材料。< br>可供加深理解、巩固知识、形成技能和培养能力之用。对于习题要分析以下几个方面：
①习题的分类；②习题的分量；③习题的使用方式。
6. 学习结果、形式与任务分析 为了进行数学教学设计，为安排教学顺序、创设教学情境、选择教学策略提供心理学依据，必
须对学 习类型与任务进行分析。下面我们分别加以说明。
(1) 学习结果类型分析
关于学习结果 的类型，加涅的学习结果分类理论是很有价值的指导工具。加涅将人类的学习结
果分成五类：言语信息、 智慧技能、认知策略、动作技能和态度。
根据数学学科的特点，结合加涅的学习结果分类，数学的学习结果可以分成八种类型：
① 数学事实。是指数学名称、符号、图形表示和事实等。
② 数学概念。是指数学的具体概念和抽象概念。
③ 数学原理。是指数学的公理、定理、公式和法则等。
④ 数学问题解决。是指综合运用数学概念和原理解决较复杂的问题。
⑤ 数学思想方法。是指数学观念、思想、逻辑方法和具体的数学方法等。
⑥ 数学技能。是指运算、推理、作图、数据处理、绘制图表、使用计算器和数学交流等。
⑦ 数学认知策 略。是指促进注意的策略、促进短时记忆的策略、促进掌握新信息内在联系的
策略、促进新旧知识联系的 策略、促进长时记忆的策略和数学解题策略等。
⑧ 态度。是指辩证唯物主义观点和良好的个性品质。 包括学习目的、兴趣、意志、信心、科
学态度和创新精神等。
(2) 学习形式类型分析 < br>奥苏伯尔提出的认知结构同化理论为教师分析新知识和学生原有知识之间关系，并根据原有知
识基 础进行教学提供了理论依据。奥苏伯尔认为，新知识与学生的认知结构中原有知识构成三种关
系：第一种 ，原有知识为上位的，新的知识是下位的；第二种，原有知识为下位的，新的知识是上
位的；第三种，原 有知识和新的知识是并列的。新旧知识的三种关系导致了三种形式的学习：
① 下位学习。学生认识结 构中原有的知识在包摄性和概括水平上高于新学习的知识，新知识
与旧知识构成类属关系，又称下位关系 ，这种学习称为下位学习或类属学习。新的知识和原有认知
结构中的知识相互作用的方式是同化，将新的 知识纳入原有认知结构中。
② 上位学习。当学生的认知结构中已经形成了几个观念，现在要在原有知 识的基础上学习一
个概括和抽象水平更高的概念或命题，这种形式的学习称为上位学习或总括学习。新知 识与原有认
知结构中的知识相互作用的方式是顺应，在将原有认知结构中有关知识进行分析、综合、归纳 、抽
象、概括后，把原有的认知结构改造为新的认知结构。
③ 并列结合学习。当新的概念或 命题与认知结构中的原有知识既不是类属关系，也不是总括
关系，而是并列联合关系时，便产生并列结合 学习。由于新旧知识之间具有某些相似性，新知识也
可以被原有知识同化。
（3）学习任务分析
在学习新的知识技能之前，学生原有的知识技能的准备水平称为起点能力 。通过一定的教学活
动，学生获得的知识技能称为终点能力。通过教学，学生的起点能力转化为终点能力 。从起点能力
到终点能力之间，学生还有许多知识技能没有掌握，而掌握这些知识技能又是达到终点能力 的必要
条件。介于起点能力到终点能力之间的这些知识技能称为先决技能。学习任务的分析就是对学生的
起点能力转化为终点能力所需要的先决技能及其上下左右的关系进行详细剖析的过程。学习任务分
析的过程是：从终点能力出发，一步一步揭示其先决技能。反复提出这样的问题：“学生要达到这
一目 标，他预先必须具备哪些能力？”一直问到学生的起点能力为止。把学生每一步需要掌握的先

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决技能依次排列出来。具体地说，可以分成以下的步骤：
① 确定终点能力；② 确定为了达到终点能力，学生必须先掌握哪一个先决技能；
③ 确定为了掌握这一个先决技能，学生必须先掌握哪一个先决技能；④ 如此继续下去，找出
全部的先决技能；⑤ 按照终点能力----先决技能1----先决技能2 ----起点能力进行排序。
通过学习任务的分析，明确了从学生的起点能力出发，到达终点能力，需 要经过多少步骤，这
就为设计教学顺序奠定了基础。

主题2 数学教学对象分析
教学设计的目的是为了使学生更好地学习。教学目标是否实现，要在学生的学习活动中体现出
来 。为了取得较好的教学效果，教师必须了解教学对象即学生的情况。通过对学生情况的分析，了
解学生的 起点能力、认知特点个别差异及认知风格，可以为教学内容的选择和组织、教学目标的编
制、教学活动的 设计、教学方法和媒体的选用提供可靠的依据。
一、学生的起点能力分析
任何一个学生学习 任何一项新知识，都不是从一无所知开始的，他在学习之前就已经具备与新
知识有关的知识和技能。教师 了解学生的起点能力是非常必要的，可以使教学密切联系学生的实际，
使教学目标定得恰如其分，既不要 求过高，使学生不能接受，也不要求过低，浪费学生时间，影响
学生学习的积极性。一般来说，学生的起 点能力分析包括以下三个方面：
1. 对学生预备技能的分析
预备技能是指进行新的学习所 必须掌握的知识与技能。对学生预备技能的分析就是了解学生是
否具备了进行新的学习所必须掌握的知识 与技能，是否具备学习新知识的基础。如果学生预备技能
没有掌握，那么就不具备学习新知识的条件，需 要改变教学起点，补上这一部分内容。
2. 对学生目标技能的分析
目标技能是指教学目标 中要求学会的知识与技能。对学生目标技能的分析就是了解学生是否已
经掌握或部分掌握了教学目标中要 求学会的知识与技能。如果已经掌握了部分目标技能，那么这部
分教学内容没有必要进行。
3. 对学生学习态度的分析
了解学生的学习态度，对选择教学内容和教学方法都有重要的影 响。如果学生对所学内容态度
积极，那么他就会认真学习所要学习的内容，就有可能取得较好的学习效果 。因此对学生学习态度
的分析就要了解学生对所要学习的内容是否存在偏见或误解。
如何了解学生起点能力的情况呢？常用的方法有以下几种：
（1）一般性了解；（2）个别谈话；（3）书面测试；（4）问卷调查。
了解学生的学习态 度，除了观察、谈话等方法以外，还可以采用问卷调查的方法，设计一系列
的问题让学生回答。
二、学生数学学习心理障碍分析
学生数学学习心理障碍一般有两种，一种是情感障碍，一种是 认知障碍。情感障碍的表现是多
方面的，如有的同学对数学有畏惧感，有的同学因不喜欢数学老师的认知 风格而产生厌烦数学课的
情绪等等。认知障碍的表现也不尽一样，如相当一部分学生的认知结构中存在以 下一些障碍：（1）
不善于概括数学材料，不善于把“解题的关键”从题目中概括出来；（2）不善于把 具体的数学材料
形式化，使形式与内容分离开来；（3）缺乏将字母与其他数学符号用于运算的能力；（ 4）缺乏适当
的分段推理能力；（5）不善于简缩运算与推理的过程；（6）缺乏逆向思维能力；（7） 缺乏一定的数
学记忆能力；（8）缺乏一定的空间想像能力等等。
进行数学设计之前，对学生 学习数学的障碍作心理分析，设计就有了针对性，教学中就可以尽
量逐渐地减少学生数学学习的认识障碍 。
三、学生认知特点个别差异及认知风格分析
在学习时，每一个学生都必须由自己来感知、 处理、储存和提取信息。但学生之间存在着生理
和心理的差异，对信息的反应不同，因此，不同的学生有 不同的认知特点和认知风格。
1. 学生的认知特点个别差异分析
学生数学认知特点的个别差异主要体现在以下几个方面：
（1）数学感知、定向的差异；（2 ）数学概括能力的差异；（3）数学推理能力的差异；（4）联
想能力的差异；（5）思维转换的差异； （6）数学记忆力的差异。

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了解了这些差异，在设计时就要综 合考虑这些因素，选择相应的教学策略，如分层教学、个别
指导等等。
2. 学生的认知风格分析
认知风格又称认知方式，是指学生个体在认知即信息加工过程中表现在认识方式方 面的持久的
一贯的的独特风格。学生在认知方式上是有差异的，这种差异一般用两极的方式来描述，主要 有：
（1）场依存性和场独立性
场依存性的学生在认知活动中倾向于以外部参照作为信息加 工的依据，容易受周围人们和环境
的影响。喜欢有人际交流的集体学习情境，对社会学科材料的学习记忆 效果较好，较依赖于学习材
料的预先组织，需要明确的指导和讲授，喜欢结构严密的教学。场独立性的学 生则相反，他们在认
知活动中倾向于以内部参照作为信息加工的依据，不容易受周围人们和环境的影响。 他们的知觉比
较稳定，不易为背景改变而改变。善于学习数理学科，能独立思考，对学习材料能进行分析 和重组。
（2）沉思型和冲动型
在有几种可能解答的问题情境中，有些学生倾向于深思熟虑 且错误较少，但回答速度较慢。这
种认知方式称为沉思型认知方式。另一些学生倾向于很快地作出反应和 检验假设，但常常出错。这
种认知方式称为冲动型认知方式。这两种认知方式在学习上存在着差异。
（3）辐合型和发散型
辐合型认知方式是指学生在解决问题时，通过收集或综合信息，运用逻 辑规律，缩小解答范围，
直至找到适当的唯一正确的解答，即就是运用求同思维。发散型认知方式是指学 生在解决问题时，
思维沿着许多不同方向扩展，使观念发散到各个有关方面，最终产生多种答案，即就是 采用求异思
维。
（4）整体策略和序列策略
学生在学习策略方面也有差异。有些学 生倾向于把问题看作一个整体，从各个角度对问题进行
观察和思考，采用整体策略。有些学生则倾向于把 重点放在解决一系列子问题，一步一步呈直线的
方式进展，采用序列策略。两种策略各有利弊，最佳方式 是两者结合。
对学生情况的分析涉及面很广，在进行教学设计时不必要、也不可能对所有方面作详尽的 分析。
教师要抓住与教学任务关系比较密切的特点进行分析，特别是重点应放在学生是否掌握预备技能的
分析上。

活动与运用
：
1. 数学教材分析有什么意义？
2. 怎样分析数学知识的背景？如何将数学知识的发生发展过程体现在教学之中？
3. 请举一个典型课题，对它的功能进行分析。
4. 任意选择一节课，对它的结构进行分析。
5. 学生的起点能力分析对教学设计的意义是什么？


单元三 数学教学目标的设计

教学目标是教学活动预期达到的结果，是学生通过学习以后预期产 生的行为变化。它表现为对
学生学习成果及终结行为的具体描述。在教学活动开始之前，教师必须明确学 生学习结果的类型，
并且用清晰的语言陈述教学目标，编制教学目标是教学设计中非常重要的组成部分。 通过学习可以
准确地制定数学教学目标，从而提高数学教学的质量。
1. 学习目标：
 明确数学教学目标的功能；
 掌握数学教学目标的分类系统；
 针对具体教学内容进行数学教学目标的分析和编制。
2. 学习内容：
主题一 教学目标及其分类
主题二 数学教学目标的设计
3. 单元课时：

8

本单元的学习需要6个学时。
4. 学习材料:
 笔记本
 数学教科书
 义务教育阶段以及普通高中数学课程标准

主题一 教学目标及其分类
一、什么是教学目标
教学目标是教学活动预期达到的 结果，是学生通过学习以后预期产生的行为变化。它表现为
对学生学习成果及终结行为的具体描述。在教 学活动开始之前，教师必须明确学生学习结果的类型，
并且用清晰的语言陈述教学目标。编制教学目标是 教学设计中非常重要的组成部分。但是在当前的
数学教学设计中，很多数学教师忽视教学目标，存在以下 几个问题：
（1）不认识教学目标的重要性，认为教学目标是形式，可有可无。在进行数学教学设计时 ，
根本不考虑教学目标，直接设计教学过程。造成教学没有方向，不知道要达到什么结果。
（2）不知道如何确定教学目标，在编写教案时，照抄课程标准或教学参考书。
（3）教学目 标定得太笼统、太空泛、太模糊、不确切、没有针对性。不是太高，就是太低。
有的只有知识目标、技能 目标，没有能力目标和态度目标。
二、教学目标的功能
产生上述这些问题的原因是很多数学 教师不了解教学目标的功能，不知道怎样编制教学目标。
认为编制教学目标没有什么用处，是形式主义， 多此一举。实际上，教学目标是教学设计的依据。
对教学方法的选择，对师生相互作用的活动的安排，对 教学效果的测量和评价都起着定向和制约作
用。只有明确教学目标，教学才能有的放矢。确定教学目标是 教学设计的核心问题。具体地说，教
学目标有以下几种功能：
（1）导向功能；（2）评价功能；（3）指导功能；（4）激励功能。
根据教学内容的范围 不同，教学目标可分为课程教学目标、单元教学目标和课时教学目标。我
们这里主要讨论课时教学目标。
三、 数学教学目标的分类
为了使教学目标能对教学起导向作用，有助于教师对某些学 习行为的准确理解，有必要对教学
目标进行分类。根据我国的具体情况和数学学科的特点，我国的《数学 课程标准》中，对数学教学
目标做了新的重新的分类。
（一） 《义务教育数学课程标准》中对数学教学目标的分类
国家课程标准是国家对基础教育课程的基本规范和 要求。课程标准是教材编写、教学、评估和
考试命题的依据，是国家管理和评价课程的基础。它体现国家 对不同阶段的学生在知识与技能、过
程与方法、情感态度与价值观等方面的基本要求，规定各门课程的改 天换地、目标、内容框架，提
出教学和评价建议。
课程标准描述的是学生学习所包括的主要领 域及大多数学生在每一学习领域能达到的学习结
果的行为描述，而不是对教学内容的具体规定（如教科书 和教学大纲）。过去我们使用的是教学大
纲，即是“教与学的内容纲要”，而现在的课程标准则是“学生 学习结果的纲要”。教师可以运用课
程标准来评估学生的学习，可以把其作为向家长报告学生学业成绩的 参考，同时可用它作为检测与
调整自己的教学的一个参考，家长、教育部门则可以用它来评估学生的学习 情况、评估课程的情况
以及教师的教学水平。
我国的课程标准采用的是分科阐述的形式，每门学科的课程标准的基本框架以及具体内容是：
1.前言：结合本门课程的特点，阐述课程改革的背景、课程性质、基本理念与本标准的设计思
路。 < br>2.课程目标：从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面来阐述本门课程的总体目
标 与学段目标。
3.内容标准：根据上述课程目标，结合具体内容，用尽可能清晰的行为动词来阐述。
4.实施建议。
5.术语解释。
《标准》中以课程目标的形式提出了四个方面的数学课程目标：知识与技能、数学思考、解决

9

问题、情感与态度。这四个方面也就决定了与之相对应的数学课堂教学目标的四个方面。
1. 知识与技能方面的目标包括了知识技能目标和过程性目标。知识技能目标则指诸如“知道一
个数学概念、掌握一个数学定理或学会一种计算法则等比较容易观察和测量的”，即能“看得到、
摸得 着”的，而过程性目标则是指诸如“在学习„„过程中感受„„”、“体验„„”、“通过„„，
探索„ „”等等，它往往是不容易观察和测量的，然而，它确实是非常重要的。
为了让人们更好地气氛知识与 技能目标，《标准》中使用了“了解（认识）、理解、掌握灵活运
用”目标动词来刻画知识技能，使用了 “经历（感受）、体验（体会）、探索”过程性目标动词刻画
数学活动水平。
2. 数学思考 、解决问题、情感与态度作为数学课程目标的重要组成部分，恰好说明了《标准》
中对“促进学生的终身 可持续发展是义务教育的基本任务”这一观点的体现。《标准》中对此的强
调就意味着，我们应把这四个 方面作为义务教育阶段数学课程的整体目标，不通随意降低某一方面
的要求，不能在“知识学习”与“情 感态度”的发展之六产生冲突时，让后者退位，让其服从前者。
这四个方面的目标是一个密切联系的有机 整体，对人的发展具有十分重要的作用。当然，我们也应
清楚地认识到，“数学思考、解决问题、情感与 态度”目标的实现是通过数学知识的学习来完成的，
但另一方面，我们又应强调，知识与技能的学习必须 有利于其他三个方面的目标的实现。正像《标
准》中所指出的那样：“它们是在丰富多彩的数学活动中实 现的，其中，数学思考、解决问题、情
感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学 习必须以有利于其他目标的实现
为前提。”
（二） 《普通高中数学课程标准》中对数学教学目标的分类
1．高中数学课程的总目标
高中数学课 程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公
民所必要的数学素养， 以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。
（1）获得必要的数学基础知识和基本技 能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概
念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数 学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创 造的历程。
（2）提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
（3）提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的
能力，发展 独立获取数学知识的能力。
（4）发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模 式进行思考和做出
判断。
（5）提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
（ 6）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的
思维习惯，崇 尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物
主义世界观。
2．本标准中使用的主要行为动词
本标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法 ，情感、态度与价值观，所涉及的
行为动词水平大致分类如下。
目标领域 水 平
知道了解模仿
行为动词
了解，体会，知道,识别，感知，认识，初步了解，
初步体会，初步学会，初步理解，求 描述，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，推
测，想像，理解，归纳，总结，抽象，提取，比较 ，
对比，判定，判断，会求，能，运用，初步应用，
初步讨论
掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选
择，决策，解决问题
知识与技能
理解独立操作
掌握应用迁移

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经历模仿
过程与方法
发现探索
反应认同
情感、态度与价
值观
经历，观察，感知，体验，操作，查阅，借助，模
仿，收集，回顾，复习，参与，尝试
设计，梳理，整理，分析，发现，交流，研究，探
索，探究，探求，解决，寻求
感受，认识，了解，初步体会，体会
获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥，发
展
领悟内化


活动3.1 剖析数学教学目标
目标
说出教学目标设计的一些特点，加深对教学 目标的理解。帮助你认真地思索数学教学目标编制的基本要求，掌
握设计数学教学目标的具体步骤。通过 剖析具体教学目标案例，加深对教学目标陈述的理解。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 带着下面的问题阅读案例1（第X页）中的教学目标案例，并在笔记本上写下自己的看法。
（1）这节课的教学目标有什么特点?
（2）这节课的教学目标设计中，我们应该借鉴什么？
2. 在小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上。
3. 由小组 发言人汇报本组对上述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的见解和看法，进
行讨 论，以深化认识。

主题二 数学教学目标的设计
在明确了什么是教学目标，教学目标的分类以后，我们进一步来研究如何编制数学教学目标。
一、 设计数学教学目标的步骤
这里的数学教学目标主要是指课时教学目标，编制的步骤如下：
（1）认真学习和钻研《数学课程标准》
（2）了解学生的基础和学习特点
（3）明确单元教学目标
（4）明确本课时教学的具体内容和要求
（5）确定课时教学目标并加以陈述
根据教学目标编制的方法，区分不同的内容和水平。根据 每一个学习内容所要达到的水平，在
它的前面选择合适的行为动词。
二、数学教学目标的分解与陈述
1. 数学教学目标的分解
（1）把阶段性（单元 ）教学目标分解为两个或两个以上的相互联系又相对独立的子目标，若
子目标中仍有阶段目标，则继续分 解，直至最后出现的子目标是课时目标。
（2）把课时目标分解为两个或两个以上的行为目标，以使我 们及所有读过这些特定行为目标
表述的教师能够从学生的学习实况中很容易地判断出该目标是否已经达到 。
我们把一个复杂的阶段目标分解为必须分别并按某种顺序排列的子目标体系，每当完成了一个
子目标的教学，便是向着最终的目标前进了一步。在教学中，一方面要记住所要达到的最终目标及
其特 定的表述，另一方面集中力量使每一个子目标的教学获得成功。
2. 数学教学目标的陈述
教育心理学家对于教学目标的陈述，有两种不同的观点。行为主义强调用可以观察可以测量的
行为来描述 教学目标；认知学派则主张用内部心理过程来描述教学目标。尽管这两种观点不同，但
教学目标的重点应 说明学生的行为和能力的变化这一观点是被共同接受的。下面我们介绍两种陈述
教学目标的方法。

