大连大学研究生院-天津财政局

第一单元 图形的变换
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称:（1）学过的轴对称平面图形：长（ 正）方形、圆形、等腰三角形、等边三
角形、等腰梯形…任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。（圆有 无数条对称轴。）（2）
轴对称图形的特征和性质：①沿对称轴对折，对应点到对称轴的距离都相等；② 对应点
的连线与对称轴垂直； ③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
（3）轴对称图形的画法：①找关键点 ②在对称轴的另一侧找出关键点的对应点 ③
连接对应点
2、旋转：旋转的画法：旋转要明确绕点，角度和方向（顺时针、逆时针）。
二、因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关 系：整数
包括自然数。
2、因数、倍数：（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例：12÷6=2 12是6和2的倍数，6和2是12的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因
数是它本身。 ★ 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。（3）一个数的倍数的个数
是无限的，最小的倍数是它本身。★ 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、
3、5的倍数特征1） 个位上是0，2，4，6， 8的数都是2的倍数。2）一个数各位上的
．．
数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3） 个位上是0或5的数，是5的倍数。4）
能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的 两位数是90，最小的三位
数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数 。5）如果一个数同
时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
4：自然数按能不能 被2整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被2整除的数。也就是个
位上是1、3、5、7、9的数。偶数 ：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个
位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1， 最小的偶数是0.
关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。合数：除了1和它本身还有别的因数
（至少有三个因数：1 、它本身、别的因数）。1： 只有1个因数。“1”既不是质数，
也不是合数。最小的质数是2，最小 的合数是4，连续的两个质数是2、3。每个合数都
可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。2 0以内的质数：有8个（2、3、5、
7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、 3、5、7、11、13、17、19、23、29、
31、37、41、43、47、53、59、6 1、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、 5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，
不是的就是质数。关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
6、最大、最小
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

1

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的。 最小
的奇数是：1； 最小的偶数是：0； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
．．．
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7 两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； （5）相邻两个奇数互质。
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止）
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数或三个数的最小公倍数（除到互质为止）
11、求最大公因数和最小公倍数方法
两数关系
互质
倍数
※一般
最大公因数
1
较小的数
短除法，乘半边
最小公倍数
乘积
较大的数
短除法，乘半圈
※ 一般关系的两个数还可以用以下方法
用12和16来举例
1、 求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法： 最小公倍数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4 12的倍数有：12、24、36、48、…
16的因数有：1、16、2、8、4 16的倍数有：16、32、48、…
最大公因数是4 最小公倍数是48

2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）
三 长方体和正方体

2

一、长方体
1、定义：由6个长方形（特殊情况有两 个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长
方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条
棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、长方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱长相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正
方形。
二、正方体
1、定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）。
2、正方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，每个面的面积都相等，所有棱长相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。


长方
体
正方
体

相同点

都有6个
面，
12条棱，
8个顶点。
面
不同点
棱
6个面都是长方形。
（有可能有两个相
对的面是正方形）。 相对的棱的长度都相等
6个面都是正方形。 12条棱都相等。

3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）＋ab 或 S=2（ab＋ah＋bh）－ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
2
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S= 6a

3

☞生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
两物体拼成一个物体时，减少两个面。（表面积相应减少）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时 扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如
长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a
3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h
（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
（1）、固体一般就用 体积单位，计量液体的体积，如水、油等常用的容积单位升和毫升，
也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
33
（1 L = 1 dm 1 ml = 1 cm）
（2）长方体或正方体容器容积的 计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面
量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于 容积。）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（ 如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 =S×h升高
×进率
7、【体积单位换算】 大单位 小单位
小单位
÷进率
大单位

进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

4

1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率
【单位换算】 大单位 小单位
×进率
小单位
÷进率
大单位

长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米
1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米（相邻单位进率10）
面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米
（平方相邻单位进率100）
质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克
人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分
四 分数的意义和性质

1、分数的意义：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若
干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示， 通常把它叫做单位“1”。（也就是把
什么平均分什么就是单位“1”。）
3
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 的
4
1
分数单位是 。
4
4、分数与除法
A
A
4
A÷B= （B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 4÷5=
B
B
5
5、真分数和假分数、带分数
(1)、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
(2)、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
(3)、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
(4)、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化

5

（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子。
1

5
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数 ，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限
小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
（2）分数化为小数：
方法一：先把分数化为分母是10、100、1000……，然后再化成小数。
方法二：用分子÷分母
3
如： =3÷4=0.75
4
（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数
如：2
3
=2+0.3=2.3
10
12、比较分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
五 分数的加法和减法

（1）同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
1、分数的加法和减法 （2）异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的
结果合并起来。
六 统计与数学广角
众数:一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在< br>一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。

6

复式折线统计图；
综合应用：打电话的最优方案
1、众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。众数
能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
2、中位数：（1）按大小排列；
（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；
（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位
数。
3、平均数的求法：总数÷总份数=平均数
4、一组数据的一般水平：
（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般
水平。
（2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。
（3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。
4、平均数、中位数和众数的联系与区别:
① 平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。
② 中位数：
将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。
③ 众数：
在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。
5、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图。
条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情
况。
注：① 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数
据）。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
6、 打电话：规律——人人不闲着，每人都在传。（技巧：已知人数依次 × 2）
（1）逐个法：所需时间最多。
（2）分组法：相对节约时间。
（3）同时进行法：最节约时间。


7

七 数学广角
用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如 余1则放入到最后一份中；如余2则分别放
入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28
82
3、找次品规律
1 2 3 4 5
3 3×3 3
3
243

～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
…次数
×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 …
9 27 81
… 次品个数
8