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（1）ABCD法
美国心理学家马杰提出，教学目标应包括三个基本要素：行为、 条件和标准。后来在教学实
践中又感到还需要补充教学对象，这样， 教学目标就更加明确，形成了ABCD法。
① 教学对象（A，即audience）。是学习者， 是行为的主体，行为目标描述的是学生的行为，
而不是教师的行为。
② 行为（B，即beh aviour）。在教学目标中，行为的表述是最基本的成分，说明学生在教学过
程结束后应该达到什么 要求。行为的表述应具有可观察的特点，应使用明确的行为动词来描述。
③ 条件（C，即condi tion）。条件是指学生完成行为时所处的，即情境，也即是在什么情况下
评价学生的学习结果。条件 包括环境、人、设备、信息、时间、问题明确性等因素。
④ 标准（D，即degree）。标准是行 为完成质量的可接受的最低衡量依据。对行为标准的具体
描述，可使教学目标具有可测性。标准一般从行 为的速度、准确性和质量等方面来确定。
（2） 内外结合法
ABCD法虽然描述教学目标 比较具体可测，避免了模糊性。但是也有缺点，它过分强调行为的
结果，而不注意内在的心理过程。只注 意行为的变化，忽视内在能力的变化和情感的变化。而且在
目前情况下，具体教学实践中有好多心理过程 还无法行为化。因此，描述心理过程的术语尚不能完
全避免。为此，可以采取内外结合的方法，先用描述 心理过程的术语陈述教学目标，再用可观察的
行为作为例子使这个目标具体化，将内部心理过程和外显行 为结合起来描述教学目标，既避免了用
内部心理过程描述教学目标的抽象性，又防止了行为目标的机械性 和局限性。

活动3.2 设计数学教学目标
目标
在理解教学目标重 要性的基础上，能够针对具体的教学内容进行教学目标的编制。通过亲身参与讨论、合作进
行教学目标的 设计，感受合作与交流对促进教学目标设计水平提高的作用。从而使你能在教学设计中很好地进行数
学教 学目标的陈述，为课堂教学工作指明方向。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 请仔细阅读人教版高中数学课本“二项式定理”（第X页）中的教学内容，并思考以下问题：
（1）这部分内容应该怎样设计教学目标？
（2）在课堂教学中如何体现出来？
2. 组内就这些问题展开讨论，最后要形成一份教学目标设计方案。
3. 各小组的发言人汇报本组的教学目标设计方案，小组之间就方案进行研讨，进行评价。
案例1 数学教学目标设计示例
为了说明数学教学目标设计的步骤和方法，并准确地陈述教学目标，现以“有理 数的加法”一
节为例，详细地说明教学目标的设计。
“有理数的加法”教学目标设计
一、明确《标准》的要求
《标准》中明确指出，要掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单 的混合运算；理解有理数
和运算规律，并能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题。 可见，在知识与技
能目标水平上，《标准》中的要求是属于“掌握”水平的。
二、进行教材分析
从知识结构来看，有理数的加法是有理数运算的基础，是该单元中最重要的 课节之一，它涉及
到许多概念，如有理数、相反数、绝对值等。只有对这些要领及它们之间的关系充分了 解，才能掌
握有理数的加法的定义和运算法则。
在初中代数中，关于有理数的运算学习的重点 在于数的计算。因而，教材中关于数的处理充分
考虑到学生的可接受性，对有理数的定义也没有严格定义 的形式，所以关于有理数的运算，采用了
实例加说明解释的方式得出，通过归纳概括出运算法则。这节正 是这种思路的体现：采用通过实例
加以数轴的直观表示，归纳出加法法则，这样做的目的是为了便于学生 的理解和掌握。对于初一的
学生来说，具体直观的思维仍然占主要地位。因而，用数轴辅以理解是符合学 生心理发展水平的。
另外，教材采用的这种“分析——归纳”的方法，也体现出知识的发生过程。 本节课的要素是：①感性材料——实际问题；②概念和命题——有理数加法的意义和运算法则；
③例 题——法则的应用。

12

从数学思想方法上看：本课是通过利用 数轴上作两次运动的合成，得到六个加法等式，然后分
析两加数的符号、绝对值及和的符号、绝对值的关 系，从而归纳出有理数加法法则。在这个过程中，
体现了数形结合的思想、分类讨论的思想、观察与归纳 的方法以及初步的算法思想。
由于在归纳加法运算法则的过程中多次涉及到正数与负数、有理数与数轴 之间的关系，实际也
给我们渗透对立统一思想提供了契机。教材是通过联系日常生活的实例（人的运动路 程问题）和例
题展开本课的，这样引入也是为了强调数学处生产、生活实际的关系，培养理论联系实际的 学风。
在加法运算法则中，通过绝对值的概念和符号的判定把有理数的加法转化为非负有理数的运算< br>（即小学中学过的算术）来解决，体现了转化思想，有利于学生形成辩证唯物主义观点。
运算法 则就是一种初级的算法，它规定了有限步骤的规则。当给出了属于这个问题的一个问题
时，只要能执行算 法所要求的操作，就一定能得出正确的结果。因此，学习有理数的加法法则，要
求学生严格地按照法则进 行运算，要做到判断（符号）准确，计算（绝对值相加）无误。所以，在
这一节学习中，要注意培养学生 严谨、认真、实事求是的科学态度和作风。
加法法则是通过实例归纳总结出来的，在这个过程中要注意 培养学生由特殊到一般和由一般到
特殊看问题的思维方式，注意渗透辩证唯物主义观点。
由此可见，这节课同时具备智力价值、思想教育价值和应用价值。
三、教学目标的陈述
1．掌握有理数加法法则：
(1) 能准确叙述有理数加法法则，并知道哪哪些问题是属于有理数的加法。
(2) 能按法则把有理数的加法分解成两个步骤完成：① 确定符号；② 确定绝对值。
(3) 熟练、准确地利用加法法则进行计算。
2．理解有理数加法法则导出过程及本身所含的数学思想方法。
（1）能解释数形结合和分类的思想；
（2）能懂得初步的算法思想；
（3）学会“观察——归纳”的思维方法。
3．初步感受从特殊到一般和从一般到特殊的思维 方式；体验用矛盾转化的观点认认识问题；
培养严谨、认真、理论联系实际的科学态度和学风。

（蒋永晶、刘长华、王书臣：《数学新课程教学设计》，辽宁师范大学出版社，2002年， 第47
页~第49页。）

活动与运用:
1. 为什么要进行教学目标的设计?
2. 编制每节课的教学目标时，依据或原则是什么？
3. 选取一个单元或课时，作教学目标的设计，并且进行讨论。
4. 试就“球的体积”一节课进行教学目标的设计。


单元四 数学教学过程的设计

每一节课的教学过程都是由具体的、生动活泼的教学活动组成的。 因而，完成了上述方面的教
学设计之后，就应着手安排具体的教学活动。具体教学过程的设计，是课堂教 学中直接操作的部分，
应该按照具体的教学模式来进行富有创造性的设计，同时，应对教学活动进行设计 ，它主要包括：
导入设计、教学情境设计、提问设计、练习设计、讨论设计和小结设计。
1. 学习目标：
 掌握教学过程设计的要点；
 对具体的教学内容进行教学过程的设计，
 针对学生的实际情况，进行教学活动的设计，包括导入设计、教学情境设计、提问设计、
练 习设计、讨论设计和小结设计。
2. 学习内容：

主题一 数学教学过程的基本模式

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主题二 数学教学过程中活动的设计

3. 单元课时：
本单元的学习需要8个学时。
4. 学习材料:
 笔记本
 数学教科书
 义务教育阶段以及普通高中数学课程标准

主题1 数学教学过程的基本模式
教学模式就是在一定的教学思想指导下，围绕着教学活动中的某一主题，形成的相对稳定的、
系统化和理 论化的教学范型。或者说，教学模式是根据一定的教学目标，在一定教学理论的指导下
所设计的教学过程 的结构及其相应的教学策略、教学方式。 它既是教学基础理论的具体化，也是
教学具体经验的概括化。 教学模式对教学的理论和实践都有指导作用：能以结合具体的教学实践的
简化形式表述一种教学理论或思 想，便于教师掌握，并能具体应用于自己的教学中。同时，能帮助
教师预见教学活动所预期的效果，提供 给教师达到预期教育目标所需的各种教学条件和实施教学的
程序，指导教师开展教学活动，使得教学要素 充分发挥等。所以，教学模式的核心是教学思想指导
下的教学过程（主要是教学程序）。

活动4.1 剖析教学过程案例
目标
通过剖析具体教学过程案例，加深对数学教 学过程的理解；说出教学过程案例的一些特点，认真地思索和理解
教学过程设计的基本要求，掌握数学教 学过程设计的具体步骤。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 下面是人教版高中数学课本（第X页）中 “充要条件”的教学过程设计案例，请先仔细阅读，然后思考以
下问题：
（1）这节课的教学过程采用了哪种教学模式？
（2）请总结这种教学模式的功能目标、教学结构及特点.
2. 在小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上.
3. 由小组发言人汇报本 组对上述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的见解和看法，
进行评论，以深化认 识.
案例1: 充 要 条 件
一、教学目标
1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念.
2. 能在判断中正确运用以上概念，并为今后用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基
础.
二、教学过程
（一）复习引入
师：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）；
（1）若
x1
，则
x1
；
（2）若
xy
，则
xy
；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若
ab0
，则
a0
；
（6）若方程
a xbxc0(a0)
有两个不等的实数解，则
b4ac0
.
（学生口答，教师板书）
生：（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题.
师：对于命题“ 若
p
，则
q
”，有时是真命题，有时是假命题。你是如何判断其真假的？ < br>生：看
p
能不能推出
q
，如果
p
能推出
q< br>，则原命题是真命题，否则就是假命题.

14
2
22
2
2

师：很好！对于命题“若
p
，则
q
”，如 果由
p
经过推理能推出
q
，也就是说，如果
p
成立，那么< br>q
一定成立。换句话说，只要有条件
p
就能充分地保证结论
q
的成立，这时我们称条件
p
是
q
成立的
充分条件，记作
p< br>
q
．
（二）讲授新课
（板书充分条件的定义）一般地，如果已知
p

q
，那么我们就说
p
是
q
成立的充分 条件.
师：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系.
生：（口答）
（1）“
x1
”是“
x1
”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程
ax bxc0(a0)
的有两个不等的实数解”是“
b4ac0
.”成立的充分 条件.
师：从另一个角度看，如果
p

q
成立，那么其逆否命题< br>
p


q
也成立，即如果没有
q
，也就没有
p
，亦即
q
是
p
成立的必须要有的条件，也就是 必要条件.
（板书必要条件的定义）
师：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
（学生口答）
（1）因 为
x1

x1
，所以
x1
是
x1
的充分条件，
x1
是
x1
的必要条件；
（2）因为
x y

xy
，所以
xy
是
xy
的必要条件，
xy
是
xy
的充分；
（3）因为“两三角形全等”

“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积
相等”的充分条件，“两三角 形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直”
< br>“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”
是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形 是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为
ab0

a0
，所以
ab0
是
a0
的必要条件，
a0是
ab0
的充分条件；
（6）因为“方程
axbxc0(a 0)
的有两个不等的实根”

“
b4ac0
”，而且“方程< br>2
222222
2
2
2
222
2
ax
2
bxc0(a0)
的有两个不等的实根”

“
b
2
4ac0
”，所以“方程
ax
2
bxc0(a0)
的有两个不等的实根”是“
b
2
4ac0
”充分条件，而且是必 要条件.
师：如果
p
是
q
的充分条件，
p
又是< br>q
的必要条件，则称
p
是
q
的充分必要条件，简称充要条件，
记作
p

q
．
（板书充要条件的定义）
（三）巩固新课
例1（用投影仪投影）

A B
A是B的什么条件






B是A的什么条件






y
是有理数
y
是实数
x

5
x

3
m
、
n
是奇数
ab

xA
且
xB

m
＋
n
是偶数
ab

xAB

ab0

a0


15

(x1)(y2)0

x1,y2





m
是4的倍数
m
是6的倍数
（学生活动，教师引导学生作出下面回答）
① 因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理 数，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要
非充分条件；
②
x
< br>5一定能推出
x

3，而
x

3不一定推出
x

5，所以A是B的充分非必要条件，B是A的
必要非充分条件；
③ < br>m
、
n
是奇数，那么
m
＋
n
一定是偶数；< br>m
＋
n
是偶数，
m
、
n
不一定都是奇数（可 能都为偶
数），所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；
④
a b
表示
ab
或
ab
，所以
ab
是
a b
成立的必要非充分条件；
⑤ 由交集的定义可知
xA
且
x B
是
xAB
成立的充要条件；
⑥ 由
ab0
知a0
且
b0
，所以
ab0
是
a0
成立 的充分非必要条件；
⑦ 由
(x1)(y2)0
知
x1
或
y2
，所以
(x1)(y2)0
是
x1,y2成立的必要非
充分条件；
⑧ 易知“
m
是4的倍数”是“
m
是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；
（通过对上述问题的交流、思辨，在争论中得到了正确答案，加深了对充分条件、必要条件的认识.）
例2 已知

是

的充要条件，S是

的必要条件 同时又是

的充分条件，试判断

与

的关系.
（ 投影）
师：请同学们把解答写在投影片上.
（师巡视后，选错误及正确的解答展示，最后把正确的解答定格.）
解：由已知得



S

，
所以

是

的充分条件，或

是

的必要条件.
(四) 课堂练习
课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第35页 练习1、2；第36页 练习1、2.
（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评.）
（五）小结回授
师：今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.
（六）布置作业
第36页, 习题1.8 1、2、3.
（改编自肖柏荣：高中数学典型课示例. 人民教育出版社，2001年6月第1版.第页--第页.）

活动4.2 剖析教学过程案例
目标
通过剖析具体教学过程案例，加深对数学教学过程的理解；说出教学 过程案例的一些特点，认真地思索和理解
教学过程设计的基本要求，掌握数学教学过程设计的具体步骤。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 下面是人教版高中数学课本（第X页）中 “两角和与差的余弦公式”的教学过程设计案例，请先仔细阅读，
然后思考以下问题：
（1）这节课的教学过程采用了哪种教学模式？
（2）请总结这种教学模式的功能目标、教学结构及特点.
2. 在小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上.
3. 由小组发言人汇报本 组对上述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的见解和看法，
进行评论，以深化认 识.

案例2： 两角和与差的余弦公式

16

一、课型：新授课.
二、教学目标:
引导学生经历探索两角和的余弦公式的过程，培养学生主动参与探究数学的意识和能力；
使学生 掌握两角和与差的余弦公式，并能应用公式解决一些较简单的问题.
三、教学重点和难点
教学重点：两角和与差的余弦公式的形式及其应用.
教学难点：两角和与差的余弦公式的得来过程.
四、教学方法：启发引导、探索发现法.
五、教学过程：
1．创设问题情境
前面我们学习了任意角的三角函数，也知道了一些特殊角的三角函数值，如：
123
,sin45

,sin60

,sin90

1；
222
221
cos0

1,cos30

, cos45

,cos60

,cos90

0.< br>
222
0
但如果要求
cos15
，应该怎样进行？
sin0

0,sin30


2、尝试阶段
学生思考、讨论、归纳得出方法一：查数学用表，得出
15
的三角函数值.
教师启发性提问——能否用我们已经学过的特殊角进行转化呢？
学生转化得到方法二：进行转化，用我们以前学过的特殊角进行代换.因为
0
15

45

30

，所以
cos15< br>
cos(45

30

)
.
教师启 发性提问——
cos15
与
cos45
和
cos30
有无联 系？（能否用其表示）
000
cos（45

30

） cos45

cos30


部分学生猜想——
教师进 一步启发性提问——以上猜想是否正确？能否得到一般结论：
23

22
2 3
2
.
cos(



)cos

-cos

？
教师引导学生思考讨论——检验
cos15cos45cos30
是否正确. < br>可采用的方法很多，较好的一种选择是教师先引导，学生再判断，进而得出结论：

cos(



)cos

-cos

.
由特殊到一般：
cos(



)cos

-cos

.
3．探索阶段
提出问题：怎样利用化归思想将< br>
＋

的三角函数表示成

和

的三角函数 .
分析问题：学生已经有了处理任意角的三角函数问题的方法，如诱导公式的推导，在研究同角
三角函数和诱导公式的时候，经常采用直角坐标系中的单位圆及三角函数线。要寻找

＋
的三角
函数与

和

的三角函数的关系，不妨从单位 圆开始。
在教师的启发和学生的合作下，在直角坐标系中画出
单位圆，并作出角

和

，如图1所示，这样角

＋

也出现了，由单 位圆的特殊功能可以直接得出角

、

＋

起始边和终边与 单位圆交点的坐标：

1
(1,0)
；

2
(co s

,sin

)
；

3
(cos(


),sin(



))
.
现在问题的关键是建立
cos(



)
的等式， 如何将点

1
、

2
的坐标联系起来，似乎很难找到这样的 等量关系.
在△
OP
1
P
2
中应用余弦定理可以建立一个 等式，但目

17

前学生还没有学过余弦定理，因此只能另找解决方法.
教师引导：图1中出现 了角

和角

＋

的正余弦，但现在的关键是角

的正余弦还未能体
现出来.
在这样的启发和引导下，学生自然想到，需要将角

在图中体现出来，于是以
OP
1
为始边作角

，终边与 单位圆交点为
P
4
(cos

,sin

)
，得到图2.
教师进一步启发，现在需要建立起包含
cos(



)
的等量关系.
因为图2中

1
、

2
、

3
、

4
的坐标可以用角
、

、

＋

的正余弦表示，所以要建立角

、
自然联系到

1
、

2
、
< br>3
、

4
.

、

＋
< br>的正余弦之间的关系，
只需建立

1
、

2
、

3
、

4
四点之间的关系，此时很容易发现
P
1
P
4
P
2
P
3
，再将
1
、

2
、

3
、

4四点的坐标用角

、

、

＋

的正 余弦形式代入，就有：

(cos

1)
2
sin
2
[cos(



)cos

]
2
[sin(



)sin

]
2

co

sco

s(

)co

ssi

n(

)si

n

此时，探讨过程出现了疑惑：以上推导好像得不到
cos(



)
的表达式。此路似乎不通，通常
化简得
学生在这种情况下就 会望而止步，甚至放弃之前的一切工作，重新回到起点。但科学的道路是需要
坚持、回顾与反思的. < br>教师进一步引导：上式得不到
cos(



)
的表 达式，但同学们仔细观察等式的形式，可以发现
cos

可以用角

和角

＋

的正余弦表示。角

能否用角

和角

＋

表示？
显然，

＝（

＋

）－

，上式又可以写成
cos

cos[(



)

]cos(



)cos

sin(



)s in


结合上式左端的形式，令

＋

＝

，则有


cos(



)cos

cos

sin

sin

. 将

用－

代换可得到


可知角
和角

也是任意的，
cos(



)co s

cos

sin

sin

. 由角

和角

的任意性，
这样便得到了两角和的余弦公式.
4．反思阶段
在得到图1后，为了将角

的正余弦在图中体现出来，我们直 接作出了角

，但在推导过程中
遇到了障碍。反思一下，最终目的是要寻找
c os

、
sin

.能否作其他的角，使它能用角

及角－

有关的正余弦表示呢？
启发学生利用诱导公式，很容易联想到角－

和角

进行转化，从而作出终边为
OP
4
的角－

，其中
P
4
(cos

,sin(

))
，这样得到图3.
有了以上关于

4
的处理经验，学生很容 易发现在图3
中
P
1
P
3
P
2
P
4
.于是有：

[cos(



)1]< br>2
sin(



)
2
[cos(< br>
)cos

]
2
[sin(

) sin

]
2

化

简整理得：
18

22cos(



)22(co s

cos

sin

sin

)，所以
cos(



)
＝
cos

cos

sin

sin


这一式 子充分说明了两角和的余弦
cos(



)
与角

、

的三角函数
cos

、
cos
< br>、
sin

、



)
＝
cos

cos

sin

sin

.
sin

的关系.即两角和的余弦公式
cos(
这个公式对于任意的 角

、

都成立。但要注意
cos(



)
是两角

与

和的余弦，它表示
角（

＋

）终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比.
这种方法是教 材给出的推导两角和与差的余弦公式的方法，但如果一开始就向学生传授这种方
法，学生很难理解为什么 要“以
OP
，有了常规想法作

后，再给出教材的推导
1
为 始边作角－

”
过程，让学生经历知识的建构过程，更能体现学生学习的主体性，培养 学生的探究意识和探索能力.
5．拓展阶段
即知识的再应用，这个阶段包括
cos (



)
＝
cos

cos

sin

sin

形式的分析和总结，
以及通过代换得到
cos(



)
＝
cos

c os

sin

sin

，本文着重分析两角和与差的余 弦公式
的推导过程，体现知识的建构和形成过程。因此对于公式的扩充和应用只能作简单介绍.
6．小结
概述两角和与差的余弦公式的内容及其形式，归纳公式推导的基本思想。布置本节课 的课内课
外作业.
（涂荣豹、王光明、宁连华：《新编数学教学论》，华东师范大学出版社， 2006年9月第1版，
第218页~第221页.）

主题2 数学教学活动的设计
选择数学教学模式、设计课堂教学过程，这些对于数学课堂教学设计来说，是整体 的设计。在
完成整堂课的总体设计以后，还必须对数学教学过程中的每一个阶段、每一项具体教学活动进 行设
计。如导入设计、情境设计、提问设计、练习设计和小结设计等。下面我们分别加以说明。

一、 导入设计
1. 导入概述
导入是在新的教学内容或教学活动开始 前，引导学生进入学习状态的教学行为方式。它是课堂
教学的序幕，也是课堂教学的重要环节。 它的功能主要表现在以下几个方面：
① 引起学生注意，使学生进入学习情境；② 激发学习兴趣和学习动机；③ 明确学习目的，
调动学生学习的积极性；④ 建立知识之间相互联系，为学习新的内容作好准备。
2. 导入的方法
数学课的导入方法 多种多样，在进行课堂教学设计时，要根据教学的目标和内容灵活运用，常
用的导入方法有以下几种：
（1）实例导入。由于数学在生产和生活实际中有广泛的应用，很多数学概念、定理、公式和
法 则都来自于实践，与日常生产和生活有密切的联系，因此可以选取一些生动形象的实际例子来引
入数学知 识，既可以激发学生学习兴趣和学习动机，又符合学生从实践到理论、从感性知识到理性
知识的认识规律 。
（2）直观导入。在学习新课题之前，先让学生观察实物、标本、模型、图表、幻灯、投影或
电影录像等，引起学生的兴趣，学生通过直观形象演示操作，感知数学知识，从而导入新课。
（3） 实验导入。教师设计一些带有启发性、趣味性的实验，通过演示或让学生动手进行操作，
揭示事物的发生 、发展过程，或发现数学的结论，由此导入课题。这种导入方法，既可以激发学生
的思维活动，又可以活 跃课堂的气氛，产生很好的教学效果。
（4）旧知识导入。这是常用的导入方法。在学习新知识前，先 复习旧知识，在旧知识的基础
上，引导学生提出问题、发现问题，从已知的领域进入未知的境界，从而引 入新知识。
（5）悬念导入。悬念导入是利用一些暂时悬而未决的问题，与学生已有观念造成的认知冲 突
来导入新课的方法。这种导入方法使学生置身于认知矛盾之中，激起他们解决矛盾的强烈愿望，促使他们积极主动地学习新的数学知识。
（6）类比导入。类比导入是通过比较两个数学对象的共同 属性来引入新课的方法。已知的数
学对象比较熟悉，新的数学对象通过与已知的数学对象类比，引入就比 较自然。

19

（7）故事导入。中学生都爱听有趣的故事，在数 学发展历史中有许多动人的故事，通过讲故
事导入，可以使学生对所学内容产生浓厚的兴趣，激起强烈的 求知欲望。而且很多数学故事还蕴含
着数学思想方法，对培养数学意识、数学观念很有好处，同时又可以 对学生进行思想品德教育，培
养学生爱国主义精神。
二、教学情境设计
1. 教学情境概述
教学情境是一种特殊的教学环境，是教师为了发展学生的心理机能，通过调动“情商”来 增强
教学效果创设的教学环境，也是创造出师生情感、欲望、求知探索精神的高度统一、融洽和步调一< br>致的情绪氛围。建构主义学习理论认为：学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系，
在实际情境下进行学习，可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。这样获取的知
识， 不但便于保持，而且容易迁移到新的问题情境中去。创设教学情境，不仅可以使学生容易掌握
数学知识和 技能，而且可以“以境生情”，可以使学生更好地体验教学内容中的情感，使原来枯燥
的、抽象的数学知 识变得生动形象、饶有兴味，并且受到思想品德教育。
2. 教学情境的类型
教学情境的类型很多，在数学教学中应用较多的有以下几种：
（1）问题情境。 教师提出 具有一定概括性的问题，与学生已有的认知结构之间产生内部矛
盾冲突，学生单凭现有数学知识和技能暂 时无法解决，于是激起学生的求知欲望，形成一种教学情
境。在教师的指导下，学生通过探索和研究解决 问题。
（2）故事情境。教师通过讲数学知识发现的故事、有关数学家的故事创设教学情境，激发学< br>生学习数学的求知欲望，使学生在听故事的过程中学习数学知识，接受思想教育。
（3）活动情 境。教师通过组织学生进行与数学知识有关的活动，构建教学情境，让学生在活
动中提高学习数学的兴趣 ，掌握数学的知识。
（4）实验情境。有些数学教学内容比较抽象，学生不容易理解，教师设计与教学 内容有关的
实验，让学生通过观察和动手操作，在实验的情境中提高分析和解决数学问题的能力。 （5）竞争情境。教师设计一些数学问题，将学生分成小组，创设小组之间进行比赛的情境，
让学生 之间开展竞争，比准确、比速度、比技巧。
3. 数学问题情境的设计
数学问题情境设计的方法很多，这里介绍常用的几种。
（1）通过提出与新知识有关的实际问题，设置 问题情境。教材中有些定理和公式往往直接提
出，学生不知道为什么要学，而且也比较抽象不容易理解。 这时教师可以设计一些与它们有关的实
际问题构建教学情境，使抽象的内容具体化，使数学理论结合生活 和生产实际。学生在解决实际问
题的过程中学到了学生在解决实际问题的过程中学到了新的数学知识。
（2）通过从前面结论进一步引出没有解决的问题，设置问题情境。在学生掌握了某些数学知
识 的基础上，进一步提出更深入的问题让学生探索和研究，使学生经常处于“愤悱”的状态。
（3）通过 实验设置问题情境。当学生的原有认知结构中已经具有学习新知识的预备知识，但
新旧知识之间的逻辑联 系还不容易被学生发现时，教师可以通过具体实验设置问题情境，让学生通
过观察、画图、动手操作等实 践活动，探索规律、提出猜想，然后通过逻辑论证得到定理和公式。
（4）从同一问题通过不同推理和运算，产生形式上不同的结果，设置问题情境。
（5）从学 生练习中发生的错误，设置问题情境。由于学生原有认知结构与新知识之间产生矛
盾，因此练习中经常会 产生各种错误，可以以此为抓手，设置问题情境。
三、 提问设计
1. 提问概述
提问是教师根据教学内容的目的要求，以提出问题的形式，通过师生相互作用，检查学习、促
进思维、 巩固知识、运用知识实现教学目标的一种教学行为和方式。提问具有以下几种功能：（1）
激励参与；（ 2）学会思维；（3）检查反馈；（4）巩固强化。
2. 提问的类型
根据问题的认知水平可以将提问分为六类：
（1）回忆型提问。通过回忆以前学过的定 义、定理、公式和法则，回答教师要求记忆的内容，
让学生对已经学过的知识再现和确认。这种问题常常 是本堂课新授内容的基础和预备知识，与新知
识有密切的联系，为学习新知识提供条件。

20

（2）理解型提问。这种提问要求学生对已知信息进行内化处理后 ，能用自己的话对数学知识进
行表述、解释和组合，对所学的概念、定理等进行比较，揭示其本质区别。
（3）运用型提问。设置一个新的简单的问题情境，让学生运用新获得的知识结合过去学过的知
识解决新的问题，这种提问称为运用型提问。这样的提问往往在学习新的概念、定理、公式和法则
后进行 。
（4）分析型提问。这种提问要求学生把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单事物，分清条件与结论，找出条件和结论之间的因果关系。
（5）综合型提问。把事物的各个部分、各个 方面、各种要素、各个阶段联结成整体，找出其相
互联系和规律的提问。
（6）评价型提问。 要求学生通过分析、讨论、评论、优选解法，对事物进行比较、判断和评价
的提问。例如让学生判断和评 价其他学生不同观点和不同解法的对错和优劣，并讲出理由。
四、 练习设计
1. 练习概述
数学练习是一种有目的、有组织、有指导的数学学习实践活动，是学生将所学的数学知识转化
为数学技能、技巧，形成数学能力的重要途径和手段。通过练习可以使学生从不会到会，从不熟练
到熟练。数学练习有以下几项功能：
（1）使学生进一步加深理解和掌握数学知识和技能；（2） 提高学生的数学思维能力和分析问
题解决问题的能力；（3） 促进知识的迁移，提高学生的数学应用能力；（4） 有助于及时反馈信息，
让教师了解学生学习的情况，检查教学效果，及时纠正学生的错误。
2. 练习的类型
根据练习在数学课堂教学中的作用，可以分为以下几种类型：
（ 1）准备性练习。为了引入新课，学习数学新知识，需要通过练习复习原有的数学知识。这
种练习是新旧 数学知识之间的桥梁，既为新知识作铺垫，又能激发学生求知欲望。
（2）理解性练习。在数学概念教 学中，为了使学生正确理解概念，往往设计一些练习让学生
进行辨析。
（3） 巩固性练习 。在学习数学概念、定理和公式后设计一些与它们直接相关，且与例题相
仿的题目让学生练习，通过练习 巩固所学的数学知识和技能。
（4） 运用性练习。这是一种在学生初步理解数学知识的基础上，让他 们在新的情境中运用新
知识的练习。通过这种练习，使学生能运用所学的知识解决有关的问题。
（5） 形成性练习。是指为了及时反馈教学效果，检查教学目标是否达到而编制的一组练习。
（6） 综合性练习。为了提高学生综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，常常设计一些
代数、几何、三角的综合题让学生进行练习。
（7） 创造性练习。是指为了培养学生的创新精神而设 计的练习，这些练习要求学生不模仿教
师的讲解和教材的例题，提出新的构思和看法。这类练习很多是开 放性的问题，没有唯一的答案。
五、 讨论设计
1. 讨论概述
讨论是教师和 学生、学生和学生之间的一种互动方式，通过相互交流观点，形成对某一个问题
的较为一致的理解、评价 或判断。在讨论的过程中，各人发表自己的看法，对问题的结论进行修改、
补充和纠正，使它更加准确、 合理和完善。与此同时，教师和学生可以获得同一知识不同侧面理解
的信息，可以使学生更深刻地理解数 学知识。讨论有以下几种功能：
（1） 培养批判性思维的能力。讨论要求学生能充分发表自己的观点 ，并且学会用事实、概念、
原理通过逻辑推理，论证自己观点的正确性。与此同时，还要发现和提出其他 学生有关论点、论据
和论证过程中的错误，通过交流取得共同的认识。在讨论的过程中，学生的批判性思 维的能力得到
充分的培养。
（2） 激发学生学习的主动性和积极性。在讨论的过程中，学生 要发表自己的意见，提出自己
的观点，说出与别人不同的看法，与其他学生争论，就需要对问题进行认真 深入的思考，并且用清
晰的语言表达出来。这样学生的主体作用能得到充分的发挥，学生的主动性和积极 性也能得到充分
的调动。
（3） 培养数学交流能力。通过讨论实现数学交流，使学生能把自 己对数学知识的理解、对数
学问题解法的思考，通过数学语言表达出来，并且能接受教师和其他学生的看 法，相互沟通，从而

21

提高数学交流的能力。
（4） 相互启发共同提高。由于同一班级或小组的学生年龄基本相同，学习基础和认知水平也
差不多，相互之间 容易沟通。通过讨论可以相互启发，取长补短，促进学生的认知能力向更高的阶
段发展。
2. 讨论时问题的设计
数学课的讨论有师生之间的讨论、学生之间的讨论，有全班的讨论，也有小组讨论或 同桌两人
的讨论。不论哪一种讨论，在讨论前教师都要确定并准确地表述有待讨论的问题。一般来说，可 以
这样来设计讨论的问题：
（1） 选择一些容易混淆的数学概念，看来似是而非的问题，让学生通过讨论澄清错误的理解，
达到深刻的认识
（2） 选择一些答案不唯一、解法不唯一的数学问题，让学生发表不同的意见，提出各种不同
的解法，相互比较，开拓思路。
（3） 选择一些可能产生争议的问题，让学生争论和辩论，激发学生 搜集新的信息，重新调整
自己的思维方式，提出各种不同的观点，并且反驳对方的论点和论据，通过争论 增进学生对问题的
理解。
（4） 选择一些具有思维深度的问题，需要通过抽象、概括、分析 和综合才能解决的问题，让
学生通过讨论，发挥集体智慧，使问题得到解决。
六、 小结设计
1. 小结概述
小结是在完成一个教学内容或活动时，对内容进行归纳总结，使学生对所学 知识形成系统，从
而巩固和掌握教学内容的教学行为方式。小结是课堂教学的重要组成部分，它可以起到 对教学内容
画龙 点睛、提炼升华、延伸拓展的作用。一般来说，小结具有以下几项功能：
（1） 系统整理，形成结构。通过小结将所学的数学概念、定理、 公式和法则等进行系统的
整理、归纳，沟通各种知识之间的相互联 系，使之条理化、结构化和系统化，便于巩固和记忆。
（2） 突出重点，强化注意。通过小结使学生进一步明确教学的 重点、难点和关键，掌握运
用数学概念、定理、公式和法则时要注意的 条件和范围。
（3） 深化知识，提高素养。在小结数学知识和解题方法的基础上，使学生对数学思想方法认
识升华，进一步提 高数学素养。
（4） 启发思考，引导探索。在小结时可以提出一些有深度的问题，让学生进一步思考 ，课后
进行探索，提高学生探究问题的能力。
2. 小结的方式
小结的方式很多，下面介绍常用的几种：
（1） 归纳式。这是最常用的小结方式，对一节课 的主要内容进行系统的归纳，总结解题方法、
主要步骤和注意事项。
（2） 比较式。对 数学概念、性质、定理和公式等进行比较，比较它们的相同点和不同点，加
深和扩展学生对数学知识的理 解。
（3） 规律式。对定理公式的规律、解题的方法和步骤进行小结。
（4） 问题式。通过设计一系列问题让学生回答进行小结，并在此基础上，提出问题让学生课
后思考。
（5） 提升式。不仅总结数学知识，而且从认识事物的本质、研究问题的方法的角度，对教学
内容进行提升。从数学思想方法的高度对本节课的内容进行小结。

活动4.3 剖析教学过程案例
目标
通过剖析具体教学过程案例，加深对数学教学过程的理解；说出教学 过程案例的一些特点，认真地思索和理解
教学过程设计的基本要求，掌握数学教学过程设计的具体步骤。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 下面是人教版高中数学课本（第X页）中 “等比数列的前Ｎ项和”的教学过程设计案例，请先仔细阅读，
然后思考以下问题：
（1）这节课的教学过程设计了哪些教学活动？

22

（2）这些教学活动的设计具有哪些特点?
（3）每个活动的设计意图体现在哪些方面？
2. 在小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上.
3. 由小组发言人汇报本 组对上述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的见解和看法，
进行评论，以深化认 识.

案例3： 等比数列的前Ｎ项和

一、教学目标：
1．掌握等比数列的前n项和公式及其推导思想和过程，会用等比数列求和公 式进行计算，解
决相关问题；
2．通过实际问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲；通过 引导学生探究等比数列的前n
项和公式，让学生感受如何去分析问题、解决问题，提高学生的综合能力； 培养学生的归纳、分类
讨论、知识迁移的能力；
3．利用教材中我国古代有关数列的历史故事 ，培养学生的民族自豪感，体会数学的文化价值，
培养学生的数学素养。
二、重点和难点：
重点：等比数列的前n项和公式，及其应用。
难点：等比数列的前n项和公式的推导。
三、教学过程：
（一） 引入新课
讨论问题：
［问题1］国际象棋起源于印度，据说国王舍罕为了奖赏发明者西萨·班·达依尔（Sissa Ben
Dahir）,让他提出一个要求，于是这位聪明的发明者说：“尊敬的陛下，请在棋盘的第1格里放上 1
颗麦粒，在第2个格里放上2颗麦粒，在第3格里放上4颗麦粒，以此类推，每一格里放的麦粒数是前一格里放的麦粒数的2倍，直至64格，请陛下把这些麦子赏给您的仆人吧。”国王觉得这事不
难，就欣然同意了。请问：国王能办到吗？
［问题2］我有一部手机，我用1分钟的时间把一条短信传 给三个人，这三个人又用1分钟
的时间又分别传给另外三个人，以此类推传下去，请问：10分钟后有多 少人知道了这条短信？
师生活动： 教师：对学生分小组讨论上面的问题。
学生：合作交 流，给出解决问题的思路。［问题1］中，每个格子里的麦粒数构成一个等比数
列：
1,2,2 ,2,,2
，于是国王要给的麦粒总数为：
12222
；［问题2］中 ，接
受到手机短信的人数构成一个等比数列:
1,3,3,3,,3
,于是知道短信 的总人数为：
2310
2363
2363
133
2
3
3
3
10
.
教师：提问：如何求和呢？
学生：议论纷纷：如果能够知道等比数列求和公式就好办了。
教师：为解决这个问题，就需要研究一般等比数列的前n项和公式，引出课题。
（二）探究结论
1．等比数列

a
n

的首项是
a
1
，公比为
q
，如何求其前
n
项和？
师生活动：
教师：引导学生从整体、全局思考、考察发现规律。分析等比数列的前
n
项每一项和前一项
的关系，探索求和公式。
a
2
a
1
q
；
a
3
a
2
q
；
a
4
a
3
q
； „„；
a
n1
a
n2
q
；
a
n
a
n1
q

学生：思考后回答，将这n1
个式子两边分别相加，得：
a
2
a
3
a4
a
n
(a
1
a
2
a
3
a
n1
)q
， 所以
S
n
a
1
(S
n
a
n
)q

整理得：
(1 q)S
n
a
1
a
n
q
，提出问题：能不能直接 求
S
n
.
教师：提示：要求
S
n
，考虑
q
需不需要讨论?

23

a
1
a
n
q
a
1
(1q
n
)
学生：分
q1
和
q1
两 种情况，当
q1
时，
S
n

；当
q1
时，

1q1q
S
n
na
1

q 1

na
1

n
∴等比数列的前
n
项和公 式为
S
n


a
1
(1q)

q1


1q
教师:总结：在推导等比数列前
n
项和公 式时，用的是累加法；并且在推导过程中需要分类
讨论，分类讨论的方法是数学问题中一种常用的方法， 但讨论时一定要把握好标准。
2．利用求和公式，计算［问题1］象棋盘上的麦粒总数
12 2
2
2
3
2
63
.
师生活动： 学生：计算麦粒问题：
a
1
1
，
q2
，
n 64
，总数
S
64
1(12
64
)
2< br>64
11.8410
19
.
12
教师：按千粒麦粒的质量为40克计算棋盘上放的麦粒质量，会发现什么问题？
学生：计算：麦粒总质量超过7000亿吨。连呼不可思议。
教师：数学来不得半点马虎，需要用一种严谨的态度对待。
2363
3．考虑用其他 的方法求和
S
64

12222
，并推广到一般的等比 数列求和。
师生活动：
2363
教师：考虑讨论：用其他的方法求和
S< br>64

12222
.
236364
学生：思考 、交流。可以把上式两边都乘以2，则2
S
64

22222< br>
然后让两式相减得到
S
64

2
64
1
，得到一样的结果。
教师：这种求解思路能不能推广到一般的等比数列求和？
学生 ：完全可以。一般的等比数列前
n
项和：
S
n
a
1
a
2
a
3
a
n
a
1
a< br>1
qa
1
q
2
a
1
q
n 1

两边同乘
q
，得：
qS
n
a
1qa
1
qa
1
q

两式相减，得：
( 1q)S
n
a
1
a
n
q

下面的过程就类似前面的第一种方法。
教师：归纳总结方法：错位相减法。并鼓励学生的这种探索精神。
4．我国古代思想家庄子在 他的著作“天下篇”中有这样一段论述：“一尺之棰，日取其半，
万世不竭。”怎样用学过的知识来说明 它？
师生活动：教师：把古语翻译成现代汉语。
学生：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完。
教师：引导学生化归等比数列问题。
学生：如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则是这样一个数列：
,
它的首项是首 项
a
1

2n
1111
,,,,

2 3n
2
222
11
，公比
q
，前的前
n
项和为
22
11
[1()
n
]
1
2
S
n

2
1()
n

1
2
1
2
教师：为什么一尺长的木棒永远也取不完？
学 生：
n
越大，
()
越小，所以
1()
总小于1，这说明一 尺长的木棒按上述方法永远也
1
2
n
1
2
n

24

取不完。
（三）讲解例题
例3、例4.
师生活动：教师：教科书P52例3。让学生思考如何求解
S
n
。
学生：观察、分析：要求
S
n
，需要根据条件由通项公式求出
a
1< br>。
师生：共同黑板上书写整个过程。总结：等比数列的前
n
项和公式及通项公 式涉及到5个量：
a
1
，
q
，
n
，
an
，
S
n
，已知其中的3个量就可以求出另外的2个量。
教师 ：教科书P53例4。引导学生思考：9,99,999，„不是等比数列，不能直接用公式，该
如何解 决？
学生：独立思考，交流观点：把数列转化成10－1,100－1,1000－1，„就可以解决了。
师生：共同在黑板上书写解题过程。
教师：归纳题目所体现的数学思想：化归转化的思想。
（四）课堂练习
（1）课本P53页A组第1题；（2）求数列
1
111
，
2
，
3
，„的前
n
项和；
48
2
（3）求和：0.5＋0.05＋0.005＋0.00„05
师生活动：
学生：独立解决。教师：巡视课堂，个别指导。师生：共同探讨答案。
（五）尝试小结
师生活动：
学生归纳总结，教师补充。小结如下：
< br>na
1

n
①等比数列的前
n
项和公式
S< br>n


a
1
(1q)


1q
②等比数列的前
n
项和公式的推导方法有两种

q1
q 1


累加法

错位相减法

③数学方法：分类讨论的数学方法
④数学思想：化归转化的数学思想
（六）布置作业
作业：教科书P54练习A第3题；习题A第1题；选做：教科书P54练习B第2题，第3题

（郑强、邱忠华主编：走进高中数学教学现场.首都师范大学出版社,2008年1月第1版 ,根据
其中济南九中李蕾的教案设计改编）


活动4.4 选择教学模式，设计教学活动：

对“算术平均数与几何平均数”一节课设计教学过程
目标
能够对具体的教学内容通 过选择恰当的教学模式精心地进行数学教学过程的设计，为课堂教学工作奠定基础。
通过亲身参与讨论、 合作进行一节课教学过程的设计，感受合作与交流对促进教学过程设计水平提高的作用。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具.
过程
1. 请仔细阅读人教版高中数学课本（第X页）中“算术平均数与几何平均数”的教学内容，并思考以下问题：
（1）这部分内容应该怎样选择数学教学模式从而设计相应的教学过程？
（2）在课堂教学中如何体现出来？
2. 组内就这些问题展开讨论，最后要形成一份教学过程设计方案.
3. 各小组的发言人汇报本组的教学过程设计方案，小组之间就方案进行研讨，进行评价.


25

活动与运用:
1. 试就“数列数列”一节课进行导入设计.
2. 试就“球的体积”一节课进行教学情境设计.
3. 选一课堂实例，分析教师在教学中运用了哪些提问方式。有何优缺点？可作何改进?
4. 试就“三垂线定理”一节课进行练习设计.
5. 在讨论过程中，教师的作用是什么？
6. 试就“二项式定理”一节课进行小结设计.



单元五 数学教学媒体的选择与设计

教学媒体的种类很多，有视觉媒体，如教科书、图片、板书、实 物、模型、幻灯和投影等；听
觉媒体，如广播、录音、唱片等；视听媒体，如电影、电视、录像、光盘等 ；交互媒体，如计算机
等。在数学教学中，数学教学媒体选择使用，是成功数学教学所必须的。而且随着 现代教学媒体的
发展尤其多媒体教学的发展，数学媒体为数学教学提供了更有利的手段，对于促进数学教 学具有非
常重要的意义。数学教学中合理恰当地选择、设计与运用数学教学媒体，是提高数学教学效果与 质
量的重要途径。
1. 学习目标：
 明确数学教学媒体的特点和功能以及恰当地使用数学教学媒体的意义；
 掌握数学教学媒体选择原则；
 针对具体的教学内容，从学生的实际情况出发，选择适用的数学教学媒体。
2. 学习内容：
主题1 教学媒体概述
主题2 数学教学媒体的选择与设计
3. 单元课时：
本单元的学习需要6个学时。
4. 学习材料:
 笔记本
 数学教科书
 义务教育阶段以及普通高中数学课程标准
主题1 教学媒体概述
一、教学媒体及类型
教学媒体是在教学过程中传递和储存教学信息的载体和工具。
根据教学媒体发展的时序可分为 传统媒体与现代媒体。传统教学媒体包括教科书、黑板、图片、
标本、模型和实物等；现代教学媒体包括 幻灯、投影、录音、录像、电影和计算机等多媒体设备。
根据学习者使用教学媒体的感官分为视觉媒体 ，如教科书、图片、板书、实物、模型、标本、
幻灯和投影等；听觉媒体，如广播、录音、唱片等；视听 媒体，如电影、电视、录像、光盘等；交
互媒体，如计算机等。
二、现代教学媒体的意义 < br>在数学教学传统的教学媒体如教科书、黑板、图片、标本、模型和实物虽然在使用，但教学媒
体及 其设计重点在现代教学媒体。现代教学媒体在教学中有很重要的作用，具体表现在以下几个方
面：
1. 有利于学生理解和掌握数学知识
2. 激发兴趣，强化学习动机
3. 启迪思维，促进思维发展
4. 增加信息密度，提高教学效率

26

5. 有利于调控教学过程，便于学习效果的检测

主题2 数学教学媒体的选择与设计
一、数学教学媒体选择的原则
如前所述教学媒体种类很多，有视 觉媒体，如教科书、图片、板书、实物、模型、幻灯和投影
等；听觉媒体，如广播、录音、唱片等；视听 媒体，如电影、电视、录像、光盘等；交互媒体，如
计算机等。不同的教学媒体有不同的特点，有不同的 作用。各种教学媒体都有自己的功能和局限，
必须选择适当的教学媒体才能取得较好的教学效果。教学媒 体的选择通常遵循以下几条原则：
1. 目标性；2. 针对性； 3. 功能性； 4. 可能性； 5. 适度性；6. 方向性。
二、数学教学媒体的设计
各种教学媒体有各自不同的设计方 法，下面重点介绍教学中常用的教学媒体板书、投影和计算
机辅助教学的设计。
1. 板书和投影的设计
板书和投影是教师在黑板上或用投影胶片上书写文字、符号、图表等传递教学信息的 教学行为
方式。由于数学教学内容符号化的特点，很多的数学定理、公式需要证明和推导，大量的数和式 需
要进行运算，还有许多几何图形需要绘制，因此板书和投影是数学教学的一种重要教学手段，也是数学教师教学的基本功。
（1）板书和投影的功能
① 增强语言效果，加深理解记忆。 板书和投影可以使学生从视觉获得信息，使视听刺激结合，
加强教学信息传递效果。听觉信息受到时间的 限制，有时教师的讲解学生没有听清或一时还不理解，
那么就会降低信息接受的程度。而板书和投影要滞 留一段时间，可以弥补听觉信息的不足，加深学
生的理解和记忆。
② 揭示知识结构，了解逻 辑联系。数学教学内容的结构体系，通过口头语言表达一般比较困
难，而通过精心设计的板书和投影来加 以表达，学生对于概念、定理、公式相互之间的逻辑联系就
会一目了然。
③ 形象生动直观， 激发学生兴趣。板书和投影既有文字，又有图形，还有色彩，生动直观，
有利于激发学生学习的兴趣。
④ 启发学生思维。设计好的板书和投影层次清楚，富有系统性，能使学生产生联想和类比，
有 利于启发学生思维，培养学生的分析和概括能力。
（2）板书和投影设计的原则
① 简明扼要，突出重点。必须概括地写出教学内容，提纲挈领，重点突出，以简练的文字表
示丰富的内容。
② 事前计划，合理布局。板书和投影要有计划，要事先设计好布局。哪些内容写在什么位置，
哪些内容要保留，哪些内容要去掉，都要做到心中有数。
③ 书写规范，示范性强。板书和投影字体要端正，笔顺要正确，数学符号、公式书写要规范，
画图要准确。
④ 形式多样，启发思维。要注意使用文字、表格、线条、图形等各种形式，再加上色彩，吸
引 学生的注意力，启发学生积极思维。
（3）板书和投影设计的形式
板书和投影通常有两类： 一类是教学内容的概括，称为主板书和主投影；另一类是定理、公式
的证明和推导过程，例题的解题过程 ，学生板演的解题过程等，称为副板书和副投影。在实际中常
常将板书和投影结合使用。这里我们主要介 绍主板书和主投影设计的形式。常用的有以下几种：
① 提纲式。这是数学教学最基本的板书和投影的 形式，以教学内容的逻辑关系为线索，用简
练的语言按一定层次写出知识要点。例如，相交线的性质可以 这样板书或投影：

27

主板书 副板书
一、平面上两条直线的位置关系
1. 定义
2. 性质
二、邻补角
1. 定义
2. 性质
三、对顶角
1. 定义
2. 性质


② 表格式。这种形式的板书或投影是将教学内容 用表格的形式表示出来，它特别适用于分类
和比较。常用的有两种形式：
1) 分类型。例如抛物线的性质可用分类的方法列表进行板书或投影。
2）比较型。例如将角和二面角的定义、图形等进行比较，从而列表进行板书或投影。
③图示 式。这种板书和投影形式运用适当的符号、线条、箭头和图形等来表达教学内容，它的
特点是条理清晰， 形象直观。
（4）板书和投影的结构布局设计
板书和投影的结构布局是板书和投影设计的 重要因素，优秀合理的结构布局不仅使板书和投
影的整体美观协调，而且使用效果也比较好。
① 板书和投影的位置和排列。板书和投影的位置和排列要注意突出重点、主次分明。根据视
觉 规律，人们在观看版面时，上部比下部容易引起注意，左边比右边引人注目。因此要将重点内容
安排在版 面的突出位置。特别是课题要写在黑板中间或左面顶上的位置，而且字体要大一些，主板
书一般写在黑板 的左边，副板书写在黑板的右边。在安排板书和投影的位置时还要注意运用对比的
方式，主要部分、关键 性的词语、容易产生错误之处用彩色粉笔书写，两种不同的内容进行比较，
用两种不同颜色的彩色粉笔书 写，以示区别。
② 板书和投影的出现和消除的次序。要注意板书和投影的出现和消除的次序，哪些内 容先出
现，哪些内容后出现，哪些内容要擦去，哪些内容要保留，都必须事先设计好。课题可在课开始时
书写，也可在课进行的过程中点出。例如，平方差公式可以板书如下：


平方差公式

一、引入 三、例题 四、练习
例1

二、公式 例2


例3

五、小结与作业


活动
5.1
设计教学媒体

目标
能够的具体的教学内容进行教学媒体的选择和设计。通 过亲身参与讨论、合作进行某一节课的教学媒体的分析，
感受合作与交流对促进教学媒体设计水平提高的 作用。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 仔细阅读人教版高中数学课本（第X页）中“双曲线”的教学内容，并思考以下问题：
（1）这部分内容应该怎样设计教学媒体？

28

（2）在课堂教学中如何体现出来？
2. 内就这些问题展开讨论，最后要形成一份教学媒体设计方案。
3. 小组的发言人汇报本组的教学媒体设计方案，小组之间就方案进行研讨，进行评价。

2. 计算机辅助教学课件的设计
计算机辅助教学（简称CAI）是将计算机的功能用于教学的一种教学形态 。在教学活动中，利
用计算机及其技术模拟教师的教学行为、传导教学信息、完成教学任务。计算机辅助 教学系统由硬
件、软件两部分组成。其中根据教学目标和教学内容，利用计算机工具软件、写作语言和写 作系统
编制而成的软件称为课件。
（1）计算机辅助教学的特点
① 交互性。计算 机辅助教学最突出的特点，是计算机和学生可以进行对话，计算机不仅能呈
现信息，提出问题，而且能接 受学生对指定问题的回答，并对回答作出判断和评价，提供反馈信息。
因此，计算机辅助教学有利于促进 学生有效地学习。
② 信息表达优化组合。计算机辅助教学把文字、图像、动画、影像、声音等多种媒 介信息集
成和综合，内容丰富、直观形象、生动活泼，有利于激发学生学习的兴趣，提高学生学习的主动 性
和积极性。
③ 有利于因材施教。计算机辅助教学课件是以学生为主体进行设计的，它可以 让学生按照自
己的要求进行学习，为实现以学生为中心的教学活动创造了环境。
（2）计算机辅助教学的基本模式
计算机辅助教学的基本模式是指利用计算机进行交互式教学活动的方式，通常有以下六种：
① 练习式。练习式是指通过反复练习而获得某种知识和技能。计算机向学生提出一系列问题，
要求学生回答 ，并给予学生及时反馈和强化。
② 辅导式。辅导式是指教师通过计算机和学生交互对话，辅导学生完 成某种教学目标。计算
机分析学生的反应，并给予适当反馈和强化。当学生出现错误时，还为学生提供补 习内容和方法。
③ 发现学习式。发现学习式是指将学生置于构造好的环境中，并提供探索、分析和掌 握新的
概念和原理的工具，让学生通过探索、猜想获得新知识。
④ 问题解决式。问题解决式是指通过计算机呈现的问题情境，让学生自己来解决问题。
⑤ 模拟式。模拟式是指用计算机来模仿真实的自然现象和社会现象。
⑥ 游戏式。游戏式是指围绕某个 教学内容，创造某种具有竞争性的潜在学习环境，通过游戏
的形式达到教学目标，可以起到“寓教于乐” 的作用。
（3）计算机辅助教学课件的类型
计算机辅助教学课件有各种不同的分类方法，按照课件的功能和结构可以分成以下几种类型：
① 程序型。程序型课件是把教学内容分成许多小单元，各单元按事先编制的程序依次呈现的
课件。
② 随机型。随机型课件的结构是由一个主程序和若干个子程序组成，其主程序阐述课件的教
学 目标、学习方法和教学项目，而子程序则具体呈现各种教学内容和教学策略。学生可以根据自己
的学习需 要选择课件上的教学内容，有利于发挥学生学习的主动性。
③ 生成型。生成型课件是利用某种数据结 构和算法，产生与学生知识水平相适应的多变数教
学内容的课件。它向学生提供的教学信息不是预先存储 的，而是在课件运行过程中自动生成的。
④ 智能型。智能型课件是使用智能计算机系统进行计算机辅 助教学的课件。它能实现学生和
计算机之间的自然对话：检测和理解学生犯错误的原因，并提出最佳补救 方案。
（4）计算机辅助教学课件设计的原则
① 阐明教学目标。在设计计算机辅助教学课 件时，必须清楚地阐明教学目标，使学生能掌握
重点，把注意力集中在指定行为的习得上。
② 针对学生实际。计算机辅助教学课件是为特定的对象设计的，不同的学生要设计不同的课
件，设计的课件 必须符合学生的实际水平，才能收到较好的效果。
③ 发挥交互作用。交互作用是计算机辅助教学区别 于其他单向教学媒体的最大优点，要认真
做好提问内容、询问方式、练习测试内容、应答内容、反馈内容 、辅导内容及交互界面的设计，使
课件具有良好的交互性能。
④ 提供多种反馈。对于提问的 回答、练习或测试的解答要根据不同的学生、不同的内容提供
多种形式的反馈。低年级学生可以通过生动 有趣的动画形式进行反馈，高年级学生可以通过简洁明

29

了的方 式进行反馈，简单的问题可以直接以答案的方式进行反馈，复杂的问题则需要阐明为什么这
样解答的理由 等等。
3. 计算机与数学教学的整合设计
多媒体教学设计，我们过去称之为“计算机辅助 教学设计”，它已成为课堂教学的发展趋势。
因为它是融图、文、声于一体的认知工具，它改变了传统的 认知环境，弥补了传统教学条件下的许
多不足。以计算机为核心的新教育技术的运用更新了教学手段、教 学方法、教学模式。它甚至导致
了数学教学内容、教育思想、教学理论、教育体制的变革。
设计课件要注意阐明教学目标，要针对学生的实际，充分发挥交互作用，提供多种反馈形式。
计算机辅助教学的设计是刚刚开始的新生事物，还很难说出一些条条框框。因此，我们仅举一
个例子来说 明一下CAI的设计，该课是初三平面几何“圆的概念”的一节课。（见案例1）
活动5.2 剖析教学媒体设计案例
目标
说出教学媒体设计案例的一些特点，加深对教学媒体的理解，领 会选择和设计的原则。通过剖析具体教学媒体
设计案例，加深对教学媒体的理解；可以帮助你认真地思索 数学教学媒体选择的基本要求，掌握具体教学媒体的设
计思路。从而使你能在教学设计中恰当地进行媒体 的选择和设计，为课堂教学工作创作条件。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 着下面的问题阅读案例1，并在笔记本上写下自己的看法。
（1）这节课的教学媒体设计有什么特点?
（2）这节课的教学媒体设计中，我们应该借鉴什么？
2. 小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上。
3. 小组发言人汇报本组对上 述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的见解和看法，进行
评论，以深化认识。
案例1： “圆的概念”的CAI设计

教师先利用教学网让学 生复习画定圆（已知圆心、半径）的过程：在屏幕上画出一个以（ａ、
ｂ）为圆心，Ｒ为半径的圆。然后 通过提问，请学生用所学的数学概念指出画法，并通过由教师操
作验证的方式在圆上作出下列图形： < br>（1）过圆上一点A作圆的一条切线AM。教师按学生回答（让图龟到达A点并转向与过A点的
半 径垂直，然后前进60，再后退120）操作即得所求的切线。
（2）过点A作圆的一条弦，使之与作 的切线成

角。这个问
B
题开始需使学生感到为难，“成

角”，这个问题好解决，只需让
M

图龟再前进60到达A点，然后转
角就行了，关键是让图龟再走
E
多远才刚好到圆周上，即弦长应如何计算？在教师的启发下 ，学

生自己在本子上画草图，在假设已画出来的图中（如图），过圆心


C
A
O
O作OE垂直弦AB于E，则根据圆的性质可知弦长AB=2AE， 而角
AOE等于弦AB所对圆心角的一半刚好等于弦切角

，则在直角三
角形 AOE中，
AEAOsin

，当教师按这一结果操作在屏幕
上果然画出 了所求的弦时，学生们显得格外高兴。
（3）连结BO，此时学生们积极思考，各提“连结”的方法。
有的提议用定位命令让图龟到达圆（ａ、ｂ）的；有主张用转角再前进的方法„„。教师按其中一
种方法操作，令图龟顺时针转角180-（90-

）后，再前进R，图龟刚好到圆心位置， 连线成功！
其余办法留给学生们自己去实践。
（4）做出以AB为一边的半圆上的圆周角。学 生又开始思考：一种办法是让图龟前进R回到B
点，再反时针转

角，即指向与AB垂 直，再按假设已画好的图求直角三角形ABC的直角边长
BC=AC·
cos

的算法，令图龟前进BC=2R
cos

即达到C点，再令其顺时针转180-
角，图龟即
指向圆心，只须令其再前进R，即可大功告成；另一种办法是让图像从圆心到 达C点，再连结CB。
当然算法与前一种又有所不同，留给学生自己去做。教师演示完毕后让学生自己实 践，要求画出同
样的图形，在学生操作过程中，教师通过教学网监视各人的操作情况，对完成得好的及时 将其结果
传送到各个屏幕，让大家观赏。
（毛永聪：《中学数学创新教法》，学苑出版社，1999年。）

30
0
00

活动与运用:
1. 现代教学媒体的优点表现在哪些方面？
2. 设计教学媒体应注意哪些问题？
3. 在数学教学设计中，计算机的功能是什么？
4. 如何处理计算机与传统教学媒体之间的关系？


单元六 数学教学设计方案的编写
数学教学设计方案（简称教案）既是数学教学设计的总结和书面的记录，又是数学课堂教学的
主 要依据。这是数学教学设计过程中的一个重要步骤，必须认真地把数学教学设计过程的每一阶段
所做的工 作，在方案中具体地反映出来。
1. 学习目标：
 明确编制数学教学设计方案的意义；
 掌握数学教学设计方案的书写格式；
 针对具体教学内容和学生的实际情况，编制出切实可行的数学教学设计方案。
2. 学习内容：
主题一 数学教学设计方案的内容和格式
主题二 数学教学设计方案示例
3. 单元课时：
本单元的学习需要6个学时。
4. 学习材料:
 笔记本
 数学教科书
 义务教育阶段以及普通高中数学课程标准
主题一 数学教学设计方案的内容和格式
在完成上面一系列数学教学设计工作的基础上，接着编制数学教学设计 的方案（以下简称教
案）。数学教案既是数学教学设计的总结和书面的记录，又是数学课堂教学的主要依 据。这是数学
教学设计过程中的一个重要步骤，必须认真地把数学教学设计过程的每一阶段所做的工作， 在方案
中具体地反映出来。
根据数学教学设计的过程，数学教案应该包括以下几项内容：
一、课型
根据教学内容的特点和要求，确定相应的课型。
二、教学目标
根据不同的教学内容和要求达到的水平，明确地写出本课时的教学目标。
三、教学重点和难点
在教学内容分析的基础上，写出本课时的教学重点和难点。
四、教学方法
根据教学内容以及学生的学习现状，选择合适的教学方法。
五、教学媒体
根据教学内容选择恰当的教学媒体。
六、教学过程
根据教学设计的结果具体地写出教学过程。
七、教学反思
教师在课堂教学结束后写出自己的体会、经验、教训、认识以及对这一堂课的评价。
不同的教 师、不同的课可以有不同的数学教案的形式，根据上面所说的数学教案的内容，下面
介绍一种既符合数学 教学设计要求，又比较实用的数学教案格式。




31

数学教学设计方案
课题：------------------------------- 时间：----- 年 ---- 月 ----

一、课型
二、教学目标
三、教学重点和难点
四、教学方法
五、教学媒体
六、教学过程
七、教学反思

主题二 数学教学设计方案示例
下面通过具体例子说明数学教案的格式。

课题：一元二次不等式的解法 （1） 时间：----- 年 ---- 月 ----日
（普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修） [M]．北京：人民教育出版社，2004．85-89．）
一、课型 ：新授课
二、教学目标
1．理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系；初步掌握一 元二次不等式的
基本解法。
2．通过探究活动，培养学生观察、分析、综合能力；提高学生运 用数形结合等数学思想解决
数学问题的能力。
3．通过探究过程，培养学生的独立与合作意识，让学生去体验成功，感受学习数学的快乐。
三、教学重点及难点
教学重点：一元二次不等式的解法。
教学难点：一元二次方程 、二次函数和一元二次不等式的内在本质联系，一元二次不等式解集
的确定。
四、教学方法：引导探究法
五、教学媒体：幻灯片
六、教学过程
（一） 创设情境、回顾旧知
教师提出问题：
1.一次函数
yaxb
（
a0
）的图象是什么？
2.二次函数
yaxbxc
（
a0
）的图象是什么？
学生回答：
1.一次函数
yaxb
（
a0
）的图象是一条直线;
2.二次函数
yaxbxc
（
a0
）的图象是一条抛物线。
【探究1】
实施过程：教师提出问题：如何作出一次函数
y3x15
的图象?
学生作出图象，然后让学生
(1)观察图象回答问题:
x
取__ _________时，
y0
即
3x150
；
x
取_ __________时，
y0
即
3x150
；
2
2
x
取___________时，
y0
即
3x150

(2)根据图象写出:
不等式
3x150
的解集________ __；不等式
3x150
的解集__________
教师启发学生发现一元一 次方程、一次函数和一元一次不等式三个概念之间的“三个一次”的
关系；教师引导学生总结一元一次不 等式的解法步骤。
（二）师生互动、探究新知

32

【探究2】
实施过程：教师提出如何解一元二次不等式：
xx60
？
学生联想一元一次不等式的解法，思考并交流此问题的解法：
1．求出方程
xx60
的根；
2．画出二次函数
yxx6
的图象；
3．根据方程的根和函数图象确定不等式的解集。
教师和学生一起填空如下：
(1 )图象与
x
轴交点的坐标为__________,该坐标与方程
xx60的解的关系：
_____________。
(2)当
x
取__________时，
y0
？ 当
x
取__________时，
y0
？ 当
x
取__________
时，
y0
？
(3)由图象写出：
不等式
xx60
的解集_______； 不等式
xx60
的解集______。
让学生反思并确认解一元二次不等式的方法和步骤。从而总结出以下结论：
一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有 “三个二次”关系,三者之间有互为补充说明的
相互联系。
（三）深化思维、总结规律
【探究3】
实施过程：（学生分成三组）结合学生在完成上面习题的练习结果的基础上，归纳 总结一元二
次不等式解的更一般的情况，由学生分组讨论填写表格，提升知识的结构。
教师引 导学生分三种情况(
0,0,0)
讨论一元二次不等式
axbxc 0(a0)
与
2
2
2
2
2
22
ax2
bxc0(a0)
的解集。（如下图）


△

△>0

△=0 △<0
三个二次



2
y=ax+bx+c(a>0)
图 象

x
1
x
2
x
1=
x
2

ax+bx+c=0(a>0)根
ax+bx+c>0(a>0)
解 集
ax+bx+c<0(a>0)
解 集
2
2
2
x=x
1
或x=x
2

{x|x1
或x>x
2
}
{x|x
1
2
}
b

2a
b
{x|x≠

}
2a
x
1
=x
2
=

φ
无 解
R
φ

教师引导学生进行归纳总结与提高：
1. 思考：若< br>a0
,则一元二次不等式
axbxc0
与
axbxc0
的解集又如何求？
如，怎样求解不等式 -x2+3x+4>0 的解集？
引导学生思考并回答：须先把原不等式转化为 x2-3x-4<0 ，再求解.

33
22

从而得到如下规律：
若 a<0，在求一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集时，可以先把二次项系数化
为正数，再求解.
2. 进一步引导学生总结解一元二次不 等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二
次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号 的方向写出解集(可称为“三步曲”法)。即：
解一元二次不等式的一般步骤:
（1） 把二次项系数化为正数；（2） 解对应的二次方程的根；（3） 根据二次函数的图像,
结合不等号的方向写出不等式的解集.
（四）练习互检、共同提高
1. 课堂练习：课本第89页，练习题1, 2.
2. （“考一考”活动）
同桌之间相互编题，求一元二次不等式的解集，然后相互检查.
（五）师生交流、课堂小结
1. 研究了“三个一次”的关系；
2. 解一元二次不等式的一般步骤；
3. 数学思想：类比、数形结合、等价转化等数学思想.
（六）课后作业、强化训练
1.课本P
89
习题1,2.
七、教学反思

活动6.1 剖析数学教学设计方案案例
目标
通过剖析具体教学设计方案案例， 加深对数学教学设计方案的理解；说出教学设计方案案例的一些特点，对教
学方案提出改进建议。思索数 学教学设计方案编制的基本要求，掌握数学教学设计方案编制的具体步骤。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 带着下面的问题阅读案例1（第X页）中的教学设计方案案例，并在笔记本上写下自己的看法。
（1）这节课的教学设计方案有什么特点?
（2）这节课的教学设计方案中，我们应该借鉴什么？
2. 在小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上。
3. 由小组发言人汇报本 组对上述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的见解和看法，
进行评论，以深化认 识。


活动6.2 编制数学教学设计方案：

对“函数的单调性”一节课编制教学设计方案
目标
能够对具体的教学内容进行教学 设计方案的编写，能在课堂教学前设计出一份完整的教案，为课堂教学工作提
供蓝本。通过亲身参与讨论 、合作进行一节课的教学设计方案的编制，感受合作与交流对促进教学设计方案编制水
平提高的作用。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 请仔细阅读人教版高中数学课本（第X页）中的教学内容，并思考以下问题：
（1）这部分内容应该怎样编制数学教学设计方案？
（2）在课堂教学中如何体现出来？
2. 组内就这些问题展开讨论，最后要编制出一份数学教学设计方案。
3. 各小组的发言人汇报本组编制的数学教学设计方案，小组之间就方案进行研讨，进行评价。

活动与运用：
1. 自选初、高中数学各一课时的内容，贯穿教案编写的原则，分别编写一份实习教案。
2. 就课题“余弦定理”，编写一份完整的教案。

34

单元七 数学课堂教学评价
为了使数学课堂教学评价能够有秩序、有目标地进行，你首先需要明确数学教学评价 的原则和
类型，体会数学教学评价的重要性与价值，懂得数学课堂教学评价的基本策略。因为这样做可以 使
你在参与数学课堂教学评价时：目标明确、避免盲目；对数学课堂教学评价做到心中有数；产生一种成就感，体验到目标达成的喜悦。
1．学习目标：
 明确数学教学评价的原则和类型，体会数学教学评价的重要性与价值
 针对学生数学学习的具体内容，按照相关指标与原则，能对学生的数学学习的效果做出合
理的评价
 针对教师数学教学的具体内容，按照相关指标与原则，对教师的教学效果做出合理的评价
2．学习内容：
主题一 数学教学评价的原则和类型
主题二 对学生数学学习的评价
主题三 对教师教学工作的评价
3．单元课时：
本单元的学习需要6个学时。
4．学习材料:
 笔记本
 数学教科书及搜集相关案例
 数学课程标准
主题一 数学教学评价的原则和类型 教学评价是在教学过程中有目的地观察、测定学生在学习过程中的种种变化，根据这些变化对
照教学 目标、教学效果、学生的学习质量及个性发展水平，运用科学的方法作出价值判断。进而调
整、优化教学 进程 的教学实践活动。它主要包括：教学过程的评价、学习活动的评价及教学效果
的评价。
一、数学教学评价的原则
1、科学的全面性原则
数学教学评价要遵循科学规律 ，采取实事求是的科学态度，讲究科学的评价方法和手段，从客
观实际出发，全面考虑制约评价的各个要 素，把定量测量与定性估断综合起来，进行科学分析，得
到切合实际情况的评价。
2．过程的教育性原则
教学评价是教学的组成部分。在评价的全过程中，始终指向对学生（ 或被评价者）的教育价值。
评价不是教育的目的，它只是为了达到教育目标，寻求最优化的教育方式的手 段，因此评价本身也
必须体现教育性。无论采用什么方式进行评价，都要有利于学生的全面发展。
3、实施的可行性原则
这一原则要求在对学生进行数学教学评价时，其内容的标准应明确、 具体，不能含混不清或不
可捉摸，要求有统一的评价指标，保证被评价内容的可测性的公平性，要简化评 价程序，以便广大
教师都能使用。要把评价与教学有机地结合起来，教学活动中进行评价时，要善于对学 生的微小变
化做出鼓励性评价，用发展、成长的眼光去评价我们的学生，因为他们在成长发育时期可塑性 很强。

35

4、定性分析与定量分析相结合的原则
定性的分析和评价往往是基于对事物的一定观察或经验做出的，虽然这种评价不免带有主观成< br>分或具有某些片面性，但是，我们不能因此否定经验，否定自然观察的经验归纳，但只凭经验为基
础作定性分析的评价是不够科学的。因此定量的统计分析方法就显露出它的科学性。因为通过统计
分析可 以从量的侧面全面地、集中地对经验作科学分析。但我们同样也不能过分迷信数据处理的统
计分析，因为 教学过程和评价过程是个复杂过程，统计数据虽然可成为反映这一过程各个侧面的一
定效应，但由于系统 误差和随机误差的影响，所以定量的评价也不是绝对可靠的。因此，在教学过
程中，如果把定性的评价与 定量的评价结合起来，互相参照，互为补充，将会减少评价的片面性，
增强评价的可靠性。
5、反馈与调节原则
教学评价实际是把教学效果和教学目标作比较而得出的判断，但这种判 断并不是目的，而是一
种手段。在教学过程中，不断进行比较和判断，并把获得的结论不断地反馈于教学 过程，以调节教
学最终改进教学。评价中的反馈于调节可在设定教学目标—设计教学—进行教学实践—教 学评价—
修正教学目标、方法------这样一个系统中进行。
二、教学评价的类型 < br>教学评价的类型，按其价值标准分，可以分为绝对评价、相对评价和自身差异评价；按其功能
分， 可以分为诊断性评价和终结性评价；按其评价性质分，可以分为定性评价和定量评价。
1、 绝对评价、相对评价和自身差异评价
绝对评价是指根据教学目标对教学设计方案，教师的教与学生的 学的成果所作的评价，以判断
哪些目标已达到，哪些目标没有达到。它反映了一个学生经过教与学以后， 在指定的范围内达到目
标的程度、还存在的问题以及学习中的困难所在。
相对评价是对各个评价对象进行比较，以确定各人的相对位置的评价。
自身差异评价是指被 评价者对自身的不同方面进行的纵横比较，以确定自己的进步情况和各方
面的能力的评价。
绝对评价、相对评价和自身差异评价是从不同角度对同一个被评价对象的评价。如果对每一个
被评价对象 ，他既看自己与目标的差距，又看到自己在群体中的位置，兼顾各种评价方法，就可以
扬长避短，充分发 挥各自的优势。
2、 诊断性评价、形成性评价和终结性评价
诊断性评价：是在教学活 动开始之前，为收集信息和设计一种可以排除学习障碍的教学方案而
进行评价。进行这种评价，是为了使 教学适合学习者的需要和背景。以确定教学方案的可行性，了
解学生的知识基础和学习能力基础，以保证 教学活动能有效地得以展开。
形成性评价：是在教学过程中，对教学方案实施的情况，以及学生学习 情况的评价，依靠反馈
信息，并对此做出纠正，以明确下一步如何调节教与学的活动，使教学活动的效果 更好，最终达到
教学目标。形成性评价的目的是为了控制教学过程。
终结性评价：是在教学活动结束后，对教与学的成果进行评价，从而确定完成目标的程度。
诊断性评价、形成性评价和终结性评价都是相对某一个教学阶段、某一种教学活动的评价。对
整个教学过 程来说，终结性评价也可以看做下一教学阶段的诊断性评价和形成性评价。而诊断性评
价和形成性评价， 也可以看做是即时的或前一阶段的终结性评价。教学设计方案的评价主要是形成
性评价。
3、 定性评价和定量评价
定性评价是指对教学欲评价的内容，通过观察法、调查法等收集 教学信息，运用分析和综和、
比较和分类、归纳和演绎等逻辑方法，筛选出集中趋势的判断，舍弃非本质 的离散现象，对事物本
质进行决策性判断。即定性评价是用非量化手段索取教学过程中的各种信息，对评 价对象做出价值
判断。

36

定量评价是指对教学欲评 价的内容，通过教学测量、统计等方法和手段，收集数据材料，进行
定量分析、处理、找到集中趋势的量 化指标和离散度，给出综合性定量描述与判断。即定量评价是
综合各种信息进行量化统计的过程。 < br>由于教学内容、教学要求不同，教学评价的角度、侧重点也应有所区别。根据教学评价的侧重
点和 方式不同.

主题二 对学生数学学习的评价
1.注重对学生数学学习过程的评价
在评价学习的过程时，要关注学生的参与程度，合作交流的意识与情感、态度的发展。同
时，也要重视考察学生的数学思维过程。对参与程度的评价，应从学生能否主动参与数学学习活动
等方面进行考察。对学生合作交流意识的评价，应从学生是否主动地与同学合作、是否认识到自己
在集 体中的作用、是否愿意与同伴交流各自的想法等方面考察。对学生情感与态度的评价，教师应
结合具体的 教学过程和问题情境，随时了解每一个学生学习的主动性、学习数学的自信心和对数学
的兴趣。对数学思 维过程的评价，教师可以通过平时观察了解学生思维的合理性和灵活性，考察学
生是否能够清晰地用数学 语言表达自己的观点等。
建立成长记录是学生开展自我评价的一个重要方式，它能够反映出学生发展与 进步的历程。成
长记录中的材料应让学生自主选择，并与教师共同确定。例如，在对综合应用部分进行评 价时，学
生可以利用成长记录袋收集以下资料，以反映自己的探索过程与取得的进步：
（１）在日常生活中发现的数学问题；（２）收集的有关资料；（３）解决问题的方案和过程；
（４）活动报告或数学小论文；（５）解决问题的反思。
2.恰当评价学生的基础知识和基本技能
本学段对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准 》的基本理念，以本学段的知识与技能目
标为标准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。 应当强调的是，学段目标是本学段
结束时学生应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随 着数学知识与技能的积累逐
步达到。对此，教师可以选择推迟作出判断的方法。如果学生自己对某次测验 的答卷觉得不满意，
教师可鼓励学生提出申请，并允许他们重新解答。当学生通过努力，改正原答卷中的 错误后，教师
可以就学生的第二次答卷给以评价，给出鼓励性的评语。这种推迟判断淡化了评价的甄别功 能，
突出反映了学生的纵向发展。特别是对于学习有困难的学生而言，这种推迟判断能让他们看到自己的进步，感受到获得成功的喜悦，从而激发新的学习动力。
评价应结合实际背景和解决问 题的过程进行，对概念、公式和法则的评价应当更多地关注对知
识本身意义的理解和在理解基础上的应用 。
对数与代数学习的评价，应主要考察学生对数与运算意义的理解和应用。包括以下几个方面：
能否运用数与计算的知识描述并解决实际问题；是否能够运用合理的计算策略正确地进行运算；是
否有 对计算结果进行估算和验算的习惯；能否有效地利用计算器探求规律。
对空间与图形学习的评价，应结 合具体的情境，评价学生对图形基本性质的认识和空间观念的
发展。
如，针对能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置这一目标，教师可以设计如下问题。
例1A，B，C三个侦察员，从三个方位观察一间房子，分别标出A，C两个侦察员看到的情
形，B 呢？
对统计和概率学习的评价，重点应放在考察学生是否理解各种统计图表的特征和统计量的意< br>义，能否选择适当的统计图表和统计量来表达数据，是否体会事件发生可能性大小的意义等。而纯
粹的计算题，如计算给定数据的平均数不应当成为评价的主要内容。
对于综合应用的评价，很难在 一次书面考试中完成。因此，教师应注重评价学生参与活动的过
程，不宜把这一类活动或问题纳入书面考 试（或测验）的范围之中。

37

3.重视评价学生发现问题、解决问题的能力
对学生发现问题、解决问题的能 力可以从以下方面进行考察：能否从现实生活中发现和提
出数学问题；能否探索出解决问题的有效方法， 并试图寻找其他方法；能否与他人合作；能否
表达解决问题的过程，并尝试解释所得结果；是否具有回顾 与分析解决问题过程的意识。例如，
可以设计如下问题考察学生解决问题的能力。
例２ 用一根长为５０厘米的细绳围成一个长方形，怎样才能使它的面积最大？
针对这个问题，教师首先要考 察学生是否能围出不同的长方形，并按照一定的规律将这些
长方形排列，是否能发现面积与长和宽的关系 ，从而进一步猜测到当围成一个正方形时，它的
面积最大。
4.评价主体和方式要多样化 < br>本学段的学生在自主性和独立性方面比第一学段相对加强。因此，在评价学生学习时，应
让学生开 展自评和互评，而不仅仅局限于教师对学生的评价，也可以让家长和社区有关人员参
与评价过程。评价方 式应当多种多样，既可用书面考试、口试、活动报告等方式，也可用课堂
观察、课后访谈、作业分析、建 立学生成长记录袋等方式。
每种评价方式都具有各自的特点，教师应结合评价内容及学生学习的特点， 选择适当的评
价方式，以考察学生的学习情况，反映学生的进步历程。教师可以从基础知识的掌握情况、 作
业的认真程度、解决问题能力的发展和合作交流的技能四个方面进行考察。例如，可以从作业
中了解学生计算技能掌握的情况，通过课堂观察了解学生学习的态度，从成长记录中了解学生
提出问题和 解决问题的意识和能力，从小组讨论中了解学生合作交流的意识与技能。
5.评价结果要采用定性与定量相结合的方式呈现，以定性描述为主
在呈现评价结果时，应采 用定性与定量相结合，以定性描述为主的方式。定量评价可采用
等级制的方式。定性描述可以采用评语的 形式，更多地关注学生已经掌握了什么，获得了哪些
进步，具备了什么能力。使评价结果有利于树立学生 学习数学的自信心，提高学生学习数学的
兴趣，促进学生的发展。下面是一个评语的例子：“本学期我们 学习了收集、整理和表达数据。
小明通过自己的努力，能收集、记录数据，知道如何求平均数，了解统计 图的特点，他制作的
统计图很出色，在这个方面是全班最好的。但他在使用语言解释统计结果方面有一定 困难。继
续努力，小明！评定等级，B。”学生阅读了这个以定性为主的评语，实际上也是与教师的一< br>次情感交流，他获得了成功的体验，树立了学好数学的自信心，也知道了哪些方面应该继续努
力。
主题三 对教师教学工作的评价
1.对教师的评价指标的确定要以新课程标准为依据
通过数学教学环境的组织、学生学习积极性的激发、指导学生进行自主探索和合作交流、数学
思想方法的揭示和演绎等，把学生在知、情、意、行等领域里的变化与进步都应作为考评教师工作
成绩 的范围，从“德、能、勤、绩”诸方面进行全面评价一是基本素质要从政治思想、职业道德、
教育思想、 教学基本功、一专多能等诸方面加以评价;二是数学教育教学工作的评价，要改变过去
只注重评价工作数 量的做法，应从工作数量、工作质量、工作态度、工作艺术、工作能力等方面来
评价，特别要加强对教师 驾驭教材能力、独立备课能力、课堂教学能力、设计作业能力、指导学生
开展活动能力、担任班主任及组 织管理、教育学生能力等方面的评价;三是既有对数学教学工作成
果的评价，又有对育人成绩的评价，变 分数标准为育人效益标准，变单一标准为复合标准。

2.数学教师评价要有利于促进教师的专业发展和教师能力的提高，实现评价的发

38

展性功能
数学教师应当集数学专业知识与教育知识于一身 ，《标准》给出了许多新的“理念”，只有通过
不断的学习和实践，才能成为数学教师自己的理念。数学 教师评价应关注教师的数学教育专业的发
展过程，发现教师对数学教育培训的需求，对数学教育改革和发 展的建议和期望，数学教师评价应
有助于教师的“成长”，有利于数学教育的发展。

3.发展性数学教师评价制度应当采用绝对评价(也称达标评价)
通过评价可以明确评价对象 (数学教师)与客观标准(《标准》的要求)的差距，激励数学教师积
极上进，达到要求。但标准中的教 育理念毕竟与我国传统的教育方式有很大的差距，在试行阶段将
会面临许多新问题，数学教师需要逐渐接 受和理解认同新的教育理念，逐步学习和采用新的教学方
法。同样在这个过程中不断改革和完善《标准》 ，以更好地适合中国的数学教育。因此，当前的数
学教师评价应“以促进数学教师专业发展”为主要目的 ，采用个体内差异评价(以教师的过去为基
准，与现在相比较的评价)较为合适，以利于教师最快地进步 。

4.数学教师评价应改变单一评价主体的现状
可以营造一种合作的氛围，使 教师能够作为整体的一部分参与评价方案的设计，评价者不是监
督者，其主要任务是为教师的发展提供服 务。发展性数学教师评价应重视教师的自我评价、自我激
励及未来的发展，注重全体教师积极性的发挥。 在评价过程中，评价者(指具有一定的教育能力，
掌握了最新教育理念，并且经过培训的数学教育工作者 )和被评价者要加强沟通和协调，教师必须
直接参与评价程序的制定和设计，把自评和他评(学生评、教 师评、学校评、家长评)有机地结合起
来。在评价过程中，评价者和被评价者要加强沟通和协调，共同找 出问题的根源、优势和潜能，改
变评价主体单一的现状，加强自评，给教师一定的自主权，使自我评价与 日常教育教学工作、阶段
性检查、及时整改有机地结合起来，使评价成为教师、学生、家长、管理者共同 积极参与的交互活
动，成为教师进行自我完善的重要环节和手段。

5.
在教 师评价的过程中，评价双方进行沟通以收集信息和资料，并对其进行汇总整
理

评价双 方应共同确定教学内容、教学目标、教师的教学期望、教学计划、可能存在的困难和问
题、课堂观察方式 、观察重点、课后其他工作的设计，等等。评价者在评价过程中应注意收集和处
理这些信息和资料，使数 学教师评价的结果比较准确、客观、权威、易行。特别是集中一定时间的
检查评价内容不在全、时间不在 长，但要符合学校教学规律，不影响和干扰教师正常工作，切忌花
架子，搞形式主义。同时要防止主观、 随意等不良心理影响和情感因素、人际关系的干扰，一视同
仁，不偏不倚，要做到标准面前人人平等。作 为评价者也要不断学习，树立新的人才观、质量观、
课程价值观，成为高素质的权威，确实具有能够评价 、指导教师工作的能力，使教师信服、佩服。
评价指导应采用多人评定法，避免少数人说了算，以消除教 师心中的疑虑，只有这样，才能使教师
的评价结果比较准确、客观。

6.注重对数学教师评价的结果，进行积极的反馈
数学教师评价结果的陈述分为两个部分 ，第一部分主要记录相关的特色信息、重要结论和要点;
第二部分主要对教师的发展目标和行动计划进行 分析。数学教师评价结果的运用对于教育教学目标
的实现具有重要的意义，对教师的教育教学工作起着调 控作用，是促进教师不断提高的重要手段。
因此，要非常注意数学教师评价结果的运用，对评价结果要进 行纵向比较、综合分析，评价者和教
师要充分地交流沟通，帮助教师总结优点、查找不足、分析原因，在 此基础上给教师提出合理建议，
以关心的态度，具体指出教师哪些方面做得好、哪些方面还有待改进，避 免只给教师一个笼统的评
价分数或一个简单的结论。数学教师评价反馈要以激励为主，要注意保护教师的 自尊心，增强教师
的自信心和工作积极性、主动性，帮助教师认识自我，不断改进、不断提高。数学教师 评价工作是
一项严肃认真的事情，关系到数学教师队伍的建设和数学教育教学质量的提高，关系到新的课 程目
标能否顺利实现，希望各级教育行政管理部门和人员切实抓好。



活动7.1 对师生评价探讨
目标

39

说出 对学生学习情况及教师教学情况评价的主要指标，加深对学生学习情况及教师教学情况的
评价依据的理解 。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 阅读下列问题并思考，笔记本上写下自己的看法。
（1）举例说明对学生学习情况评价的主要依据及指标是什么?
（2）举例说明对学生学习情况评价的主要依据及指标是什么?
2. 小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上。
3. 小组发言人汇报本组对上 述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同的
见解和看法，进行评论，以深化认识。

活动与运用：
1. 数学教学评价的原则和类型？
2. 对学生数学学习情况评价的主要依据及指标是什么？
3. 试举例说明应从哪些方面评价数学教师的教学效果？

单元八 说课、听课与评课
如果你要上好一节数学课，你首先需要学会如何说课、听课及评课，这些基本功对你成长为研
究型数学教 师是相当重要的。因为这样做可以使你在进行数学新课程教学时：学到经验、少走弯路；
对如何说好一节 课做到心中有数；对如何听一节课做到心中有数；对如何评价一节课做到心中有数；
产生一种成就感，体 验到目标达成的喜悦。
1．学习目标:
 理解数学课说课的含义，概括数学课说课的内容
 掌握听数学课的基本策略，能具体说出听数学课的基本步骤
 针对教师的教学内容和学生数学学习的情况，能运用适当的方法及策略点瓶该节课的教学
效果。
2．学习内容:
主题一 如何说课

主题二 如何听课
主题三 如何评课
3．单元课时:
本单元的学习需要8个学时。
4．学习材料:




笔记本
自己进行的的听课案例
搜集到数学评课的案例
义务教育阶段数学课程标准
主题一 如何说课
一、数学课说课的含义
说课是近几年教学改革中涌现出来的一 种新的教研模式，它是教师在精心备课的基础上，阐
述对某节课的教学设想及其理论依据；但说课不是对 备课内容的简单叙述，也不是对讲课过程的简
单总结，而是在教育理论的指导下，教师对备课、讲课等教 学环节在理论上的高度概括。原则上每
次说课范围为一课时（如果是单元备课，就说一单元)的教学内容 ， 包括说教材、说教法、说学法、
说教学程序四部分。
１、说教材

40

（1）说本课时教材的题目及主要内容；说课型(主要有新授课、 讨论课、实验课、阅读指导课、
复习课、检查课、综合课等)及所需课时。
（2）说前 后联系及所处地位：要说出本节课的知识结构和教材内容前后的联系及其在本单元或
本册教材中的地位和 作用，从而明了教材编排意图。
（3）说重点、难点：说出哪些是重点、难点?确定这些重点、难点的依据是什么?
（4）说教学目标：根据教学大纲、教材和学情，确定本节课的教学目标。
２、说教法


（１）说出为完成本节授课任务所采用的教学方法及理论依据是什么?（用常教学方法主 要有讲
授法、谈话法、讨论法、读书指导法，演示法、实验法、参观法、练习法等)。
（2）说出使用哪些教具
（3）如何突出重点，突破难点。
３、说学法
（1）结合教学内容说出通过什么方式，养学生哪些学习习惯和学习方法？ (如主动预习、 圈点
勾划、查字典词典、记课堂笔记、手脑并用，读思结合、 独立作业、及时复习等)。
（2）说出通过哪些途径，培养学生哪些能力(主要有阅读能力、书写能力、观察能力、思维能力、
表达 能力、计算能力等)?
（3）说出因材施教的措施(如优生的培养、差生转化)
４、说教学程序
（1） 说出本节课的课堂结构(课的结构主要有导入新课、 指导预习、明确目标、捡测目标，进
行新课、知识迁移、教师小结、布置作业等几个环节)。其中进行新 课一个环节分为哪几个部分。
（2） 说出本课时师生双方活动的具体安排和依据。
（3） 说出本课时师生的板书设计和依据。
（4） 说出本节课的课堂练习及练习意图。
（5） 说出课后作业的布置和训练意图。
说教 学程序，是整个说课过程中最重要的一环，要求结构严谨，层次清楚。环环紧扣，过渡自
然，要体现出如 何抓住关键；突出重点，突破难点；要体现出：如何加强双基，发展智力，培养能
力，德育；要体现如何 面向全体，因材施教；要体现出如何激发学习兴趣，调动积极性；要体现出
如何改革教法，指导学法。板 书要提纲挈领，布局合理美观。

活动8.1 探讨说数学课的基本要求
目标
探讨数学课说课的基本特点。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 着下面的问题阅读案例1中的说课案例，并在笔记本上写下自己的看法。
（1）在说这节课的说课中，我们应该借鉴什么？
（2）说课与备课有什么关系？说课与上课的关系是什么？
2. 在小组内交流对以上两个问题的思考，记录员将其要点记录在大白纸上。
3. 由小组发言人汇报本组 对上述问题的看法，本组其他成员进行补充，别的小组可发表不同
的见解和看法，进行评论，以深化认识 。

案例1说 课

—函数的单调性(1)
陆 萍
(
江苏省扬州大学附属中学
, 225002)

一、教材分析
函数的单调性是函数的重要性质
.
从知识结构上看
,
函数的单调 性既是函数概念的延续和拓
展
,
又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性 等内容的基础
,
在研究各种具体函数的
性质
,
解决各种问题中都有着广泛的应用
.
在函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思 想方
法
,
这对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用
.

41

根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用
,< br>本节课教学应实现如下教学目标
:
知识与技能 理解函数单调性的概念
,
初步掌握判别函数单调性的方法
.
过程与方法 通过观察、归纳、抽象、概括
,
自主建构单调增函数、单调减函数等概念
;
能运
用函数单调性概念解决简单的问题
;
领会数形结合的数学思想方法
,
提高发现问题、分析问题、解
决问题的能力
.
情感态度与价值观 在函数单 调性的学习过程中
,
体验数学的科学价值和应用价值
,
培养善于
观察 、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度
.
根据上述教学目标
,
本节课的教学重点是函数单调
性的概念形成和初步运用
.
虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力
,
但函数单调性概念对他们
来说还 是比较抽象的
.
因此
,
本节课的学习难点是用准确的数学语言刻划单调性的数 学本质
.
二、教法学法
为了实现上述教学目标
,
本节课采取下述教学方法
:
1
)
通过学生熟悉的实际生活问题引入 课题
,
为概念学习创设情境
,
拉近数学与现实的距离
,
激
发学生求知欲
,
调动学生主体参与的积极性
.
(
2
)
在形成概念的过 程中
,
紧扣概念中的关键语句
,
通过学生的主体参与
,
正确地形成概念
.
(
3
)
在鼓励学生主体参与的同时
,
不可忽视教师的主导作用
,
要教会学生清晰的思维、严谨的
推理
,
并顺利地完成书面表达
.
在学法上重视以下几点
:
(
1
)
让学生利用图形直观启迪思维
,
并通过正、反例的构造
,
来完成从感性认识到理性思维的
质的飞跃
.
(
2
)
让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用
,
培养学生发现问题、研究问题和分析
解决问题的能力
.
三、教学过程
函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点
,
为了突破这一难点
,
在教学设计上采用了以下
四个环节
.
1
.
创设问题情境
,
提出问题
(
问题情境
) (
播放中央电视台天气预报的音乐
) .
图1为某地区2006年元旦这一天24小 时内的气
温变化图
,
观察这张气温变化图
.
(
教师活动
)
引导学生观察图象
,
提出问题:

问题1 说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的?
问题2 怎样用数学语言刻划上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?
设计意图 问题是数学的 心脏,问题是学生思维的开始,问题是学生兴趣的开始.这里,通过两个问
题,引发学生的进一步学习的 好奇心.
2.探究发现,建构概念
(学生活动)对于问题1,学生容易给出答案.问题2对学生来说较为抽象,不易回答.
(教 师活动)为了引导学生解决问题2,先让学生观察图象,通过具体情形,例如,“
t
1
=8时,f(t
1
) =1,
t
2
=10时,f(t
2
) =4”这一情形进行描述.引导学生回 答:对于自变量8<10,对应的函数值有1<4.举几个
例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题: 结合图象,请你用自己的语言,描述“在区间[4,14]上,
气温随时间增大而升高”这一特征.
在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时,进一步提出:
问题3 对于任意的t
1
、t
2
∈[4,16]时,当t
1
< t
2
时,是否都有f(t
1
) 2
)呢?
(学生活动)通过观察图象、进行实验(计算机)、正反对比,发现数量关系,由具体到抽象,由模

42

糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性,并尝试用 符号语言进行初步的表述.
(教师活动)为了获得单调增函数概念,对于不同学生的表述进行分析、归 类,引导学生得出关键
词“区间内”、“任意”、“当x
1
2
时 ,都有f(x
1
) 2
).”告诉他们“把满足这些条件的函数称< br>之为单调增函数”之后,由他们给出单调增函数的概念.再提出:
问题4 类比单调增函数概念,你能给出单调减函数的概念吗?
最后完成单调性和单调区间概念的数学表述.
设计意图 数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要.但概念的高度抽象,造
成 了难懂、难教和难学,这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去,从自己的经验和已有
的知识 基础出发,经历“数学化”、“再创造”的活动过程.
3.自我尝试,运用概念
为了理解函数单调性的概念,及时地进行运用是十分必要的.为此提出:
问题5 (1)你能找出气温图中的单调区间吗?
(2)你能说出你学过的函数的单调区间吗?请举例说明.
(学生活动)对于(1),学生容易看出:气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间,对于(2),学生容易举出具体函数如:f(x) =-2x+2,f(x) =x+2x-3, f(x) =
数的图象说出函数的单调区间.
2
1
,并画出函数的草图,根据函
x

(教师活动)利用实 物投影仪,投影出学生画出的草图和标出的单调区间,并指出学生回答问题
时可能出现的错误,如在叙述 函数f(x) =
1
的单调区间时写成并集.
x
设计意图 在学生已有认知 结构的基础上提出新问题,使学生明了,过去所研究的函数的相关
特征,就是现在所学的函数的单调性, 从而加深对函数单调性概念的理解.
对于给定图象的函数,借助于图象,我们可以直观地判定函数的单 调性,也能找到单调区间.而
对于一般的函数,我们怎样去判定函数的单调性呢?提出:
问题6 证明f(x) =
1
在区间(0, +∞)上是单调减函数.
x
(学生活动)学生相互讨论,尝试进行函数单调性的证明.
(教师活动)教师深入 学生中,与学生交流,了解学生思考问题的进展过程,投影学生的证明过程,
纠正出现的错误,规范书写 的格式.
(学生活动)学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程:取值 作差变形 定 号
判断.
设计意图 有效的数学学习过程,不能靠单调的模仿与记忆,数学思想的领悟和 学习过程更是
如此.利用学生自己提出的问题,让学生在解题过程中亲身经历和实践体验,师生互动学习 ,生生合
作交流,共同探究.
4.回顾反思,深化概念
(教师活动) 给出一组题:(1)定义在R上的单调函数f(x)满足f(2) >f(1),那么函数f(x)是R上的
单调增函数还是单调减函数?
(2)若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1+a) (学生活动)学生互相讨论,探求问题的解答和问题 的解决过程,并通过问题,归纳总结本节课的
内容和方法.
设计意图 通过学生的主体参与,使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法,从而实现

43

对函数单调性认识的再次深化.
(教师活动)作业布置:
(1)阅读课本第34页至35页例2.
(2)书面作业.
必做:教材第43页第1题、7题、11题.
2
选做:二次函数y=x+bx+c在[0,+∞)是增函数,满足条件的实数b的值唯一吗?
探究:函数y=x在定义域内是增函数,函数y =
数y=x+
1
有两个单调 减区间,由这两个基本函数构成的函
x
1
的单调性如何?请证明你得到的结论. x
(设计意图)通过两方面的作业,使学生养成先看书,后做作业的习惯.基于函数单调性内容的特
点及学生实际,对课后书面作业实施分层设置,安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层.学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展自主
发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,
看到 自己的潜能,从而激发学生饱满的学习热情,促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成.
四、教学评价
学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价.教师应当 高度重视学生
学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能 力以及
学习的兴趣和成就感.学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,问题串的设计可以让更多的
学生主动参与,师生对话可以实现师生合作,适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神,知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯.让学生
在 教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,
为学生 的可持续发展打下基础.
(编者注 本文获第三届全国高中数学青年教师优秀课观摩与评比一等奖)
主题二 如何听课
听课是一项艰苦的脑力劳动，有上述行为的教师很难在听课中有所收获 。俗话说：“留心天下
皆学问”。课堂看似平常，却不平常，里面蕴含着众多的教育规律和教育思想。教 与学、讲与练、
主导与主体、知识与能力、全面要求与因材施教等这都要在课堂教学中展示。教师只有深 入课堂才
能获得，才能借鉴，才能提高，才能不间断的为自身“充电。
一、听课的目的和作用
1.有利于了解教师落实学校教学发展规划和规章制度的现状
2.有利于了解教师的教学质量及水平
3.有利于良好教学风气的形成，促进教学改革深入进行
4.有利于总结推广教学经验和方法
二、对听课者的要求
1.明确听课目的、计划和要求
2.了解教材、教师及教师所在教学单位的基本情况
3.处理好听课者与被听课者的关系
4.不断学习教育教学理论，了解教学改革各种信息
5. 听课要做到听、看、记、思有机结合
（1）听什么、怎样听：
 “听”教 育观念，是否体现新课程的理念、方法和要求。教育观念是指导教学的思想基础，
用于指导教师的备课、 授课等，它贯穿于教学的全过程，是教师教育理论水平的具体体现。
 “听”教学过程。即上课老师 是怎样复习旧知，引入新知，学习新课，巩固新知，回顾小
结的。还要听教师是怎样启发思维，组织学生 讨论问题，进行学法指导，指导学生突破重点，分散
难点的。
 听授课老师的教学语言。即听其语言是否科学准确，言简意赅，生动有趣，是否有激励性
和感染力。

44

 听学生的发言。通过听学生的发言来判断教师的教学目标达成情况和目标的生成情况。
（2）看什么、怎样看：
 看教师上课精神是否饱满，态度是否自然、亲切，表情举止是否沉着自然、从容；
 看教师板书是否工整、合理、有序，是否条理清楚； 教具准备是否充分，演示是否规范、
熟练；能否充分利用现代化手段来辅助教学；
 看教法 选择是否得当，指导学习是否得法，教学结构是否合理，教学衔接是否自然，处理
偶发事件的手段是否巧 妙等。
 看教师是否善于捕捉课堂生成点，把生成点演绎成课堂“亮点”，看是否能够做到随机应
变，灵活调整，调控课堂，达到激活课堂的目的等。
 看学生是否参与教学活动，感知教学 内容，注意力是否集中，思维是否活跃，练习是否正
确，活动时间是否得当，积极性是否被调动，师生情 感是否融洽，自学习惯、书写习惯是否良
好，分析、解决问题的能力是否提高等。
（3）记什么、怎样记：
 记概况：记本节课的章节题目、听课时间、地点、班级，执教者姓名、本节课的类型、公
开课的性质等；
 展等教学环节设计，课堂师生活动的安排等。
 记衔接：重点记录环节与环节之间、知 识点与知识点之间的衔接、过渡与转折的语言，记
知识点的延伸和思维发展、训练的过程安排等；
 记时间：记录主要教学环节的时间分配，学生上台演练的时间，学生交流讨论或作练习的
时间等；
 记板书：记下板书内容，有利于对课的程序、结构作更全面的分析；
 记备注：1、记 录施教者亮点即成功之处。比如一种好的教学方法，一个巧妙的教学设计，
一种新的思维方式，对某一问 题的独特的处理技巧，一个意外事件巧妙处理，一个巧妙的引入过渡
承转，独具匠心的留白，甚至是一句 实用的话，一个贴切的词语。2、记录施教者的不足之处：听
课时还要带着批判和审视的目光，无论多么 资深的教师，准备得多么充分，教学过程中也难免有疏
漏失误之处，也一定会有“败笔”之处的，记录下 来，回顾、梳理和剖析这些“败笔”之处，吸取
教训。作重新思考设计，以便在以后自己教学时得以改进 和提高，同时以此为鉴，也可以使我们在
以后的教学中少犯或不犯同类错误，减少失误，提高教学水平。 3、记录学生的困惑及学生的独特
见解和发现。4、记录自己听课中闪现的灵感。
 记特色 ：教学特色是教师个性的表现，课堂特色表现在课堂模式的创新、教学方法的创新、
学生思维训练的创新 、独具风格的情感教态；
 记点评：点评要充分肯定成功的一面，也要有针对性地提出存在的不足和 进一步推敲的地
方。点评包括对教材的处理，教学整体思路的设计，教学重点是否突出，难点是否被分散 ，关键点
是否被强调；板书是否有序、工整；教态是否亲切、自然；教学手段是否先进；教法是否体现了 新
课标的理念；学生学习的积极性、主动性是否得到充分的调动，教学基本功等各方面。以1～2个为< br>侧重点，其他方面略写为好。更具体的内容可在评课活动时交流。
（4）思考什么、怎样思考：
 教师为什么要这样处理教材，换个角度行不行、好不好；
 对教师成功和不足或出现错误的地方，要思考原因，并预测对学生所产生的相关性影响；
 如果是自己来上这节课，应该怎样上，进行换位思考；
 如果我是学生，我是否掌握和理解了教学内容；
 新课程的理念、方法、要求等如何体现在日常课堂教学中，并内化为教师自觉的教学行为；
 本节课是否反映教师正常的教学实际水平，如果没有听课者，教师是否也会这样上。
6. 听课后应做些什么
 整理好听课记录。听课的过程是一个系统的过程，它集听、看、记、想的综合过 程。记的
重点应放在情境创设、教师点拨与引导、师生的双边活动、教法的选择、学法运用、练习设计、 教
学反馈、时间分配、课堂的亮点与失误等方面。还要记录教师挖掘与利用课堂生成资源的情况，记录灵活处理偶发事件等。
 做好课后分析。听过一节课后就应及时进行综合分析，找出这节特点 和闪光处，总结出一
些有规律性的认识。明确对自己有启迪、能学会的有哪几个方面。并针对这节课实际 情况，提出一
些建设性的意见与合理性的修改建议，与执教教师进行交流切磋，以达到互助互学的目的。

45

活动8.2 探讨听数学课的基本要求
目标
在明确听数学课基本要求的基础上，能对不同类型的教师从听课方面做出自己的选择。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 请仔细阅读案例2中的教学内容，并思考以下问题：
（1）这部分内容应该怎样进行听课？
（2）在听课过程中有哪些要求？
2. 组内就这些问题展开讨论，最后要形成一份教材分析方案。
3.各小组的发言人汇报本组的教材分析方案，小组之间就方案进行研讨，进行评价。
案例2
三垂线定理的说课
一、教材分析
1. 教材的地位与作用
本节课是学生在已掌握了空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直的位置关系等知识基础上,
进一步研究空间的两条直线的垂直关系, 为今后继续研究直线与平面的位置关系, 空间两个平面
的位置关系打下坚实的知识基础. 因此, 本节课的内容是至关重要的, 它对知识起到了承上启下
的作用.
2. 教学目标的确定及依据
全日制《立体几何》全一册教参及教学大纲明确指出: 高中里开设立体几何这门课程,目的是
要使学生系统地掌握空间图形的基本性质, 从而掌握一些简单几何体的画法, 表面积、体积公式,
进一步发展他们的逻辑推理能力和空间想象能力, 以及应用这些知识去分问题、解决问题的能力.
教学原则明确强调
要将思想教育内容渗透到数学教学中, 使学生在获得知识和培养能力的同时, 在思想教育方面也
应受到良好的熏陶. 依据教学目的和原则, 以及学生的学习现状, 我制定了本节课将要完成的教
育目标:
a. 知识目标: 使学生初步掌握三垂线定理及其应用;
b. 能力目标: 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力;
c. 德育目标: 培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点.
3. 重点、难点的确定及依据
多年的教学经验使我体会到: 学生对三垂线定理的学习普遍感到困难的是一时分不清定理中
的各条直线间的关系. 为此, 在教学过 程中要把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平
面内的某条直线这一事实作为重点讲解的突破口 , 因此, 本节课的教学难点是三垂线定理中的垂
线关系及证明过程.
依据本节的教学内容及学生现有的实际水平和认知能力, 我把三垂线定理的内容及应用作为教学
重点.
二、教材处理
1.学生现状的分析及对策
虽然高一学生学过平面几何, 已经具备了一定的几何知识, 在立体几何学习中已经掌握了空
间两条直线的位置关系, 直线与平面垂直的判定与性质, 斜线的性质等基础知识, 但是学生所具
有的空间想象能力毕竟是初步的, 另外学生的基础又参差不齐, 为此,在教学中要照顾全局, 注重
提高差生的学习兴趣, 耐心讲解, 耐心辅导.
2. 教学内容的组织与安排
为了更好完成本节课的教学任务, 让学生尽快掌握知识, 针对学生的认知规律, 借助电教和多
媒体教学手段, 通过操作教具和电脑, 使学生能直观感觉知识的正确性, 在此基础上激发学生探
索证实知识的正确性, 进而过渡到定理的证明, 使学生的认识上升到理性认识.
三、教学方法和手段
1. 教学方法的采用

1
刘培新.

例谈《三垂线定理》的说课[J].

数学通讯,1999(10):15-16.

46
1

教无定法, 教必有法, 贵在得法. 如果单靠教师讲解, 不注重发挥学生的主观能动性,则不利
于学生能力的提高. 现代的教学观明确指出: 教师是主导, 学生是主体. 根据本节的教学内容及
教学目标, 以及学生的认知规律, 我采用启发、引导、探索式相结合的教学方法, 启发、引导学生
积极思考, 勇于探索, 使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态, 从而产生浓厚的学习兴趣,
发挥学生的主观能动性, 体现学生的主体作用.
2. 教学手段的采用
根据本节内容的特点, 为了更有效地突出重点, 突破难点, 增大课堂容量, 提高课堂效率,
使学生尽快掌握本节的教学任务, 除采用常规的教学手段, 特采用电教和多媒体教学手段, 利用
投影仪, 电脑和教具, 可以激发学生的学习兴趣, 强化记忆, 节省教学时间,会收到事半功倍的教
学效果.
四、教学程序
1. 复习, 导入新课
通过复习提问前面所学知识, 给学生创设一个确定空间两条直线垂直的方法有哪些的问题情
境, 学生回答: 两条相交或异面的直线成直角, 直线与平面垂直的性质等均可说明两条直线垂直.
今天我们要学习一种新的方法, 进而引出新课——三垂线定理.
(1) 三垂线定理的内容及证明;
(2) 三垂线定理的逆定理;
(3) 例题讲解
3. 反馈练习
为突出本节所学知识, 使学生尽快掌握,特编写一套反馈练习题, 充分调动学生学习的积极性,
强化学生巩固所学知识, 同时也给差生创造了主动请教他人的条件.
4. 归纳总结
给学生归纳总结本节所学知识, 目的是强化学生加深理解、便于记忆和应用所学知识.
5. 布置作业
通过布置作业, 使学生更进一步掌握和巩固本节的重点内容.为了便于学生掌握本节课的知识
点, 并突出重点, 培养学生的逻辑推理能力和书写表达的规范化, 特把定理的证明和例题的证明
过程, 作为本节的板书内容.
附: 板书设计
1.11 三垂线定理
1. 三垂线定理: 3.例题:
(内容、证明略) (内容、证明略)
2. 三垂线定理的逆定理:
(学生回答并证明)


主题三 如何评课

一
、评课的有关知识

1、评课内容
评课是对课堂教学效果的评价, 以及对构成课堂教学过程各要素(教师、 学生、教学内容、教
学方法和教学环境等)作用的分析和评价，即教师与学生的相互作用、教师与教学方 法的相互作用、
教学方法与学生的相互作用等，包括课堂上的教与学、讲与练、主导与主体、学知识与学 做人、学
知识与提高能力、全面要求与因材施教、教学目标与绩效达成、教师专业发展等等方面。
2、评课的功能
一是促进学校教学质量的提高；二是促使教师专业素质的提高；三是带动 学校教科研水平的
提高；四是促使学生的素质得到较好的提高。
3、评课的原则
（ 1）实话实说原则：（2）“心理零距离”原则（3）突出重点原则（4）激励性原则（5）因人

47

而异原则：（6）艺术性原则：
4、评课的形式
（1）个别面谈：（2）小组评议：（3）书面材料（4）调查问卷：（5）陈述答辩（6）点名评议
（ 7）师生评议（8）专家会诊（9）自我剖析：
二、主要从哪些方面进行评课

1、对教学目标的评价
(1)认知领域的目标评价
知识方面：理解方面：应用方面：分析方面：综合方面：评判方面：
(2)评价情感领域的目标 ①有否简练地用创设情境或相关材料刺激学生, 使之注意到特殊
的现象 或刺激点；②有否使学生学习时不仅注意到某种现象，而且主动参与，做出反应；③有否要
求学生将特殊 的对象、现象或行为与一定的价值标准相联系；④有否指导学生在多种价值观的复杂
情境下能加以比较、 协调冲突、形成有个人特色的价值观和品性。
(3)评价动作技能领域的目标
知觉: 有否要求学生运用感官获得信息, 了解与某动作技能有关的知识、性质和功用, 指导动
作。
准备：有否要求学生在知觉的基础上完成技能动作准备，包括心理定向、生理定向和情绪准备
(愿意活 动)，知觉是其先决条件。
有指导的反应: 有否要求学生在教师指导下表现有关的动作行为，包括各 种模仿和尝试。如模
仿教师的动作进行学习，在教师指导下进行练习, 直到形成正确的动作等。
机械动作：有否要求学生经过练习, 直至形成习惯性反应，能熟练自信地完成动作。
复杂的 外显反应：有否要求学生完成包含复杂动作模式的熟练操作，其熟练性达到准确迅速、
连贯协调和轻松稳 定。
适应：有否要求学生在动作技能方面具有应变能力, 能修正动作模式以满足具体环境的需要。
创作：有否要求学生在学习某技能的过程中，形成创造新技能的能力。强调以高度发展的技能
为 基础进行创造。
2、对教学过程的评价
在评价课堂教学时，要以“学生是否主动参与、学习 过程是否有效”为依据，可从以下几方面
来考虑: 学生的学习心境、个性发展、学习动机、学习参与度 、协作能力、技能发展、思维发展、
认知状况、学习绩效等。
1）评价学生的学习心境 学生在学习过程中应该是愉快的, 这是学好知识的重要条件。心境
愉快和思维紧张是辩证的统一体, 二者如果进行最佳组合, 学生必将取得高效的学习结果。评价学
习心境要注意愉快心境保持时间、变化 原因、影响学习效益的程度。
2）评价学生的个性发展情况
评价学生个性发展主要从以下几方面考虑。(1)学生的学习欲望：(2)学生学习主动性： (3)
学生学习协作性： (4)学生的学习兴趣： (5)学生的特长发展：(6)学生的气质特点：
3）评价学生的学习动机
良好的学习动机主要表现在：学生对教学内容感兴趣；学习有目标 性；能克服学习中的困难；
始终有学习热情。学生的学习动机是不稳定的, 会随情况变化而变化。教师要注意培养和维持主要
学习动机——成就动机, 使其产生学习内动力。
4）评价学生的学习参与欲 评价学生学习参与欲主要指标为：(1)认真聆听；(2)积极思考；< br>(3)勇于发言；(4)大胆质疑；（5）友善合作；(6)积极创新。主要表现为学生能自己制定学习目 标
和评价学习成效；一定程度的自我激励等。评价方法为学生作业或调查等项目, 然后对学生进行观
察、访谈、检查, 得出评价结果。
5）评价学生自主活动时间 学生在 实践教学中主动参与的时间(包括阅读、写作、操作、表达
等)应占12～23。包括四个方面：个体活 动时间；班级活动时间；小组活动时间；师生探讨时间。
6）评价学生的认知状况 具体评价指标为 ：①学生能否用自己的话去解释、表述所学的知识；
②学生能否综合相关知识回答较复杂的综合问题；③ 学生解答开放性问题和一题多解问题的能力；
④对于开放性或一题多解问题，能提供多种解题方法或答案 的学生数；⑤学生回答有创意的人数；
⑥学生主动提问的人数。
7）评价学生团队合作情况
8）评价学生的学习方式 评价学生学习方式的主要关注点：①学生的学习是否一直被老师所

48

控制？②有无自主探究活动？③自主支配的时间有多少？④学生的自主活 动是有序的吗？⑤学生
的活动能为探究新知提供帮助吗？
3、对教师素质的评价
评价教师的课堂教学基本功可从以下方面进行。
1、教学态度 2、教学方法 3、教学组织安排 4、教学语言 5、课堂板书 6、教态 7、
学科专业技能 8、应变能力 9、教学媒体 10、教学设计
五、对教学效果的评价
教学评价的基 本理念是“以学论教”。评价教学效果包括学习成效评价、与认知有关的态度和
兴趣等非认知因素的考察 。学习成效评价可分课前、课中、课后三个阶段，阶段侧重点不一样。课
前评价主要针对学生的知识准备 ；课中评价主要针对教师对学生学习状况的把握和教学调适、促进
学生对知识的理解和掌握；课后评价主 要针对学习结果是否达到预期目标。
为实现学生的有效学习, 教师在努力创设良好学习环境的同时, 还应关心学习的参与度、效度
以及学习氛围等内隐性学习行为。同样,评价学习成效也应关注学习热情、 学习效度。
1、评价认知领域的学习成效 主要包括记忆、理解、简单应用、综合应用以及创见等。其中
记忆属于较低的认知行为, 理解、应用、分析综合、创新等则属于较高层次的认知行为。
(1)记忆评价：可用知识点的提问及问卷进行测评。
(2)理解评价：要求学生对所学知识 用自己的话归纳、解释其中的特征和含义。具体有以下几
点:①转换，将知识材料从一种形式转换成另一 种形式, 用自己的话表达知识的特征和含义；②举
例，根据所学知识举出相关的例子；③判断，学生根 据自己的知识理解，对学习材料作相关判断。
(3)简单应用评价：①巩固知识。模仿性地用知识解决 某些问题，重复学习过程而使知识巩固；
②解决问题。将知识用于新的情境中解决新的问题，要求学生能 深入理解知识，并自行寻求解决问
题的方法。
(4)综合应用评价：用知识进行较高层次的思 维活动，可通过综合运用的练习题或测试题来进
行评价。主要考查学生对综合性问题的理解；对知识各部 分之间相关联系的分析；通过对知识原理
法则的识别而综合解决问题的能力。编制试题的基本原则是：① 选题要有代表性、典型性；②试题
编制表述清楚、准确, 力求简明扼要；③题型多样, 讲究实效；④答案力求无争论性, 便于评判；
⑤题目符合学生认知特点，避免“生搬硬套”；⑥注重考 查解决实际问题的能力，减少死记硬背的
知识考查。
（5）创新评价：创新是思维的最高层次 。评价学生创新意识和能力可关注以下几点：①让学
生用自己喜爱的方式、观点对学习材料进行整理分类 , 从而发现规律；②教师创设情境或设计问题,
看学生能否突破常规的思维格式, 提出独到见解和 解决问题的方法；③设计思维难度大的题目，让
学生自己思考行动方案，创造性地解决实际问题。
2、评价情感领域的学习成效
(1)接受评价：主要看学生在接受老师的暗示或信息刺激 时的反应。这种反应直接影响学习效
果，主要涉及以下方面: ①学生能否主动将注意力集中于学习对象；②当教师提醒时, 学生是否及
时融入课堂教学氛围；③学生 是否一直集中注意力观察教师的讲解或演示。④学生是否积极投入教
师组织的课堂思考。
(2 )思考评价：主要评价学生思考问题的主动性、积极性和反应性：①根据教师指示做出回应；
②在老师启 发下，联系过去的经验进行思考，作出反应；③思考和反应有明显的主动性和一定的悟
性；④思考和反应 有较好的悟性和较好的逻辑性、计划性。
(3)兴趣评价：①对所学知识感兴趣，表现出深入研究的意 愿；②在探究新知的过程中，能愉
快地投入教学活动；③当活动结束后, 还不愿意立即停止自己的思考 和动作。④对学习知识或技能
比较持久地拥有一份激情，希望有新的进步；⑤将兴趣内化成信念，产生对 科学或专业学科的献身
情感。
3、评价动作技能领域的学习成效
(1)操作设计评 价：主要关注点为，①能根据实际需要设计操作简案；②能根据人员的特点分
配本小组成员的工作；③对 实验结果进行预测分析, 并做出合理的解释。
(2)操作评价：主要从四个方面考虑，①操作过程能够掌握要领；②能将操作东动作转化为语

49

言描述；③对操作结果进行合理解释和概括；④实验结果的分析和概括， 并写出实验报告。
(3)创造性操作评价：①新情境下的操作设计和实现可行性；②为寻求新的发现而 思考新的操
作方法和途径；③对于新情境下获得的结果进行分析和整理。
为准确评价学生学习 成效，教师必须学会提问题。教师该如何提问题，提问有哪些策略，一般
认为应注意以下七个方面:
(1)问题与教学目标相关。当教学目标层次较高时，可准备多个问题。
(2)避免太一般的问题，如：大家都懂了吗。
(3)以各种方式提问，以适合能力水平不同的学生回答，避免回答问题的学生局限化。
(4)提问后留给学生思考的时间，提高回答问题的质量。
(5)针对学生的回答继续跟踪提问, 如:你是怎样得到这个结果的，以鼓励学生说出他们的推
理。
(6)适当使用开放性问题，鼓 励多种答案，形成讨论的氛围，促进思维，培养创新意识，提高学
习兴趣。
(7)不理想的回答不应受到嘲讽。

活动8.3 探讨评数学课的基本要求
目标
在明确评课基本要求的基础上，能根据给定内容进行点评。
时间 50分钟
材料 笔记本、白纸、彩色笔、粘贴用具。
过程
1. 请仔细阅读案例3中关于“一元二次方程的应用”教学设计，思考以下问题：
（1）对这节课从教学目标、设计思路、教学方法等方面如何评价？
（2）对这节课的教学效果如何评价？
2. 组内就这些问题展开讨论，最后要形成一份教材分析方案。
3. 各小组的发言人汇报本组的评价结果，小组之间就方案进行研讨，进行评价。
案例3
一元二次方程的应用教学设计

（一）指导思想与理论依据
数学是一门应用 非常广泛的学科，注重应用意识和实践能力的培养，是当前数学课程改革的要
点之一。新课程标准力求形 成“问题情境——建立模型——解释与应用”的基本叙述模式，使学生
在问题情境中，通过观察、操作、 思考、交流和运用，逐步形成良好的数学思维习惯，发展数学应
用意识，感受数学创造的乐趣。
本节课的设计理论依据主要来源于建构主义教育理论。学生学习的过程是一种自我建构的过
程，也是一 种再创造的过程。因此，要转变目前学生总是被动、单一的学习方式，让学生成为学习
的主体，使学生的 主体意识、能动性和创造性不断发展，培养学生的创新意识和实践能力，这就是
要提倡自主、实践、探索 、合作的学习方式。就是把数学教学过程作为学生活动的教学过程，采取
以激励学习为特点的学生主动参 与实践为主的教学形式，鼓励学生自己进行探索，自己尝试解决问
题的各种各样的方法，培养学生掌握探 求新知识的方法，并获得不断深造的能力和创造能力，最终
达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义 建构的目的。
（二）教学背景分析
（1）学生情况及前期教学状况、问题、对策分析 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，其中一元二次方程的应
用在初 中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是
研究现实世界 数量关系和变化规律的重要数学模型.
现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是不会将实 际问题提炼成数学问题.本节
课对象是初二学生，他们具有一定的人治能力，比较缺乏社会生活经历，搜 集信息、处理信息的能
力较弱，鉴于此，本节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式， 获得合理的解答，
通过自主探索和合作交流这样有意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能， 产生积极的
情感体验，进而创造性地解决问题.它具有明显的问题性、实践性、开放性和创造性等特点， 有效

50

地发展了学生的思维能力.
（2）教学方式与教学手段
以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的研究，体现数 学建模的过程，帮助学生形
成应用意识.激发学生学习兴趣，能让学生体会到“学数学、做数学、用数学 ”的快乐.
（3）技术准备
多媒体计算机、实物投影仪、剪刀、纸板、铁丝、展板
（三）教学目标设计
⑴知识与技能
[知识目标]以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.
[能力目标]通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学
会发现、 提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用
语言表述问题及 其解决过程.
⑵过程与方法
通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探 究讨论等活动，发展学生数学
思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
⑶情感态度与价值观
本节课通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做 数学的快乐，培养应
用数学的意识.
（四）教学过程与教学资源设计



教学流程图




51

教学过程：

设计意图 教 师 活 动 学生活动 媒体使用

[创设情境 引入新课]

从学生熟
1. 请学生用课桌上的 一块
1.学生们动手制作，在长用课件演示
悉的手工
长方形纸板和一把剪刀动手制作< br>方形纸板的四个角上截
长方体包装
制作入
一个没盖的长方体包装盒。（事先去四个大小相同的正方
手，能迅
准备用具）
形，然后把四边折起做成
盒制作过程

速激发学

一个无盖的长方体包装

用powerpoint
生参与学
2问：.若纸板长为8dm,宽
盒..
给出引例
习的兴
6dm，做成的长方体盒子底面积为
2.学生们不难发现

趣 ；让学
15dm
2
。同学们想一想怎样求出盒
截去的正方形的边长就
用实物投影
生发现生
子的高？
是盒子的高.
展示学生的
活中有些


解题过程
实际问题
.3 把无盖长方体盒重新展
3. 学生思考并进行
可以通过
开，又会得到原来的长方形纸板 ，
列方程计算以及结合题
列一元二
帮助学生从实际问题中提炼出数
目中的已知 条件，正确决
次方程来
学问题
定一元二次方程两个根
解决，从

的取舍.请学生展示讲解
而顺利地
4. 这个问题是用一元二次
解题过程
引入新
方程来解决的,这正是我们这节

课。
课要讲的内容--- 一元二次方程


的应用
板书课题：§12.6一元二次方程
的应用
[知识准备 承前起后]

承前起后 师:请学生回答列方程解应用题生:设、列、解、验、答
的一般步骤

让学生经[启发探究，建立模型] 1、根据情境学生一面讨用
历从具体演示用一根铁丝折成一 个矩形。论思考解决问题的思路，powerpoint
情境中抽问：1、若铁丝的长为22cm折成一 面动手计算，然后请学给出例题
象出一元的矩形面积为30cm
2
，如何求这个生到黑板板书
二次方程矩形的长与宽？
的模型的 有学生说：“铁丝的长度
过程，探教师通过实践操作演示长度就是矩形的周长”，有学
索具体问固定的铁丝折成形状不同的矩形生说：“周长相等的矩形，
题中的数的过程，让学生观察、相互讨论面积可能不相等”
量关系和并谈谈他们的体会.
变化规 2、学生讨论，合作交流，
律，既起教师充分肯定学生们的体有学生说：“不行”请学
到了深化会，紧接着问： 生板演讲解.(计算所列
例题的作 方程根的判别式小于0,
用，又复2、“用22cm长的铁丝，能不得到方程无实根，所以不
习了根的能折成一个面积 为32cm
2
的矩形能折成面积为32cm
2
的矩
判别式的呢？请同学们一面讨论一面动手形.)
知识. 计算一下.”


联系生活[巩固运用 归纳小结] 根据情境学生一面思考用

52

实际，增邻居张老汉养了一群鸡，现在要解决问题的思路，一面动powerpoint
强学生应建一面积是150平方米的长方形手计算并讨论两个根的给出例题
用数学的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18取舍，请学生展示讲解解
意识并且米），墙对面有一个2米宽的门，题过程 用实物投影
要结合实另三边（门除外）用竹 篱笆围成，展示学生的
际，正确篱笆总长33米．请同学计算一下解题过程
决定一元鸡场的长和宽各多少米？
二次方程
两个根的
取舍


18米

2米
体现学习


不是‘占让学生观察这几道题所列方程的
学生发现这些题所列方
有’别人形式，引导小结：这其实就是我
程的形式均是两个含有
的知识，们这节课抽象出的一元二次方程
未知数的一次式的乘积
而是为了的模型两个含有未知数的一次式
等于一个常数
‘生长’的乘积等于一个常数

自己的知
.

识”这种


现代教育


观.








这个环节


创设了具
[探索实践 应用拓展]
1.学生事先已经分 组合用
有实践
我事先给学生布置了一项美化校
作设计了方案，课上互相powerpo int
性、开放
园设计任务,准备在长32m，宽20m
讨论、交流设计心得体给出例 题
性的问题
的长方形场地上，修筑同样宽的
会，
情境，通
若干条道路，余下部分作草坪，
用实物投影
过学生自
要求 草坪总面积为540m
2
并计算
2.学生各组选派代表依展示学生的
主探索、
一下设计方案中道路的宽. （并
次展示设计方案 设计方案
合作交
注意设计的美观性和合理性） 分

流，产生
组进行。
3.有同学的设计要用
了积极的

穿越草地才能到道路上，powerpoint
情感体
1. 让学生课上互相讨论、交流设
不能保护草坪，不合常课件动画演
验，充分
计心得体会
理. 有同学的设计，计算示
发挥了学

的道路可能稍微窄了一
生 的主体
2．请学生展示设计方案（部分见
点.同学们还意识到如果
地位，有
附 图）
道路的条数设计得越多，
效地培养

道路的宽越窄，要让两人
了学生的
3．将各组设计方案依次粘贴在展
能肩并肩地通过道路，道
创新精神
板上，请学生讨论各组设计方案
路的宽约在1m以上，较

的优势与不足
为合理. 另外还有学生


设计的方案，虽美观但复

4.问：“道路面积与道路的位置有
杂，造价高。

53

归纳总结
关吗？方案2、3的设计还有没有
其他的解法？”

教师充分肯定学生的整 体思想，
对于理解有些困难的学生，课件
动画演示让学生发现道路的面积
只与道路的形 状有关，而跟道路
的位置无关. 为了研究问题的方
便，我们可以把道路移动到场地
的边缘，对学生渗透化归思想.
[课堂小结]
通过这节课的学习，请试
着谈一谈.
你学到了什么
你的发现是什么
你的收获是什么

[布置作业]
1、继续完善道路的设计方案
2、做一次社会调查，自己编一道
实际生活中有关一元 二次方程的
问题并给予解决，注意结合实际
编排合理的数据
§12.6一元二次方程的应用
例1：
解：设
.
4.有学 生发现说：“无论
道路的位置在哪里，我们
可以把分割开的草坪看
成一个整体，从而方 案2
列得方程（32-X ）
（20-X ）=540. 方案3
列得方程（32-2X ）
（20-X ）=540.”

希望学生
能够把学
到的知识
应用到实
际中去
板
书
设
计

学生小结
两个含有未知数的
一次 式的乘积等于一个
常数，这是我们这节课抽
象出的一元二次方程的
模型.


记作业

powerpoint
给出小结

powerpoint
给出作业

（五）学习效果评价设计
本节 课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的研究，体现数学建模的过程，帮助
学生形成应用意 识.所以需要多联系实际，通过动手实践、探究讨论、用实物投影展示讲解、小组
自主探索、合作交流等 活动来完成，以多种方式进行学习效果评价，发展学生数学应用意识及探究
创新能力，同时达到锻炼培养 学生合作学习的意识，和锻炼语言表达能力的目的。教学过程始终贯
穿学生的反馈，从动手实践、讨论问 题、探索实践、练习等多角度及时了解学生学习情况，并给予
及时恰当的评价。评价要点：1、包装盒问 题考察学生观察平面图与立体图之间联系及从实际问题
中提炼出数学问题的能力。2、铁丝问题考察学生 的探究能力。3、鸡场问题考察学生解决实际问题
的能力。4、校园美化问题考察学生合作效果、语言表 达能力及解决开放题的实践设计创新能力。
另外“课堂小结”部分也是在教师的引导下由学生口答完成， 通过此环节的设计，可以帮助学生提
高归纳总结能力；课后作业的设计联系生活实际，具有开放性和实践 性




20

20





20

32



32
图3

活动
与运

32
图1
图2
54

用：
1. 说一节数学课的基本要求是什么？试举例说明。
2. 听一节数学课的基本要求是什么？
3. 评价一节课应从哪些方面去考虑？


附：学生学习效果评价量表 ( 试行 )

学院、系部
知识技能(100)

项目

指标
1.平时学习活动的参与情况(作业、讨论、活动、实验等)
2.观察思考及质疑的能力
3.猜想,假设及探究能力
4.对知识和信息的处理、分析及应用能力
5.学习效率及进步情况

自评 他评 教师评
得分
(0.2) (0.2) (0.6)
班级 姓名 学号
评定成绩 平时成绩〈考查、作业〉(0.2) 操作技能考试(含实践)(0.2) 期末考试成绩
学习过程
学习方法
(30分)

1.对本学科的爱好、兴趣及学习表现
2.与同伴的交流、合作和帮助
情感态度价值观 3.和教师的沟通、交流
(20分〉 4.自己学习能力的展示(自我价值体现)
5.本学科突出表现(表彰、表扬、获奖等〉
6.对科学、技术、社会。Tm的关注
对自己的不足
和进步的认识


















教师评价和鼓励
家长评价意见
综合评定成绩
(100)
说明


1.综合评定成绩的计算公式：
——知识与技能的评定成绩×50% + 学习过程和学习方法得分 + 情感、态度、价值观得分
2.本表为学生学期考核的评价量表,是对学生进行学习过程评价的依据。
单元九 数学课程资源开发

为了使数学课堂教学效果达到最优化，你首先需要明确数学课程资源开发 的相关知识，这对
你更好地利用现有的教学资源是非常重要的。因为这样做可以使你在进行数学课堂教学 时：有效利
用各种资源、避免资源浪费；根据教学内容，及时调整、优化课程资源；产生一种数学课程资 源开
发成功的喜悦。
1.学习目标：
 理解数学课程资源开发的含义及特点，说出数学课程资源开发的分类；
 概括出数学课程资源开发的基本原则；
 针对教师的教学内容和学生数学学习的情况，能运用适当的方式及策略开发数学课程资源。
2. 学习内容：
主题1 课程资源概述

主题2 数学课程资源的开发与利用
3. 单元课时
本单元的学习需要4个学时。
4. 学习材料

55






笔记本
自己选择的典型教学案例
准备的一些教学资源，如数学教学参考书、教具
电脑或其他多媒体
主题一 课程资源概述
一、课程资源的内涵与特点 1、内涵。课程资源也称教学资源，就是课程与教学信息的来源。简单地说，课程资源就是指
一切对 课程和教学有用的物质和人力；具体的说是课程设计、实施和评价过程中可利用的一切人力、
物力以及自 然资源的总和。包括教材以及学校、家庭和社会中所有有助于提高学生素质的各种资源。
因而，我们可以 说，课程资源的合理开发与有效利用是任何课程目标顺利达成的必要条件。
2、特点。具体说来，课程资源具有潜在性、多质性、具体性。
潜在性与开发、利用有着密切 关系。开发是前提，利用是目的，两者之间相互包含。从这
种意义上看，一切可能的课程资源都具有价值 潜在性的特点。
而不同的地域；不同的文化背景下；人们的价值观念、道德意识、风俗习惯、宗教信仰 也具有
独特性；学校性质、规模、位置、传统以及教师素质和办学水平也有不同；学生个体的家庭背景、
智力水平、生活经历必然也是千差万别的，所以又具有多质性。
即便是同一资源，对于不同课 程却有不同的用途和价值。例如，动植物资源，可以成为学生学
习生物学知识的资源，也可以成为学生调 查、统计的资源。学校附近的山，既可用于体育课程中进
行体育锻炼，也可以用于劳动技术教育中的植树 绿化；既可以在艺术教育中陶冶学生的情操，也可
以在生物课中用作调查动植物的种类，因而具有具体性 。
二、课程资源的分类
1．根据来源，可分为校内课程资源和校外课程资源
校内课程资源也就是校内的各种场所和设施、人文资源、与教育教学密切相关的各种活动等。
比如图书馆 、实验室；教师群体、校纪校风、校容校貌；还有实验实习、座谈讨论、文艺演出、社
团活动、体育比赛 、典礼仪式等等。这是促进学生全面发展的最基本、最便利的资源，所以首先要
着眼于校内课程资源。
那么，校外课程资源是指学生家庭、社区乃至整个社会中各种可用于教育教学活动的设施和条
件以及丰富的自然资源。比如，图书馆、纪念馆、气象站、工厂、农村；还有家庭的图书、报刊、
电脑等 也是不可忽视的课程资源。
2．根据性质，可分为自然课程资源和社会课程资源
我国幅员 辽阔，山川秀美，物产多样，可以开发与利用的自然课程资源极为丰富。如，用于生
物课程的动植物；用 于地理课程的地形、地貌和地势；用于气象课程的天气、气候、季节；用于艺
术课程的自然景观；用于生 态课程的生物链、生物圈，等等。认识自然，融入自然，与自然界和谐
共处，是学生素质养成的重要内容 ，也是整个课程编制过程应体现的一个基本理念。
同样，社会课程资源也是丰富多样。比如图书馆、博 物馆、展览馆等无疑是重要的课程资源；
道路的线条美、雕塑的造型美、音乐的节奏美可成为陶冶学生情 操的课程资源；人类活动的交往中
的政治活动、经济活动、科技活动等也可以成为课程资源；影响我们生 产生活的宗教伦理、风俗习
惯等与教学活动有着直接的关系，因而是不可缺少的课程资源。
3．根据呈现方式，可分为文字资源、实物资源、活动资源和信息化资源
文字的产生，纸张和 印刷术的发明促进了人类文化的传播和教育教学活动的发展，以教科书为
主的印刷品记录着人类的思想， 蕴涵着人类的智慧，保存着人类文化，延续着人类的文明，直到今
天依然是很重要的课程资源。
实物资源是多种形式，一类是自然物质，如动植物、矿石等；一类是人类创造出来的物质，如
建筑、机 械、服饰等；一类是为教育教学活动专门制作的物品，如笔墨纸砚、模型、标本、挂图、
仪器等。实物形 式的课程资源具有直观、形象、具体的特点，是常用的课程资源。
而活动资源内容非常广泛，包括教师 的言语活动和体态语言、班级集体和学生社团的活动、各
种集会和文艺演出、社会调查和实践活动、以及 师生之交往等等。
以计算机网络为代表的信息化资源具有信息容量大、智能化、虚拟化、网络化和多媒 体的特点，
起着延伸感官、扩大教育教学规模和提高教育教学效果的作用，是其他课程资源所无法替代的 。随

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着教育现代化进程的不断推进，信息化课程资源的开发与 利用已势在必行，它将是最富有开发与利
用前景的资源类型。
4．根据存在方式，课程资源还可分为显形课程资源和隐形课程资源
显形课程资源是指看得 见摸得着，可以直接运用于教育教学活动的课程资源。如教材、教具、
仪器设备、自然和社会资源中的实 物、活动等有形的物质资源。作为实实在在的物质存在，显形课
程资源可以直接成为教育教学的便捷手段 或内容，很容易开发与利用。
隐形课程资源是指以潜在的方式对教育教学活动施加影响的课程资源，如 ，学校和社会风气、
学生已有的知识和经验、家长的支持态度和能力、师生关系等。与显形课程资源不同 ，隐形课程资
源的作用方式具有间接性和隐蔽性的特点，它们不能构成教育教学的直接内容，但是它们对 教育教
学活动的质量起着持久的潜移默化的影响。所以，隐形课程资源的开发与利用更需要付出艰辛的努
力。
以往的课堂教学中，师生获得课程资源的方式基本上只有一种，那就是书本。这种单一化 的课
程资源束缚了学生思维的发展。因而，老师必须走出“死胡同”，走出书本，走进一个“多元化城< br>市”，走进资源丰富的现代课程，将自己的角色由书本传授者转变为现代资源的综合开发者、利用
者。
以上四个方面，使我们了解课程资源的分类，那么我们应如何开发与利用？如何操作？下面将从分析其原则方面，一一举例说明。
三、课程资源开发与利用的原则

1．开放性原则
就是要以开放的心态对待人类创造的一切文明成果，尽可能开发与利用有益于教育教 学活动的
一切可能的课程资源。即指不论以什么类型、形式存在的课程资源；不论是校内的还是校外的， 城
市的还是农村的，中国的还是外国的，也不应局限于某一种途径或方式，都应加以开发与利用，并且能够尽可能地协调配合使用。
2．经济性原则
课程资源的开发与利用要尽可能用最 少的开支和精力，达到最理想的效果，一是用最节省的经
费开支取得最佳效果，尽可能开发与利用那些不 需要多少经费开支的课程资源，不应借口开发与利
用课程资源而大兴土木，不计高昂的经济代价；二是尽 可能开发与利用那些对当前教育教学有现实
意义的课程资源，而不能一味等待更好的条件或时机，否则就 会影响新课程的实施；三是指尽可能
就地取材，不应舍近求远，好高骛远。校内有的不求诸于校外，本地 有的不求诸于外地；四是尽可
能开发与利用能激发学生学习兴趣的课程资源。如果引入教育教学活动的课 程资源晦涩难懂，不仅
达不到预期的目的，反而还可能加重学生的学习负担。
3．针对性原则
为了课程目标的有效达成，针对不同的课程目标应该开发与利用与之相应的课程资源。所以，
认 真分析与课程目标相关的各种各类课程资源，认识和掌握其各自的性质和特点，这样才能保证开
发与利用 的针对性及其有效性。
4．个性原则
尽管课程资源多种多样，但是相对于不同的地区、学 校、学科和教师，可开发与利用的课程资
源具有极大的差异性。因此，不应强求一律，而应从实际出发， 发挥地域优势，强化学校特色，区
分学科特性，展示教师风格，扬长避短，扬长补短，突出个性。课程资 源的开发与利用本身就是一
项极具创造性的实践活动，没有个性，也就失去了创造性，就会流于机械主义 和形式主义，这是需
要特别加以注意的问题。
下面我给大家介绍一节数学课，这是一位国家级 骨干教师在开发教学资源方面的一点做法，对
教师不无启发。
老师离我们有多远
记 得当我得知将去长春参加培训时，曾表现出隐隐的担忧：学生们能否适应代课老师？家长会
怎么看待这件 事？教学会受影响吗?但最终我把“长春之行”当成了一次难得的机缘和珍贵的课程资
源。
临 走前一天，我向学生们通报了将去长春学习的消息。他们一下子愣住了，一个个脸上写满了
难舍的表情。 当他们的泪水即将盈满眼眶的时候，我话锋一转：“同学们，王老师可是第一次出远
门，不知道长春有多 远，也不知该做哪些准备，你们能帮帮老师吗?”“能!”学生们一下子变得兴奋起
来，一种帮助教师的 责任感和自豪感已经冲淡了他们的别愁。我随即拿出事先准备好的资料：《中

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